幾何畫板在初中數學動點問題中的應用探究

姜敏霞

摘要：幾何畫板是一款適用于數學教學的動態幾何教學用具，它可以為教師提供了豐富且便捷的創造功能，可以使教師能夠根據教學任務自如地編輯出自己所需要的教學課件。同時這款軟件還為中考數學中的動點問題的教學提供了豐富的教學手段，使教師方便教學，學生更加深刻理解各類動點問題的精髓所在。

關鍵詞：幾何畫板;初中數學;動點問題;難題;中考

1.幾何畫板的背景及發展

幾何畫板軟件是一款優秀的教學軟件，它是由美國Key Curriculum Press 公司制作并出版的。它能提供足夠多的方式方法幫助教師實現其教育教學思想，教師們只需要熟悉其簡單的使用方法就可以進行課件的編輯，幾何畫板可以說是目前數學教學最出色的軟件之一。1996年，在人民教育出版社的幫助下，該公司在中國發行了幾何畫板的中文版，為數學教學提供了極大的便捷，尤其是動點問題方面。幾何畫板能夠直觀地展示出動點的位置關系，運用動點的變化規律，是解決初中數學動點問題的關鍵。

面對中考數學當中的動點問題，幾何畫板可以提供多種功能來幫助教師教學和學生學習。如繪圖功能、計算功能、動畫功能、變換功能以及文字功能。尤其是動畫功能可以直觀地展示出動點問題中的一些相對應的動畫，以幫助學生解決各類難題。

2.中考數學中的動點難題

動點問題是中考數學當中的重要組成部分，也是中考數學中的難點所在。要解決動點問題，一是要搞清在點運動變化的過程中，題目中有哪些圖形在發生變化，并在點運動的相對靜止的那一瞬間，尋找變量之間的關系;二是學會運用對應的幾何知識;三是要具體問題，具體分析，進而達到解題目的。

如2019年衢州市的一道中考數學題：

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點D作DE∥AC交AB于點E，點M是線段AD上的動點，連接BM并延長分別交DE，AC于點F，G。求下列三個問題：

（1）求CD的長;

（2）若點M是線段AD的中點，求EF∶DF的值;

（3）請問當DM的長滿足什么條件時，在線段DE上恰好只有一點P，使得∠CPG=60°？

這是一道典型的中考數學動點問題，點M是線段AD上的動點，則點F，G也會隨著M 的運動而運動。它的綜合性很強，對學生的動手操作能力有很好的提升。通過教師在課堂上的講解，學生基本也能聽懂，但一到課下就不知道該如何動筆。能聽懂，但又不知該如何面對新題，該怎么辦呢？幾何畫板的運用，能夠很好地幫助學生解決這一難題。

3.幾何畫板在動點問題中的應用

我們可以運用幾何畫板將上述問題直觀地展示出來，這樣能夠使該動點問題的解決更加生動形象化，使得學生對這一問題的理解更加深刻。如上述題目中的第（3）小題，當線段DM的長度滿足什么條件時，在線段DE上恰好只有一點P，使得∠CPG=60°？

對于這個問題，我們可以引導學生先在草稿紙上畫出草圖，再把它放入幾何畫板當中進行解決。通過幾何畫板為學生演示該問題各種分類的精髓所在，以此加深學生對于動點問題的理解和把握。

要使∠CPG=60°，我們可以過點C，P，G作外接圓，圓心為Q，則△CQG是頂角為120°的等腰三角形。如圖所示：

當點M在線段AD上運動時，○Q的大小在發生變化，其與線段DE 的交點個數也在發生變化。根據幾何畫板上的動態圖象，我們很容易就發現這么一個事實：當點M在線段AD上從點D向點A運動時，○Q的半徑越來越大，，其與線段DE的交點個數由0個變成1個再變成2個到最后又變回1個，如上圖。

當○Q與線段DE的交點個數由0個變成1個時，此時○Q與線段DE相切。如圖1，可作QH⊥AC于點H，交DE于點P。不妨設○Q的半徑為r，則QH=r，r+r=2，從而得出r=，再根據相似三角形對應邊成比例的性質，就可以得出答案。

當○Q與線段DE的交點個數由1個變成2個時，此時○Q與線段DE相交。當○Q經過點E后，此時○Q與線段DE的交點恰好只有一個。如圖2，延長CQ交AB于點K，仍舊設○Q的半徑為r，在Rt△EQK中，QK=3-r，EQ=r，EK=1，根據勾股定理，解得半徑r=.再根據相似三角形對應邊成比例的性質，就可以得出答案;當○Q經過點D時，如圖3，此時點M，點G與點A重合，可得DM=AD=4。

觀察上述三幅圖象可知：當DM= 或時，滿足條件的點P恰好只有1個。

4.結語

由于篇幅的限制，本文所列舉的例子較少，但這并不影響幾何畫板在初中數學中的一些應用，尤其是動點問題方面。教師進修學校為此還特意開設有關幾何畫板的培訓課程，教師通過參加此類培訓，學習幾何畫板的繪圖功能、計算功能、動畫功能、變換功能以及文字功能，可以增加幾何畫板在初中數學教學的廣泛度。同時這也能提高學生對于動點問題的理解和轉化能力，提升他們的學習自信心，在學習上更上一層樓。