數學中構造法探究

岑強 王宇欣

摘 要：數學一直以來都是一門重要的學科。要學好數學，掌握大量的數學方法必不可少。構造法是一種重要的數學研究方法。在碰到一些用常規思路解不出來的題目之時，往往可以利用構造法求解相關題目。一般地，我們可以從題目中給出的條件和結論進行研究，如果能找到一種新思路新觀點去看待問題，就能夠以一種新的角度去分析和理解對象，進而尋找出問題的條件與結論倆者之間的聯系所在。構造法是一種“非常規”的解題方法，但有時能夠更容易地解決問題。

關鍵詞：構造法;實例研究;數學思想

一、緒論

（一）什么是構造法

構造法是一種用來解決一些較為困難的數學問題的常見方法。我們應當從一個新的角度觀察、分析和理解一個對象。在這個過程中，要根據問題的特征和屬性，設置條件和結論;牢牢把握條件和結論之間的內在聯系，使用數據的特征、形狀以及問題的坐標等;以問題中已知的條件為基礎，以已知的數學關系和理論為工具[1]。因為構建出來的數學對象必須構造滿足給定的條件或結論，這樣原問題所隱含的關系和屬性就能夠清楚地由該對象揭示，解決問題的方法也就清晰可見。

（二）問題提出的背景與研究現狀

1、背景

19世紀末，克羅內克和龐加萊基于數學的可信性，提出了“存在，必須是被構造的”這一觀點，創立了早期的直觀數學學派。但是他們把直觀數學推崇到極致，反對一切非構造性的數學內容，搞得數學復雜難懂。隨后，馬爾科夫提出一種觀點，即一切數學概念都可以歸結為一個基本概念——算法的構造性方法[2]。但是算法數學以遞歸函數為基礎，同樣難以理解。直到1867年，美國數學家比肖博發表構造性分析藝術，擺脫了算法以及數學對遞歸函數的依賴，宣告現代構造數學的形成。現在，構造法不僅在組合數學、計算機科學等新領域舉足輕重，在數值分析、拓撲學等領域也至關重要。

在我國古代數學發展史上，有非常多的具有代表性的構造性算法.例如正負術算法，其對應的成果是引入負數及其運算法則;例如開方術算法，其對應的成果是開平法;例如《九章算術》中的約分術算法[3]，其對應的成果是求兩數最大公約數;例如還有割圓術算法，其對應的成果是引入極限概念.例如還有朱世杰所提出的四元術;例如方程術算法，其對應的成果則是線性方程組的“矩陣”求解;以及秦九部提出的大衍求術算法[4]和《孫子算經》里所提到的“物不知數”術算法等等;

2、現狀

現階段對于數學構造法的研究，主要有以下三大方面：第一方面是將數學構造法作為數學基本思想方法，從而進行數學構造法的相關理論研究;第二方面則是研究學生在學習數學構造法這一思想方法時所遇到的困難，并給出相應的學習和教學建議;第三則是從側面來深入挖掘研究構造法，即通過調查研究分析、數據整理，來研究構造法的學習心理及教學實務。

（三）研究方法與目的

1、研究方法

文獻分析法：文獻分析法即在構思論文內容之前，嘗試查找與數學構造方法有關的文獻資料，并對與之相關的文獻資料進行仔細、認真、合理的篩選整理，并對相關文獻資料進行認真的分析及研究[5]。

整理歸納法：整理歸納法即將搜集好的有關數學構造法資料進行系統的分類整理和歸納，同時對與構造法相關的例題進行針對性的整理分類，以便論文書寫時能夠更好的查看和運用，并要做好例題的深入分析研究。這一種研究方法的優點是能夠幫助我收集到大量而有應用價值的文獻資料，并且能夠有效地篩選出自己想要的文獻和資料，使得對數學構造法的分類以及例題的歸納更加有計劃性和條理性。

