體現函數的研究方法 發展學生的核心素養

摘? 要：冪函數是高中生學習的第一個函數，對高中階段研究指數函數、對數函數、三角函數等其他函數具有示范作用. 在教學中要充分體現研究函數的“基本套路”，體現從具體到抽象，從特殊到一般，觀察、歸納、抽象、概括、類比的思維方法，以及從函數圖象和代數運算兩方面研究函數的方法，發展學生的數學學科核心素養.

關鍵詞：冪函數;函數的研究方法;核心素養

為貫徹落實習近平總書記給福建省壽寧縣下黨鄉鄉親們的回信精神，持續鞏固脫貧成果，10月22日至24日，由中國教育學會中學數學教學專業委員會主辦的“中央蘇區、革命老區中學數學教師培訓”活動在寧德市壽寧縣舉行，筆者有幸參與此次活動，深受教育. 在壽寧縣，北京市第五中學的王琦老師做了一節“冪函數”的現場研究課，受到了現場教師和專家的一致好評，給當地帶來了新的教學理念，以及教學實踐范例. 針對“冪函數”這節課，筆者談談設計和實施中的一些思考，供大家參考.

一、教學目標的定位

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）指出：冪函數、指數函數與對數函數是最基本的、應用最廣泛的函數，是進一步學習數學的基礎. 本單元的學習，可以幫助學生學會用函數圖象和代數運算的方法研究這些函數的性質;理解這些函數中所蘊含的運算規律;運用這些函數建立模型，解決簡單的實際問題，體會這些函數在解決實際問題中的作用. 對于冪函數，通過具體實例，結合[y=x]，[y=x2]，[y=x3]，[y=x-1]，[y=x12]的圖象，理解它們的變化規律，了解冪函數.

教學設計時，我們一開始的困惑是在學生得出冪函數的概念“一般地，函數[y=xα]叫做冪函數，其中[x]是自變量，[α]是常數”后，是否可以突破上述這五個具體函數的限制，讓學生自己給[α]取不同的值，探索冪函數的圖象規律. 若這樣設計，就需要借助信息技術，讓學生利用信息技術畫出多個冪函數的圖象，本節課教學目標的重點就成為觀察圖象、歸納性質，這樣就淡化了讓學生學會用函數圖象和代數運算研究這些函數的性質的方法，與《標準》給出的教學目標存在偏差. 同時，函數的圖象都是通過信息技術來畫的，學生不能體會先研究函數的性質，再畫出函數圖象的函數研究方法. 另外，冪函數的種類很多，學生掌握起來有很大的困難，考慮到教學對象的實際情況，不能人為增加學生的負擔，因此教學內容的定位依據《標準》，不進行拓展，讓學生通過函數[y=x]，[y=x2]，[y=x3]，[y=x-1]，[y=x12]的圖象和性質，了解冪函數，掌握冪函數的研究方法.

二、教學重點的體現

學生在初中學習了正比例函數、一次函數、二次函數和反比例函數，積累了研究函數的經驗. 到了高中，學習了集合語言和邏輯用語，而且高中對函數的概念進行了深化及符號表征，對函數的性質進行了抽象與擴展，學生對函數的認識也發生了變化，對函數的研究將會在初中研究的基礎上進一步發展與深入. 冪函數是學生高中學習的第一個函數，對今后學習指數函數、對數函數、三角函數等其他函數具有示范作用，因此對冪函數的研究至關重要，需要讓學生體會研究一類函數的“基本套路”（定義、表示、圖象與性質、應用）. 在這個基本套路中，要讓學生經歷研究一類函數的基本過程;體會一類函數具有的現實背景，明確一類函數的定義是從現實背景中抽象概括而來的;學習從特殊到一般，從具體到抽象，從函數圖象和解析式研究性質的方法;同時深化對函數概念與函數性質的理解.

人教A版教材將冪函數的內容安排在一般函數的概念和性質之后，可以理解為冪函數的學習是函數概念與性質的下位學習，同時通過冪函數的學習積累研究一類具體函數的內容、基本思路與方法，為后續研究指數函數、對數函數、三角函數等奠定基礎并提供范例.

三、教學過程的生成

在教學的第一個環節——從實際情境中抽象出冪函數的定義后，教師追問：根據定義，你能再舉出幾個冪函數嗎？這是一個開放性問題，雖然這樣的設問是讓學生根據定義進行舉例，但不能小看這個問法，這不僅能培養學生的發散性思維，而且對學生的思維水平要求更高. 學生需要在理解定義的基礎上，整合現有知識，舉出例子并進行判斷，舉例子的過程就要考慮例子是否滿足定義，還要考慮例子的表達形式，是一個綜合的思維過程，比教師直接給出函數的解析式讓學生判斷是否滿足定義的思維要求更高. 這個過程不僅可以培養學生提出問題、分析問題、解決問題的能力，還能發展學生的數學抽象素養.

在教學的第二個環節——探究冪函數的圖象和性質的“梳理研究路徑，明確研究內容”中，教師提問：結合以往學習函數的經驗，我們應該如何研究冪函數？這樣設問，主要是為了調動學生以前積累的研究函數的方法和基本活動經驗，為下面研究函數做好準備. 接著，教師追問：如何作出冪函數[y=xα]的圖象？學生根據以前研究函數的經驗，類比給出從特殊到一般的研究策略. 教師繼續追問：[α]取什么特殊值進行研究，才能具備代表性？據此，教師指出本節課只是拋磚引玉，只從[α]為正整數的情況中選取三個最簡單的，即[y=x]，[y=x2]，[y=x3]，從[α]為負整數的情況中選取一個最簡單的，即[y=x-1]，從[α]為分數的情況中選取一個最簡單的，即[y=x12=x]進行研究. 掌握了研究的方法，其他冪函數可以課后自行探究. 問題層層深入、層層遞進，學生在解決問題的過程中，思維的水平得到了發展.

