數學是一門“關系學”

編者按：用聯系的眼光、系統的思維，從整體建構的視角來開展教育教學研究，并不是什么新課題。然而，長期以來，數學碎片化教學非常普遍且根深蒂固。要改變這一現狀，必須從數學本質的理解、學科課程的整合、教學行為的改進等方面聯合用力，打出“組合拳”。本期推出的許衛兵名師團隊成員三篇文章（全國教育科學“十三五”規劃2019年度教育部重點課題“指向整體建構的小學數學簡約教學資源建設”（課題批準號：DHA190453）），從不同的視角，闡述對小學數學整體建枸教學的探索與思考，期待能引發讀者的共鳴，并共同參與到此專題的實踐研究中。

[摘要]任何學科的教學都離不開對學科特點和本質的理解與掌握。從“關系”的視角來解讀數學的學科特點與內涵本質，整體建構數學課程，建立一種樸素而又深刻的“關系”思維，可以幫助我們更好地深化教學改革，減負增效，并在一定程度上根治長期存在的散點式、碎片化、割裂式等教學頑疾。

[關鍵詞]數學;整體建構;關系;思維發展

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020）26-0001-03

一、什么是數學

無論是教數學還是學數學，首先要了解什么是數學。關于什么是數學，人們很容易想到詞典上的解釋：“研究現實世界的空間形式和數量關系的學科。”其實，對數學的理解并非一成不變。

2001年，我在閱讀《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》時，被“前言”中的第一句話吸引：“數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。”為何對數學的描述一改往日的經典定義呢？《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）解讀》一書中，是這樣說明的：

雖然很多實際工作者希望《標準》有一個關于數學的簡單而且強有力的定義，但顯然《標準》對數學沒有采取簡單定義的方法。因為數學不僅是一門知識，更是人類實踐活動創造的產物，是由諸多元素構成的多元結構;社會與文化不僅推動著數學的發展，同時數學也是推動社會與文化發展的關鍵性因素;對數學的認識不僅要從數學家關于數學本質的觀點中去領悟，更要從數學活動的親身實踐中去體驗;數學發展的動力不僅要從歷史的角度度量，更要從數學與人和現實生活的聯系中去尋找。無論如何，僅僅用“研究現實世界數量關系和空間形式的科學”來刻畫數學或生硬地背誦這些語句已經遠遠不夠了。

2011年，我翻閱《義務教育數學課程標準（ 2011年版）》時發現，前言中的第一句話為：“數學是研究數量關系和空間形式的科學。”有關數學的經典定義為何在十年之后又回到課程標準中了呢？這兩種不同的表述有何區別？

我嘗試采用語文中的縮寫句子來做一個簡單比較。“數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程”縮寫為“數學——是——過程”;“數學是研究數量關系和空間形式的科學”縮寫為“數學——是——科學”。數學確實是“過程”啊，是人們發現、發展、發明的過程，是不斷傳承、不斷發展、不斷豐富、不斷完善的過程，數學學習強調過程與方法，也就是表達數學學習和數學發展有著“過程”意義的一致性。不過，數學也確實是“科學”啊，是具有獨特語言和價值的自然科學體系。那這兩種表述到底誰對誰錯？我認為，都沒有錯，它們只是從不同的角度來描述數學。既然都沒錯，那為何又改來改去呢？《義務教育數學課程標準（2011年版）》修訂核心組專家是這樣解釋的：

數學本身是一個歷史的概念，數學的內涵隨著時代的變化而變化。然而縱觀數學的全部歷史，人們可以達成這樣的共識：盡管經過由古到今的漫長發展，現代數學已是一個分支眾多的龐大的知識系統，但整個數學始終是圍繞著“數”與“形”這兩個基本概念的抽象、提煉而發展的。數學在各個領域中千變萬化的應用也是通過這兩個基本概念而進行的。需要說明的是，這里所說的數量關系和空間形式，并不限于現實世界，而是包括一切可能的數量關系和空間形式：它們既可以來源于現實世界，也可以是數學自身邏輯的產物。《義務教育數學課程標準（2011年版）》對什么是數學的這一陳述，反映了以往作為自然科學傳統學科之一的數學發展到我們這個時代所經歷的深刻變化。

我認為，這樣的對比研究，可以幫助我們建立多維、立體、動態的數學觀。

二、數學是一門“關系學”

