借助互聯網教學，讓數學建模課乘風飛翔

孫曉紅

[摘? 要] 數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養.如何讓數學建模課在數學課堂落地生根，是我們一線教師亟待解決的問題. 利用互聯網+教學，可在常規課程、選修課程、競賽課程三個層次由淺入深進行數學建模教學.文章以《生活中的三角函數》的教學設計為例，對數學建模進行深入探討.

[關鍵詞] 互聯網+教學;數學建模;三角函數

？搖為促進創新人才素質培養，青島二中2014年9月開始實施互聯網+教學改革，開展基于學習任務單的課前自主學習，培養學生自主學習能力;開展基于學習社區的學習，培養學生合作學習能力.在學習過程中，按照學生興趣、特點，建立高效、互補的學習社區，開展課上、課下的合作學習，逐步形成了“生學為本、合作內化、師教為要、點撥升華”的互聯網+教學原則. 這樣的教學方式使學生從傳統教學中知識的被動接受者，轉變為知識的主動學習積極獲取者，轉變為基于學習社區的小組合作學習者，轉變為課堂上基于重點問題展開的教學活動的參與研討者，充分體現了學習者的主體地位. 借助互聯網和PAD教學模式，大大提升了學生的學習興趣，提高了教學效率.以下是高中數學人教B版必修四第一章《三角函數》最后一節“三角函數模型的簡單應用”，以往教學都是以例題的形式，展現三角函數的簡單應用，突出三角函數作為描述現實世界中周期變化現象的一種數學模型，其在刻畫周期變化規律、頂測其未來等方面都發揮著十分重要的作用. 同時，也體現化歸轉化、方程與函數、數形結合等思想方法在研究解決問題中的作用. 教師在教學中也經常是以例題的形式，層層引入，讓學生發現三角函數模型來源于生活、為生活解決實際問題的工具性作用.但這種教學方式對于學生還是被動接受，主動探究的意識不強，對培養數學建模的思想不夠完善. 筆者的教學設計是變被動為主動，讓學生提前一周查閱資料，查找相關的資源，以小組自主探究、合作學習的模式發現生活中的三角函數，通過生活中周期性變化的事例大膽猜想其與三角函數的關系、建立三角函數模型、把求三角函數解析式的題型放在生活實例中、預測未來的發展趨勢，并同時教給學生數學建模的方法. 教學中，筆者讓學生做課堂的主人，提升學生的學科核心素養. 以下是本節課的具體教學設計環節.

環節一：課前教學設計

（一）提前一周的學生活動

按照五個教學班把學生分成五組，以“生活中的三角函數”為課題查找材料，選出組長、確定主講人，學生借助互聯網查找資料，制作PPT或視頻、文件材料，做好課上交流的準備.

教師活動：及時監督、指導學生活動的進度、內容、分工和輔導學生發言及研究工作.

設計意圖：前面對三角函數的定義、圖像和性質的學習是純數學知識，三角函數來源于生活、服務于生活的理念學生并不知曉，為了調動學生的學習興趣和學習積極性，讓學生自己發現、挖掘、猜想和應用生活中的三角函數，大大提高了學生的參與度和學習興趣，為數學建模做好鋪墊.

（二）上課前一晚的教學活動

通過PAD給學生發自主學習任務單，學生獨立完成，教師及時批閱.以下是自主學習任務單的具體內容：

1. 函數f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A>0，ω>0）的圖像與性質

（1）圖像的畫法：“五點法”和圖像變換法.

（2）定義域：_______________.

（3）值域：________________，當x=_______________（k∈Z）時，f（x）取最大值A+B;當x=_______________（k∈Z）時，f（x）取最小值-A+B.

思考：如何用f（x）■和f（x）■求A和B的值？

（4）周期：T=_______________.

（5）奇偶性：當且僅當φ=kπ（k∈Z）時，函數f（x）=Asin（ωx+φ）是_________函數;當且僅當φ=kπ+■（k∈Z）時，函數f（x）=Asin（ωx+φ）是__________函數.

（6）單調性：單調遞增區間是每一個____________;單調遞減區間是每一個_________.

（7）對稱性：函數圖像與直線y=B的交點是對稱中心，即對稱中心是_________，對稱軸與函數圖像的交點的縱坐標是函數的最值，即對稱軸是直線________.

2. f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A>0，φ<■）的圖像如圖1所示.

（1）求f（x）的解析式;

（2）要得到y=sinx的圖像，只需將f（x）的圖像進行怎樣的圖像變換？

設計意圖：復習并鞏固函數f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A>0，ω>0）的圖像與性質，為本節課做好知識儲備.

環節二：課堂教學設計

（一）復習反饋

對自主學習任務單的內容進行總結性講評，學生的易錯點是函數f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A>0，ω>0）的對稱中心是■，B（k∈Z），教師強調第2題圖像變換的格式.

