小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)幾何題類型及總結(jié)

程路加

摘 要：幾何從小學(xué)的正方形長(zhǎng)方形開始，再到初高中的立體幾何，一直是數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，也是考試的必考點(diǎn)。小學(xué)階段的平面幾何，是小學(xué)數(shù)學(xué)階段的一個(gè)重點(diǎn)知識(shí)，在小升初的考試中也占據(jù)了較大比例。基于此，本文主要就小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)幾何題類型進(jìn)行了分析和總結(jié)。在內(nèi)容上，首先從熟練小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何公式、把握小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何思想兩個(gè)維度就小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了歸納和總結(jié);其次簡(jiǎn)要總結(jié)了現(xiàn)階段小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何常見考點(diǎn);最后，分填空題類型、解答題類型兩個(gè)層面對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何考試形式進(jìn)行了歸納，并就其經(jīng)驗(yàn)方法和解題技巧進(jìn)行了總結(jié)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);基礎(chǔ)幾何;考試形式;經(jīng)驗(yàn)總結(jié)

整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)中，最重要的兩類知識(shí)就是數(shù)字和圖形，而圖形用數(shù)學(xué)專業(yè)術(shù)語來說就是幾何，一個(gè)由古希臘語演變而來的詞匯。在數(shù)學(xué)王國中，幾何占據(jù)半壁江山，是大家在數(shù)學(xué)考試中必考的知識(shí)，也是很多同學(xué)非常容易丟分的知識(shí)。小學(xué)數(shù)學(xué)主要分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率和解決問題這四大模塊。小學(xué)的幾何問題雖然沒有初高中的復(fù)雜、有難度，但也是很重要的一部分，需要熟練掌握平面幾何知識(shí)和常見考點(diǎn)題型。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何知識(shí)點(diǎn)及學(xué)習(xí)策略

圖形與幾何部分課程是我國中小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科知識(shí)的重要組成部分。新課標(biāo)中規(guī)定的圖形與立體幾何的內(nèi)容和知識(shí)結(jié)構(gòu)以"立體-平面-立體"的圖形為知識(shí)主線，以"圖形的認(rèn)識(shí)、測(cè)量、圖形與位置、圖形與變換"四條知識(shí)線索有序展開，遵循教師和學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)，各個(gè)學(xué)段逐層推進(jìn)。

（一）注重運(yùn)用平面幾何公式

小學(xué)生的數(shù)學(xué)平面圖在幾何基礎(chǔ)知識(shí)中，幾何最主要的考察測(cè)量項(xiàng)目之一就是測(cè)量圖形的直線周長(zhǎng)、面積和圖形的體積，而對(duì)于我們最常見的基本幾何圖形，這些都被認(rèn)為是需要有基本幾何計(jì)算公式的，也是小學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)的過程中，在學(xué)習(xí)和計(jì)算幾何的時(shí)候最常用的基本幾何計(jì)算方法。比如小學(xué)生的數(shù)學(xué)平面圖在幾何基礎(chǔ)知識(shí)中三角形的面積計(jì)算公式：面積=底×高÷2，很多學(xué)生學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何知識(shí)過程中在計(jì)算時(shí)經(jīng)常忘記最后的除以2，導(dǎo)致計(jì)算的錯(cuò)誤。

例1 四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD 上，若△AED，△DEF，四邊形BCFE的面積比是1：3：5，則AE：BE是多少？

分析：作為最基礎(chǔ)的幾何計(jì)算的方法，幾何計(jì)算公式的學(xué)習(xí)是一定要爛熟于胸的，做到隨時(shí)隨地都能夠絲毫不差的把它背出來。對(duì)于這樣的情況，就需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中從本質(zhì)上了解這個(gè)公式是怎么得到的，加深理解才能熟練地掌握公式，為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（二）注重運(yùn)用小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何思想

小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何知識(shí)中能夠熟練運(yùn)用幾何公式主要針對(duì)的是學(xué)習(xí)過程中簡(jiǎn)單的幾何題目，但是要想解決其他有些難度的小學(xué)數(shù)學(xué)幾何題，還需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中把握小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何思想，這就需要幫助學(xué)生能夠理解和把握解幾何題常用的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化思想。

例2 如圖所示，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB的長(zhǎng)是6厘米，BC的長(zhǎng)是8厘米，四邊形EFHG的面積是5平方厘米，求出陰影部分的面積。

解析：本題中的幾何圖形第一感覺是亂，線段縱橫相互交錯(cuò)，規(guī)則圖形與不規(guī)則圖形重疊并存。尤其是年齡尚幼的小學(xué)生，容易束手無策。但作為標(biāo)準(zhǔn)的小學(xué)數(shù)學(xué)考試題，考試有時(shí)間限定，因此這是對(duì)做題者的知識(shí)積累和破題效率的檢驗(yàn)，也是對(duì)思維敏捷度和邏輯性的測(cè)試。

