數學問題導學教案設計《22.1二次函數》

吳小明

一、教材分析

二次函數是學生學習了正比例函數、一次函數和反比例函數以后，進一步學習函數知識，是函數知識螺旋發展的一個重要環節。二次函數是描述現實世界變量之間關系的重要的數學模型。二次函數也是某些單變量最優化問題的數學模型，如本章所提及的求最大利潤、最大面積等實際問題。二次函數曲線——拋物線，也是人們最為熟悉的曲線之一，噴泉的水流、標槍的投擲等都形成拋物線路徑，同時拋物線形狀在建筑上也有著廣泛的應用，如拋物線型拱橋、拋物線型隧道等。和一次函數、反比例函數一樣，二次函數也是一種非常基本的初等函數，對二次函數的研究將為學生進一步學習函數、體會函數的思想奠定基礎和積累經驗。

二、學情分析

初中學生比較注重直觀和實用，需要經歷對知識拓展、歸納、更新的過程。在教學上要注重引入二次函數概念的現實背景，讓學生感受其實際意義，激發學生的學習興趣，引導學生與原有的知識“函數和一次函數”的聯系、比較，對二次函數的定義進行辨析，加深認識。

三、教學目標

1.能夠根據實際問題，熟練地列出二次函數關系式，并求出函數的自變量的取值范圍。2.理解二次函數的概念，掌握二次函數的一般形式。3.通過設置問題、類比、歸納等方法，引導學生思考、合作、交流，從而獲得新知。

四、教學重點、難點

重點：結合具體情景體會二次函數的意義，掌握二次函數的概念和解析式。

難點：重視二次函數解析式中這一隱含條件

五、教學過程

【知識回顧】

1.大家回憶一下，什么是函數？

2.什么是一次函數、正比例函數？

一般地，形如y=kx+b（k，b是常數，k≠0）的函數，叫做一次函數;特別地，當b=0時，變為y=kx時，叫做正比例函數.

設計意圖：通過一些小問題活躍課堂氣氛.

【新課引入】

1.正方形的面積=邊長2.用字母y表示面積，x表示邊長，式子表示為y=x2.

2.看到P28頁的正方體，棱長記為x，表面積y=????.

問：函數y=6x2是一次函數嗎？

這是我們即將要學習的二次函數

設計意圖：開門見山引出課題《二次函數》

【自主學習】

我們再來看書本的兩個實際問題.

1.n個球隊參加比賽，每兩隊之間進行一場比賽.比賽的場次數m與球隊數n有什么關系？

2.某種產品現在的年產量是20t，計劃今后兩年增加產量，如果每年都比上一年的產量增加x倍，那么兩年后這種產品的產量y將隨計劃所定的x的值而確定，y與x之間的關系應怎樣表示？

同學自主獨立完成，師生一起公布答案。

觀察我們寫出的三個函數解析式，分別說出哪些是常數、自變量和函數，并完成下表：

設計意圖：讓學生獨立完成是因為：兩個應用題都是公式型的應用題，學生能夠使用公式得出函數表達式。

主問題一

1.思考：以上這三個函數有什么共同特點？

2.y=2x，y=-2x+1是什么函數？與以上的三個函數有什么異同？請大家進行小組討論，然后和大家分享討論結果。

學生回答：①一次函數的x的次數是1次，而我們新得出的三個函數x的次數可達到2次。

②一次函數由一次項和常數項組成，而新的函數都有二次項，y=6x2只有一個二次項，有二次項和一次項有二次項、一次項和常數項.

設計意圖：生小組討論，并匯報討論成果，使得大家思考更加充分，更多同學得到表現和能呈現更多的其他角度的思考。

我們y=6x2，????，????????這類函數我們給它們一個名稱，叫做二次函數。

我們再次回顧一次函數的定義：

一般地，形如y=kx+b（k，b是常數，k≠0）的函數，叫做一次函數;特別地，當b=0時，變為y=kx時，叫做正比例函數.

主問題二：1我們能像一次函數一樣寫出二次函數的形式嗎？

教師引導，舉手回答。學生的答案：

2你能待一些a，b，c的數值進去寫出一些二次函數的表達式嗎？

設計意圖：讓學生舉例的目的是，讓學生認識到a、b、c這些字母是常數，不是變量，是變量的系數。

接著，教師給出二次函數的概念。

一般地，形如

的函數，叫做二次函數.其中，x是自變量，a，b，c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項.

主問題三：1????????滿足什么條件時，會變成（1）（2）（3）的形式？學生思考后，分別回答當b=0;c=0;b=0且c=0時的二次函數的另外三個形式。

2說一說問題二中所寫出的二次函數的a，b，c的值。

設計意圖：充分認識系數a、b、c變化和轉化，對函數的影響，體現二次函數的豐富性和特殊性。

【應用探索一】

下面這組練習讓學生合作學習，4人小組沒人回答一個問題。

對于二次函數表達式

等號左邊是變量y，右邊是關于自變量x的________.

2.a，b，c為常數，且_________，為什么？b、c等于0是什么形式？二次函數的特殊形式：當b=0時，y=_________;當c=0時，y=_________;當b=0，c=0時，y=__________。

3.等式的右邊最高次數為_______，可以沒有一次項和常數項，但不能沒有項，為什么？

4.沒有特殊要求的話，x的取值范圍是________.

師生一起小結，再次認識二次函數的定義：

設計意圖：這里題目起到舉一反三的作用，鞏固對概念的理解，升華對概念理性認識。

六、自我評價、小結

通過實際建模和對比比較一次函數的表達式，讓學生認識二次函數出現的合理性與必然性，豐富了學生的函數知識，體會到事物之間的這種“對立”與“統一”的關系，拓展和培養了學生的發散思維和創新能力。