參數不等式系統解集的閉性性質

摘要：借助函數的連續性以及凸性性質，結合Slater約束品性條件，建立了參數不等式系統解集的相關閉性性質。

關鍵詞：參數不等式系統;Slater約束品性;連續性;凸性

定理：考慮參數不等式系統，其中，均為實值函數且參數。我們記向量并且上述不等式系統的解集為。假設上述參數不等式系統的Slater約束品性成立，即是說，，則以下結論成立：

（1）若均為連續函數，則有。

（2）若均為凸函數，則有，由此可得。

證明：（1）任取，由可知，存在序列，使得。因此，我們有。

注意到，均為連續函數。在不等式兩邊取極限可得，，即是說，。因此，由的任意性，我們有。

（2）任取，因為，所以，不妨設。因此，我們有且。

注意到，均為凸函數。因此，對任意的，有

即是說，。注意到，當時，，

因此，我們有。由的任意性可知，。此外，由于均為凸函數，因此，也是連續函數，結合（1）可知，。

參考文獻：

[1]Rockafellar， R.T. Convex Analysis[M]. Princeton University Press， 1970.

[2]Fukushima， M.著; 林貴華譯. 非線性最優化基礎[M]. 科學出版社， 2011.

作者簡介：彭興媛，1985.12，女，漢族，碩士，講師，概率統計，成都市外東十陵成都大學。