根據(jù)題意，首先從已知條件入手，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為長(zhǎng)方形，AC和BD是長(zhǎng)方形的對(duì)角線，且相交于H，所以可根據(jù)其性質(zhì)得出隱含于其中的其它條件：

（三）注重運(yùn)用空間觀念和思維能力

小學(xué)階段學(xué)習(xí)的幾何都是比較簡(jiǎn)單直觀的。因此，多觀察對(duì)學(xué)好幾何特別有利。通過空間思維將原有圖形轉(zhuǎn)化或補(bǔ)全，以便于更清晰的明確條件和所求問題。

思路：將陰影部分的面積看成兩個(gè)或多個(gè)規(guī)則圖形的差。

在幾何學(xué)習(xí)中，有許多圖形大同小異，例如正方形、長(zhǎng)方形、梯形，直線和射線等，在做題過程中針對(duì)這類圖形時(shí)，一定要讓學(xué)生多思考，通過分析和對(duì)比，找出這些圖形的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。對(duì)于幾何中的公式、定理可以做到有效清晰的運(yùn)用，進(jìn)而取得好成績(jī)。

二、常見考點(diǎn)和對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn)系統(tǒng)總結(jié)策略

下面以小學(xué)數(shù)學(xué)中較為常見的三角形為例，對(duì)三角形常見考點(diǎn)和對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)。

例5 如圖，已知三角形ABC的面積為14平方厘米，且DC=3DB，AE=ED，求陰影部分的面積是多少平方厘米。

分析：此題只是告訴了整個(gè)大三角形的面積，而沒有給出任何線段的長(zhǎng)度，所以此題肯定不能直接用公式求面積。題中給出AE=ED，這個(gè)條件怎么使用呢？如果連接DF，這樣就可以得到兩個(gè)面積相等的三角形，于是陰影部分的面積就等于三角形DCF的面積。

接著看題中的條件DC=3DB，根據(jù)“等高的三角形面積之比等于底邊之比”可以推出S△DCF

=3S△BDF，再結(jié)合△CDF，△CAF，△BDF的面積之和等于三角形ABC的面積，即為14平方厘米，得出等量關(guān)系，于是問題即可得到解決。

解析：這道題有一定難度，如果不能正確把相等面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將無法得出結(jié)果。解題的關(guān)鍵是理解等高的三角形面積之比等于底邊之比。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何考試形式

小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何考試形式主要可以分為概念以及基本性質(zhì)的考察、公式運(yùn)用、平面圖形的周長(zhǎng)、面積、高的求解，這類題目主要以填空題的形式出現(xiàn)，難度較低。平面幾何出現(xiàn)大題中，常見類型是求陰影面積。平面圖形的面積問題一直是考察的重難點(diǎn)內(nèi)容，可分為規(guī)則、不規(guī)則以及組合圖形。

（一）小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何填空題類型

填空題多考察基礎(chǔ)概念和性質(zhì)。如，邊長(zhǎng)增加1分米變?yōu)?6分米，面積變?yōu)?6×16=256平方分米，則面積增加了____。

在計(jì)算中涉及到確定圖形、選擇公式、計(jì)算結(jié)果。原面積為15×15=225平方分米，增加了256-225=31平方分米。應(yīng)該注意到，做小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何填空題類型需要注意它的常見陷阱---單位。首先要看題目中有沒有單位，沒有單位的要寫上，其次要看單位是否統(tǒng)一，不統(tǒng)一的要化成統(tǒng)一單位。此外，小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何填空題類型畫草圖也是一種好方法。

（二）小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何解答題類型

小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何解答題以求陰影面積為主，此類題要注意方法。如，以下圖形求陰影面積：

（1）求下圖中的陰影面積

該種小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何解答題類型的方法是重新組合法，就是將小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何解答題中的不規(guī)則圖形拆開，根據(jù)情況，組合成一個(gè)新的熟悉的平面幾何組合圖形去求解。組合后如下圖：轉(zhuǎn)換成一個(gè)圓，一個(gè)正方形，直接求即可。

（2）求下列陰影部分面積

該種小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何解答題類型一般是用旋轉(zhuǎn)法，左半圖形繞B點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180度，使A與C重合，從而構(gòu)成下圖的樣子，此時(shí)陰影部分的面積可以看做半圓面積減去中間等腰三角形的面積。

（三）小學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何基本方法總結(jié)

對(duì)于不規(guī)則圖形的面積通常比較難于求解，但掌握一些解題方法，有助于我們快速的解決問題。常見的求平面圖形的面積的方法，除了上面兩種方法，還有直接求法，輔助線法，割補(bǔ)法，平移法，對(duì)稱添補(bǔ)法，大家在平面幾何專題的時(shí)候，務(wù)必重視這些基本方法。