2、研究目的

解決數學問題有許多方法，在數學的實際解題過程中常規的方法可以解決，但操作起來非常繁瑣容易出錯甚至有時解決不了。構造法是指當解決數學問題使用通常方法按照定向思維難以解決問題時，應根據題設條件和結論的特征，性質，從新的角度，用新的觀點去觀察，分析，理解對象，抓住反映問題的條件與結論之間的內在聯系。構造法是一種不那么常規但是也許會更容易解決問題的方法，這種方法在解決某一類不等式的問題中效率更高并且容易了解未知問題與已知知識之間的聯系，從而進行對比。在構造的過程中既是對已知知識的更深了解，也是對未知知識的探究，并且還可以培養思維的敏捷性和創造性。

（四）構造法的理論依據及原則

1、理論依據

構造法體現于數學的方方面面。其理論依據可以追溯到波利亞的解題思想及數學解題表、弗賴登塔爾的數學教育理論（即數學化思想）、皮亞杰的建構主義學習理論（即學習的發生認識論）。此外，構造法本身與數學美有著緊密聯系。

2、構造原則

著名數學家波利亞曾經指出：“掌握數學意味著什么？就是意味著善于解題，我們不僅要善于解一般標準的題，而且還要善于解要求我們獨立思考、思路合理、見到獨特和有發現創造意義的題”。由此可見，數學解題對數學學習的意義是非常重要的。我們在解決具體的數學問題時運用數學構造法要遵循一定的原則。

（1）相似性原則

相似性原則是指在我們在解決實際的數學問題時，通過認真觀察所要解決數學問題中的條件和結論特征、分析思考條件與結論之間的內在聯系，然后嘗試與我們己經解決過的問題、熟知的公式及函數等建立聯系。最后根據數學中的基本對象構造出恰當的數學模型，從而間接的解決原問題。

（2）直觀性原則

直觀性原則是指根據問題的結構，通過對原問題中條件和結論的觀察分析，直接構造某種與原問題類似的數學形式或模型，從而使原問題中的條件和結論之間的數學關系清晰體現出來，進而解決問題[6]。

（3）等價性原則

等價性原則是指將原問題中的條件轉換為一種與之等價的新形式，使得原問題中的條件和結論在所構造的新條件下進行解答。此時我們構造的問題與原問題本質上是等價的，所以解決了該問題也就解決了原問題。

二、大學階段構造法的實例研究

（一）構造函數在微分學中的應用

在微分學中，構造函數法有著許多的經典的方法和技巧。我們可以從多種角度來構造新函數，比如從問題的結論及特點來構造一個新函數，然后利用該函數來解決新問題。一個典型的例子是拉格朗日中值定理的證明[7]。

例題2.1

證明拉格朗日中值定理，若函數滿足下列條件：（1）在閉區間連續，（2）在開區間可導;則在開區間內至少存在一點，使得

分析：由定理的結論出發，得結論與羅爾定理的結論很像。所以若有

則滿足羅爾定理。這時想到構造新的函數，考慮在上滿足羅爾定理。

（二）構造數列在求極限中的應用

構造數列，利用其性質和斂散性，將問題進行轉化。下面以一道求極限的問題為例進行探討。

（三）構造級數判斷已知函數項級數

判別法是判別函數項級數一致收斂時經常使用的一種方法，在使用判別法時，需要根據已知函數項級數來構造出收斂的正項級數，對問題進行轉化。

但因為不存在，所以函數在點不連續。

（五）構造不等式

構造不等式的目的是為了利用不等式的性質解決問題，下面我們用一個實例來說明這點。

若數項級數收斂，則數項級數絕對收斂。

證明：構造不等式：因為數項級數收斂，數項級數收斂所以收斂，根據比較法知：收斂。

三、研究結論

在解決實際數學問題的過程中，我們通常不能直接地利用原問題中的條件或者結論直接解決問題，否則往往會導致解題步驟較多、解題程序繁瑣，從而容易出錯[8]。此時，我們可以選擇新的解題思路及途徑，構造與原問題中的條件和結論相關的數學對象或者數學模型來幫助我們解決問題。這樣可以簡化解題過程，提高解題準確率[9]。在使用數學構造法時，要通過對問題中的條件進行一系列的分析、變形、推導和演繹，才能找到正確、合理的解題方法和思路。因此，在解題過程中，我們會經常用到數學構造法[10]。