上述關于數學的解釋，比較理論，也比較抽象。對小學生而言，要想據此來理解什么是數學，難度很大，既不現實，也不可行。

張奠宙、孔凡哲等人撰寫的《小學數學研究》中的一個題目吸引了我——數學是一門研究“關系”的學問，意思是說，數學中的任何知識、方法、思想，都不是孤立的，而是跟其他的知識、方法、思想等有著密切的聯系。也就是說，數學很奇妙，“關系”最重要！

舉個簡單的例子。低年級要學習乘法，乘法是相同加數相加求和的簡便運算，習慣上說成是“幾個幾在相加”。乘法有三個基本數量：每份數（相同的加數）、份數（相同加數的個數）、總數（得出的和）。二年級學習了乘法，后面的年級就有了好多的乘法應用類型（或模型）。小學階段的乘法應用模型主要有四種：第一種，“倍”的模型，基本數量是“一倍數”“幾倍數”“倍數”;第二種，長方形的面積計算模型，“長”表示一行擺了幾個面積單位，“寬”是一共可以擺幾行，面積就是“長×寬”（幾個幾）;第三種，常見的數量關系模型，如單價、數量、總價，速度、時間、路程，工作效率、工作時間、工作總量等;第四種，“搭配”模型，類似于幾件上衣、幾條褲子可以搭配出幾套不同的服裝。有了這樣一種結構化、體系化的理解，不僅教師教得清晰，學生也學得輕松。

關系的前提和基礎是“元素”，一個獨立的事物是沒有什么關系可言的，多個元素之間才能產生關系。比如，一年級開始學習人民幣，人民幣有三個單位“元、角、分”，這三個單位可以看成是三個“元素”。它們之間的關系是：1元=10角，1角=10分，1元=100分。

這兩幅板書，都呈現了人民幣的單位及相互關系，具有一定的結構感。但是，相比而言，右邊的板書結構感更強。首先，它將表達等式關系的等號變成雙向箭頭，進率寫在箭頭的中間，直觀地表達了等號蘊含的雙向關系（比如，1元等于10角，10角等于1元）;其次，它把三組相等關系同圖呈現，更容易看出兩個“10”和“100”的內在關聯，即10個10就是100;最后，它怎么看都更像是一個整體，而左邊的板書給人的感覺依然是三道關系式。

這就表明，關聯性、系統化的知識需要有結構化的表達。在考慮結構化表達時，往往需要有三個追問：是不是所有的元素都出現了？元素與元素之間的關系是不是都明確了？元素與關系的組合是不是更像一個整體？

三、數學學習重在培育“關系”思維

如果說，把握關系建構整體、借助整體明晰關系，是數學學科整體性和結構性特征對數學教學提出的要求，那么，從學習的角度來講，讓學生學會理順關系，建立聯系，培育和發展“關系”思維就顯得尤為重要。因而，教師要充分發掘隱藏在知識背后的結構關聯和思維含量，將數學思維發展和數學知識學習有機結合起來。

一年級上冊“1-5的認識”是小學生認數的起始課。大多數教材都是提供一幅主題圖，圖上畫有1個、2個、3個、4個、5個數量不同的物品。不少教師教學時都是采用看圖說話的方式，讓學生先觀察情景圖，說一說圖中還有什么。當學生隨機說出圖中有1只小狗、5個南瓜、3盆花、2只鵝……后，出示1、2、3、4、5這5個數，然后再進行抽象，用小棒擺數、寫數等。這樣的教學過程，從本質上來說是把1、2、3、4、5看成獨立的5個數。實際上，認識1-5，不只是認識1、2、3、4、5，更重要的是初步認識自然數列，而自然數列一個鮮明的特征是每相鄰的兩個數相差1（等差數列），因此，“1-5的認識”的教學應該放在數列中。我的設想是：開始呈現生活情景圖時，每種物品只呈現1個，如1只狗、1只鵝、1只鳥、1只雞、1盆花、1個南瓜等，讓學生觀察圖中都有什么，它們各是多少個，最后得出它們都是1個。在此基礎上，又呈現“走來了1只鵝”，問學生：“現在鵝的數量還是1只嗎？”學生都知道不是1而是2了，由此得出“1加1就變成了2”。“那么，你能讓其他物品也都變成2嗎？”于是，增加1只雞、1只狗、1只鳥、1盆花、1個南瓜，讓所有物品數量都變成2，強化“l加1就變成2”的感受。在此基礎上，再呈現“飛來1只小鳥”，問學生：“現在有幾只小鳥呢？”學生回答：“3。”順著這樣的思路，“2加上l就變成3”“3加上1就變成4”“4加上1就變成5”的認識就自然生成了。回顧總結時，教師只要適當點撥“數學很奇妙，關系最重要”，學生“關系”思維就能在不知不覺中開始生長。