一是幾何三大圖形變換：對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)，這三類幾何圖形的各種變換和方法幾乎貫穿了從小學(xué)到高中的所有幾何學(xué)習(xí)題目，尤其在高中平面幾何的題目中經(jīng)常被學(xué)生遇到，巧用這些圖形轉(zhuǎn)化方法可以很快幫助學(xué)生完成對(duì)幾何圖形的變換和轉(zhuǎn)化，達(dá)到快速解題的理想目的。

例6 用3個(gè)棱長(zhǎng)為2分米的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是（）立方分米，表面積是（）平方分米。

解析：根據(jù)拼切前后，體積之不變，可知這個(gè)長(zhǎng)方體的體積就是原來3個(gè)正方體體積之和，V==3×2×2×2=24立方分米;拼一次，減少兩個(gè)面，用3個(gè)棱長(zhǎng)為2分米的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，拼了2次，就減少4個(gè)面，S==4×2×2=16平方分米，3個(gè)正方體表面積之和為S=3×=3×6×2×2=72平方分米，72-16=56平方分米.

二是熟練運(yùn)用等積幾何變形。等積幾何變形就是在能夠保證幾何圖形面積固定不變的基礎(chǔ)上，將圖形的幾何形狀和長(zhǎng)度進(jìn)行了改變，轉(zhuǎn)化為我們自己想要的幾何圖形，能夠熟練的掌握和運(yùn)用等積變形的知識(shí)和方法，可以有效的幫助大家提高我們掌握幾何數(shù)學(xué)解題的能力。

例7 一個(gè)圓錐的體積是9.42立方分米，底面直徑是6分米，它的高是（）分米，和它等底等高的圓柱的體積是（）立方分米。

解析：由V=Sh÷3，可知h=3V÷S=9.42×3÷（3.14×3×3）=1分米，又知等底等高的圓柱體積是圓錐體積的3倍，可知圓柱的體積列式為9.42×3=28.26立方分米（注意，圓錐的高h(yuǎn)=3V÷S，而不是h=V÷S）.

三是所謂的幾何基礎(chǔ)模型。所謂的幾何模型是在對(duì)幾何的基礎(chǔ)知識(shí)上，通過對(duì)實(shí)踐研究驗(yàn)證得到的一些比較通用的理論性質(zhì)，運(yùn)用這些幾何基礎(chǔ)知識(shí)，可以將一些比較復(fù)雜的幾何設(shè)計(jì)題目得出。通過簡(jiǎn)單地計(jì)算分析得出的結(jié)果，是我們解決復(fù)雜的幾何題目常用到的一種方法。

例8 一個(gè)圓柱的體積是6立方厘米，與它等底等高的圓錐的體積是（）立方厘米。

解析：根據(jù)等底等高的圓錐體積是圓柱體積的1/3，列式為6×1/3=2立方厘米。

四是拼接和割補(bǔ)。顧名思義，割補(bǔ)的技巧和方法就是將所有圖形全部進(jìn)行分割或者拼接填補(bǔ)，組成一個(gè)有規(guī)則的圖形，方便考生求出圖形面積，而在實(shí)際的運(yùn)用中，有些簡(jiǎn)單的題目只是需要簡(jiǎn)單學(xué)會(huì)運(yùn)用圖形分割或者拼接填補(bǔ)的技巧和方法，而有些復(fù)雜的題目需要先將所有圖形全部進(jìn)行分割后再直接進(jìn)行圖形拼接和填補(bǔ)。

例9 一個(gè)大直角三角形，灰色區(qū)域?yàn)檎叫危叫蔚囊粋€(gè)頂點(diǎn)把直角三角形的斜邊分割成8和4兩段，求陰影區(qū)域的面積。

解析：在小學(xué)幾何題的計(jì)算中，尤其是計(jì)算陰影面積，我們最常用到的方法就是“割補(bǔ)法”。在計(jì)算幾個(gè)部分的面積時(shí)，我們通常可以把幾個(gè)部分分開再重新組合成新的簡(jiǎn)單圖形，然后再進(jìn)行計(jì)算。將陰影的小三角形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，正好與陰影的大三角形拼成一個(gè)新的直角三角形。且直角邊分別為4和8，再用三角形面積公式就可以求出它的面積。

四、小結(jié)

圖形與幾何主要研究現(xiàn)實(shí)世界中的物體和幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變換，讓學(xué)生掌握相應(yīng)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，學(xué)會(huì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，豐富對(duì)現(xiàn)實(shí)空間及圖形的認(rèn)識(shí)，更好地認(rèn)識(shí)和理解人類的生存空間，發(fā)展形象思維，培養(yǎng)空間觀念和創(chuàng)新意識(shí)。其實(shí)小學(xué)立體幾何的題型不管怎么變，最基本的還是圍繞正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐這些基本圖形來展開，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化、了解題目意思、學(xué)會(huì)畫圖、總結(jié)規(guī)律，那么在考試中，這類題目的分?jǐn)?shù)一定可以拿下！

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