（一）數學構造法解決實際問題的優點

1、運用數學構造法解題可以幫助我們優化解題的途徑

我們在解決問題的過程中往往會遇到一些用一般的解題方法無法快速解決的難題。利用數學構造法，可以化繁為簡，幫助我們理清解題的思路和方法，從而幫助我們優化解題的途徑[11]。

2、數學構造法可以從側面揭露出原問題中的隱含條件

題目中往往會隱含一些條件，而這些隱含的條件一定程度上會影響我們解題的思路，甚至直接決定著我們是否能夠解決問題。使用數學構造法解題能夠幫助我們發現并分析題目中的隱含條件，使得原問題中的條件和結論更加的清晰簡單，進而可以快速、正確的解決問題[12]。

3、數學構造法可以溝通原問題中的條件和結論

在問題的實際解決過程中，很多數學問題我們只分析己知條件是很難求解的，我們需要按照一定的目標和方向，根據數學構造法所構造的數學對象，在原問題的條件和結論之間架起一座橋梁，理清原問題中條件和結論之間的內在聯系。只有這樣，我們才能根據原問題中的結論和條件對問題進行詳細分析，并利用我們分析推理出的推導邏輯關系解決原問題[13]。

4、數學構造法可以幫助我們轉化、融合數學知識

我們在解決一些數學綜合問題時，常常需要我們將原問題中的代數問題轉化為幾何問題，或是要求我們采用數學構造法構造函數來求解幾何問題：例如求解問題中的線段最長、最短值問題，求參數的取值范圍的問題等等[14]。我們在運用數學構造法解決這些實際問題的過程中能夠促使數學知識之間的相互聯系和內化，使得數學知識之間可以互相轉化，從而使得我們學習數學知識時更加全面和系統。

（二）數學構造法解題步驟

首先，對原問題進行仔細的觀察和分析，思考原問題要求我們解決的問題;其次，根據原問題中要我們求解的問題，認真分析題干中的條件，在題目中標記出關鍵條件，并思考分析原問題中的條件與問題的內在聯系，尋找解題的突破口;再次，將我們學過的知識與原問題中所給的條件緊密結合起來，再利用數學構造法中的多種模型，思考是否有數學對象與原問題中的條件和結論相關，然后根據具體的分析和嘗試構造出具體的數學形式或對象[15];最后，我們要根據所構造的數學對象，結合原問題中的具體問題及情境，對條件及結論進行仔細的推敲，進而理清解題思路，解決問題。

參考文獻：

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[2]高中數學構造法解題的研究與實踐[M].中國農業出版社.2019.

[3]余紅兵，嚴鎮軍編著.構造法解題[M].合肥：中國科學技術大學出版社.2009.

[4]葉立軍主編.數學方法論[M].杭州：浙江大學出版社.2008.

[5]潘琦，路線.構造法在數學分析中的應用.吉林工程技術師范學院學報，JournalofJilinTeachersIns-

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[6]陳泓熹.構造法在高中數學解題中運用的分析及研究.數學學習與研究：教研版，2018， 000（003）.

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[13]李朝磊.巧借構造法妙解數學題——解析構造法在高中數學解題中的應用.數學大世界（中旬版），SHUXUEDASHIJIE2019，（1）.

[14]戴耀藝.構造法在數學解題中的應用.中學教學參考， ReferenceforMiddleSchoolTeaching2019， （11）.

[15]劉偉.構造函數法在高等數學競賽中的應用.產業與科技論壇，Industrial&ScienceTribune2018， 17（7）.