從函數的定義域問題談數學思維的培養

王琳茹

摘?要：本文主要梳理學生因忽視函數的定義域或定義域概念不清出現的常見問題，從函數概念的內涵和外延角度，深入地分析原因，并從學生數學思維的培養角度提出解決方案，幫助學生走出誤區。

關鍵詞：定義域;常見問題;數學思維

在函數的學習及應用中，與定義域有關的問題很多，但由于學生對定義域的忽視或定義域概念不清而造成的錯誤現象較為普遍.本文主要結合學生在一些典例中出現的常見問題進行歸納總結，指出問題之所在，分析成因并從數學思維的培養角度提出解決辦法，幫助學生充分理解函數部分知識，走出解題誤區，進一步培養學生的思維能力和必備品質。

一、與定義域有關的常見問題

1.在求函數值域時忽視定義域

關于二次函數求給定范圍內的值域問題，往往忽視已知區間，直接利用頂點坐標公式獲得值域，導致值域范圍較大.或求與實際問題有關的值域問題時，忽略自變量的隱含條件，導致最終結果產生矛盾。

2. 在討論函數單調性時忽視定義域

基本初等函數的單調性學生都能熟記，給定區間的單調性也能借助于圖像去分析，但對于復合函數單調性的討論存在的問題則較多.教師給學生總結的“同增異減”的規律，學生都能牢記且敢于使用，但在使用的時候“寫而不全”的現象很普遍，學生只是去用規則，但忽視了規則成立的大前提條件即都要在定義域的范圍內進行。

3.在討論函數奇偶性時忽視定義域

函數奇偶性是函數的一類非常重要的性質，由于大部分函數圖像不易得，因此函數圖像判斷奇偶性不太方便，于是要求學生還要掌握用定義法來判斷函數奇偶性.學生反映最多的問題是直接去比較f（-x）與f（x）的關系，忽視了定義域要關于原點對稱的條件。體現了學生對于奇偶性定義的理解不夠完整全面，只注重耗費時間長占用篇幅多的操作部分，對于大前提條件往往忽略。

例3 判斷函的奇偶性。

錯解：由于，，所以函數為奇函數。

在考慮函數奇偶性之前，忽視了函數定義域即{x|x≠1}，該定義域并不關于原點對稱，因此根本談不上關于y軸或關于原點對稱，故該函數為非奇非偶函數。

4.在求抽象函數定義域時容易求錯

學生普遍不理解定義域為誰的取值范圍，將被作用對象和自變量混為一談，對于括號里的被作用對象應取自同一個集合不甚來理解，使得這類題型成為定義域問題的難點題型。

忽視了定義域的本質為自變量x的取值范圍，對于不同函數中的字母x混淆不清，不能透過字母的形式看本質。

5.換元后忽視新元的定義域

在解決抽象函數解析式或討論復雜函數的值域或單調性問題時，往往要進行換元處理，將原函數形式轉換為基本初等函數的形式，這時新的變元產生，同時其自身范圍也要發生變化，故要重新確定定義域，否則會影響結果的分析。

忽略了已知條件[2，4]或搞不清該區間為哪個變量的范圍，在換元后，未求出所換新元t的范圍，造成替換后的二次函數在定義域為實數集的情況下求出錯誤最值。

二、培養學生的數學思維以減少失誤

1. 注重思維的靈活性

學生在初中時形成的無限制條件下的處理問題的思維根深蒂固，還未形成有限制條件問題的處理方式，思維方式較為單一，思維的靈活性還不夠.鑒于此，筆者認為在學生剛入校時積極開展初高中知識的銜接是非常有必要的，將給定區間的值域問題加進去，讓學生慢慢意識到，問題的處理不再是絕對理想化的條件，要具體問題具體分析，而不是盲目處理，慢慢轉變學生的思維方式.教師在講授這類題目時，要幫助學生樹立數形結合的思想，培養學生看圖說話的能力，逐步打開學生地思維方式，培養學生靈活處理問題地能力。

2. 鍛煉思維的深刻性

定義域是函數的三要素之一，忽視定義域的根本原因是對函數概念的理解缺乏深層次的認識，僅僅停留在重視“變化說”，輕視“集合對應說”的層面，對于題型只會進行簡單地復制，對函數的學習思路和解題方法的實質缺乏系統的認知.為避免學生出現這種現象，教師要深研函數概念教學，注重概念的生成過程.為此，教師要強調高中函數定義與初中函數定義的區別與聯系，對函數三要素不僅要給予解釋，更要讓學生明白具備什么條件的表達式才能稱之為函數，并進一步強調定義域、對應關系、值域三要素不可或缺，由于值域可由定義域和對應關系推得，故碰到一個函數首先必須求函數的定義域，只有定義域清楚了，這個函數有意義的條件就清楚了.讓學生樹立定義域優先考慮地意識。

3. 開展思維的批判性

不管是忽視定義域或是忽略新元自身隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，善于質疑，養成良好的檢驗習慣，就可以避免錯誤結果的產生.換句話說，學生要能在解好題目后，注意檢驗自己的結果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，更能體現出良好的思維批判性。

4.培養思維的嚴謹性

教會學生對函數問題要養成仔細審題的習慣，查看是否與定義域有關.同一道題會因定義域的取值范圍不同而造成不同的結果，因此要善于觀察定義域，讓問題的解決全方位且周密地進行，不因忽略個別條件而出錯，充分體現思維地嚴密性和細致性.有時函數的定義域中還含有參數，教師要幫助學生樹立分類討論的思想，將設計的多種情況都要分別討論，為方便檢驗可引導學生適時地采用數形結合的思想，幫助學生理清思路，讓解題的每個步驟都有理有據，充分體會數學解題思路的嚴謹性。

參考文獻：

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