思維發展需要經歷孕育、點撥、提示、引導、感悟、內省、轉化、應用等過程，不可能一蹴而就，要盡早滲透，從小抓起，持續發力，長期培養。在課堂教學中，教師可多用箭頭來表達關聯，多用文字來說明關系，讓課堂板書盡可能呈現一種結構化的形態，就是努力給學生以直觀感受和啟蒙。嚴格說來，每一節課學習的內容，都會跟其他內容存在著千絲萬縷的聯系，或是知識層面，或是方法層面，或是思想層面，只要充分挖掘，用心構架，就能充分體現數學的嚴謹與邏輯，展現數學之美。

對學生而言，在關聯和結構中學習數學也便于記憶、理解、掌握和應用。例如，小學階段學習長度單位，先學“厘米”，再學“米”，有了兩個單位以后，就要揭示它們之間的關聯——進率100;接下來學習“毫米”和“分米”，就需要把這兩個新的長度單位和已學的兩個長度單位做一次整合，按照一定的順序排列后，就發現相鄰兩個單位之間的進率是10，十進制的關系就開始顯現出來了。在此基礎之上，對于第5個長度單位“千米”，最簡單直白的教法，就是直接出示“千米”，然后說清楚l千米有多長，及“千米”和“米”之間的進率是1000。但是，這樣教，學生對長度單位間的關系感受比較膚淺，印象也不深刻。教學時，如果讓學生結合已有的四個長度單位的關系結構圖示，圍繞問題“如果人們發明了第5個單位，你覺得它可能在什么位置？它跟已有的長度單位之間會有什么關系？”去展開研究，學生的主要研究方向可能是2個，一個是比“毫米”還要小，一個是比“米”還要大，那如果比“毫米”還要小，會是誰？它跟“毫米”之間又有什么關系？比“米”還大又可能是誰？它跟“米”之間又有什么關系？在已有的長度單位之間十進制的啟發下，很容易構建出了一個更加寬廣的長度單位體系（……微米、忽米、絲米、毫米、厘米、分米、米、十米、百米、千米……）。經過這樣的學習，學生就會感慨：“數學真美啊！”“人們在發明數學的時候，都是按照一定的規律來進行的，”當然，這里把“十米”“百米”引入課堂，并不是要求學生去掌握“十米”和“百米”，畢竟這并不是教材內容，而是借助它們來更好地感受長度單位體系，更好地理解“為什么千米和米之間的進率是1000”。

進一步思考，這個長度單位的序列表還有助于學生學好面積單位。小學里一共學習五個面積單位——平方厘米、平方分米、平方米、公頃（平方百米）、平方千米，每個面積單位都對應著相應的長度單位——厘米、分米、米、百米、千米。為什么“平方米”和“公頃”之間的進率是10000，而其他相鄰的面積單位之間的進率都是1007原因就在它們之間還有一個面積單位“平方十米”，即“公畝”。現在的教材里已經沒有“公畝”了，如果把“公畝”放進來，相鄰的兩個面積單位之間進率是100的關系就變得很完美，也能很好地解釋“平方米”和“公頃”之間的進率為什么是10000（100個100）。

因而，是簡單地去教知識，還是基于知識讓學生感受數學知識之間那種嚴密的、嚴謹的邏輯體系，充分依據結構、生成結構、拓展結構、發展結構思維，培育數學素養，是教師必須直面的重要話題。

總的說來，數學是一門“關系學”的表述，雖不是關于數學的嚴密的科學定義，但它為我們更好地理解數學、教數學、學數學提供了一個視角，透過這樣的視角，數學教學、數學學習別有洞天。

【本文系全國教育科學“十三五”規劃2019年度教育部重點課題“指向整體建構的小學數學簡約教學資源建設”的階段研究成果，課題批準號：DHA190453。】

[參考文獻]

[1]劉兼，孫曉天.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2002.

[2]史寧中.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

（責編金鈴）