教學的第三個環節——探究五個冪函數各自的圖象和性質，這是本節課的重點. 在這個環節，教師將要研究的五個函數分成兩類：一類為學生已經學過的熟悉的函數[y=x]，[y=x2]，[y=x-1];另一類為學生沒學過的、不熟悉的函數[y=x3]，[y=x12]. 第二類的兩個函數圖象的生成將是教學的重中之重，教師對這兩個函數的處理方式不同. 對于函數[y=x3]，教師引導學生通過列表、描點、作圖來完成. 在列表時，如果能夠結合函數的奇偶性，既可以提高列表效率，又可以讓學生認識到函數的奇偶性在函數研究過程中有事半功倍的作用，還可以讓學生理解在研究函數的過程中單調性與奇偶性的順序問題. 對于函數[y=x12]的圖象的研究，教師先結合初中的知識，將函數轉化形式，表示為學生熟悉的[y=x]形式，然后研究此函數的定義域、奇偶性、單調性. 對于單調性的研究，教師把教材中的例題前移，放在此處處理，讓學生從單調性的定義證明函數[y=x12]在[0，+∞]上是單調遞增的，讓學生對這個陌生函數的單調性有了更深入的認識，最后再讓學生根據函數的性質畫出函數的圖象. 教學過程循序漸進，在與學生的互動中自然生成，給人的感覺是和諧、自然、水到渠成.

四、信息技術的使用

黨的十九大做出中國特色社會主義進入新時代的判斷，開啟了加快教育現代化、建設教育強國的新征程. 計算器、計算機在飛速發展的今天日益普及，運用計算器、計算機等信息技術工具，不僅可以實現快速、準確地列表、畫圖、計算等數據處理，而且能使大量人工難以完成的數據處理變成可能，信息技術的使用已經是教師教學的一部分. 在本節課中，信息技術使用恰當，對于學生不熟悉的函數[y=x3]，[y=x12]，教師沒有直接利用信息技術軟件畫出函數的圖象，而是讓學生經歷畫出函數圖象的過程，在學生得到大致圖形后，再利用信息技術準確地畫出函數圖象，加深了學生對函數圖象的認識. 信息技術雖然使得教學生動、多樣、高效，但在教學中，不能為了使用技術而使用，也不能用信息技術代替學生的思考，要恰到好處.

五、教學引入的思考

對于冪函數的教學引入，我們有兩個觀點：一是依據冪函數背景，從實際生活中抽象;二是依據冪函數的結構，從數學知識發展中引出. 兩種方式各有優勢和不足.

第一種引入方式，通過一系列實際問題，學生可以感受到客觀世界中很多變量關系可以用冪函數表示，從而體會到冪函數研究的必要性和應用價值. 而且中學階段學習的幾種函數都有著它們的實際背景. 冪函數是高中階段學習的第一類具體函數，從實際背景中抽象出冪函數的概念，對高中階段其他函數的研究具有示范作用. 同時，對實際問題進行抽象也是很多數學概念和問題產生的方式.

第二種引入方式，結合學生初中學習過的一次函數、二次函數和反比例函數提出問題：前面我們學習了函數的概念和表示法，以及函數的單調性、奇偶性和最大（最小）值. 今天我們就應用所學，研究一類具體的函數. 初中我們學習過一次函數、二次函數和反比例函數，它們都是在實際生活中有著廣泛應用的函數，不難發現這些函數都是由[y=x]，[y=x2]，[y=1x=x-1]這樣一些更為基本的函數通過運算得到的. 從解析式上看，這幾個函數有什么共同特征？學生觀察幾個函數解析式的結構，發現它們都具有冪的形式，底數是自變量，指數是一個常數，然后給出定義. 這樣設計，學生容易認同冪函數的基礎性，從而認同研究冪函數的價值，也為后續認識冪函數與多項式函數的關系奠定基礎. 多項式函數是我們最熟悉的函數形式之一，是由冪函數經過一系列運算得到的. 多項式函數用它近似代替一些比較復雜的函數，實現以簡馭繁，這是研究函數在一點近旁性態的有力工具，也是微分學，乃至數學的精義所在. 微積分中的泰勒展開式，給出了用多項式函數近似表達復雜函數的理論保證，在近似計算和數值分析中具有十分重要的意義，冪函數是多項式函數的基礎，在后續的學習中發揮著巨大的作用.

權衡兩種冪函數教學的引入，考慮冪函數是高中研究的第一個函數，教學中要充分體現冪函數的范例作用，我們選擇了第一種引入方式. 關于第二種引入，也就是冪函數的基礎地位，冪函數的價值，在后續的教學中尋找合適的時機，讓學生體會.

新時代背景下，教育教學在《標準》、教材、考試等方面發生了一系列變化，需要我們教師緊跟時代的步伐，更新教育理念，認真研究《標準》、研究教材，研究數學的本質，精心設計教學過程，發展學生的核心素養，鑄魂育人.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建躍. 注重“基本套路”才是好數學教學[J]. 中小學數學（高中版），2012（3）：封底.

收稿日期：2020-11-02

作者簡介：雷曉莉（1973— ），女，中學高級教師，主要從事中學數學教學、評價和教師培訓研究.