（二）新課引入

學生朗讀白居易《琵琶行》片段并配有琵琶樂曲：“低眉信手續續彈，說盡心中無限事. 輕攏慢捻抹復挑，初為《霓裳》后《六幺》. 大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私語. 嘈嘈切切錯雜彈，大珠小珠落玉盤. 間關鶯語花底滑，幽咽泉流冰下難. 冰泉冷澀弦凝絕，凝絕不通聲暫歇.別有幽愁暗恨生，此時無聲勝有聲……座中泣下誰最多？江州司馬青衫濕.”學生深情地朗讀完后，教師現場采訪該學生，師說：“你能從這首詩里感受到數學的韻律嗎？說得再貪婪些，這里有沒有三角函數的味道？”生很嚴肅地答：“絕對有！琵琶旋律由舒緩到急促再到舒緩，音調由高到低再到高，在平面直角坐標系下描繪出的就是正弦型函數的圖像.”由此引出本節課的課題《生活中的三角函數》.

設計意圖：以詩的形式作為本節課的開篇之作，增強數學的人文素養，最出彩的是讀詩后的師生對話，幽默而又切合主題，課堂氣氛立刻被調動起來！

（三）開啟《生活中的三角函數》之旅

第一組：經濟團隊的《愛心曲線》

學生活動：學生介紹了笛卡爾的生平簡介和主要的思想成就、心形線背后凄美的愛情故事，由此引出極坐標系下的曲線和方程的關系，并讓學生親手繪制愛心曲線，鞏固了極坐標系的相關內容.

教師點評：從凄美的愛情故事中我們引出了與平面直角坐標系不同的極坐標系，它在生活實際中應用非常廣泛，而且通過愛心曲線，我們發現極坐標系與三角函數有著非常密切的聯系. 對老師感觸最深的是笛卡爾晚上睡不著，看到蜘蛛在棚頂織網，發明了直角坐標系，由此有了方程，然后所有的數學問題都可以歸結為代數問題，用方程來解決.教師希望學生也要有這樣的數學洞察力，把生活中的問題概括出數學模型，用數學知識得以解決.

設計意圖：從凄美的愛情故事中讓學生發現三角函數無處不在，極坐標系雖然還沒學，但讓學生利用所學知識自主探究完全可以勝任，從笛卡爾的發明創造開啟了數學建模意識和思想，順利地過渡到下一組的《聲音與三角函數》模塊.

第二組：數學微團2班的《聲音與正弦》

學生活動：學生發現正弦函數圖像與聲音的傳播形式聲波以及產生的三要素高度一致，猜想物理中的聲音與數學中的三角函數有高度的相關性，學生通過查找資料、在網上下載視頻“聲波形成的正弦曲線”，讓學生高度感知到數理不分家，三角函數與物理中的簡諧振動、聲音的傳播、交流電等都有非常密切的聯系.

教師點評：這個團隊的優點是發現案例后，學生敢大膽地猜想，并用實驗和視頻材料加以論證，最記憶猶新的是主持人告訴筆者他的猜想，過了幾天后，他激動而又驚喜地告訴筆者，他找到了證明這個猜想的視頻材料，隨著聲音要素的改變，手龍頭下出來的水花形狀就是正弦曲線！那孩子眼中的驚喜是筆者一輩子都不會忘記的，也更加堅定了筆者要把課堂還給學生，讓學生做課堂的主人，學生的潛力無限，只有這樣才能充分地施展他們的才華！

第三組：數學微團1班的《潮汐》

學生活動：生活在大海邊的孩子非常有必要了解一下潮汐的概念，這其中也蘊含著三角函數. 數學微團1班的主持人為學生們介紹了潮汐的概念和現象，并用上述知識解決了船舶進港和出港時間的數學應用問題.

教師點評：本小組的最大優點是利用潮汐的規律解決了船舶進港和出港時間問題，由一組數據擬合出三角函數模型，利用所學的三角函數知識解決生活實際問題，這正是數學建模和數學應用的步驟方法，本節課的教學目標被凸顯出來.

第四組：數學微團4班的《如何設計生活中的三角函數模型》

學生活動：本小組系統地概括了數學建模的方法和具體步驟，并以“關于日地之間距離的三角函數模型討論”為具體事例加以說明，并讓學生以“天安門廣場國旗升降具體時間”為課題讓學生進行數學建模，解決實際問題.

教師點評：作為展示的最后一組，不僅引出了數學建模的案例，還教會學生數學建模的方法和步驟、需要注意的問題，本節課達到了實施教學目標的高潮！

（四）課外延伸

1. 自出生之日起，人的情緒、體力、智力等心理、生理狀況就呈周期變化. 根據心理學家的統計，人體節律分為體力節律、情緒節律和智力節律三種. 這些節律的時間周期分別為23天、28天、33天.每個節律周期又分為高潮期、臨界日和低潮期三個階段. 以上三個節律周期的半數為臨界日，這就是說11.5天、14天、16.5天分別為體力節律、情緒節律和智力節律的臨界日. 臨界日的前半期為高潮期，后半期為低潮期. 生日前一天是起始位置（平衡位置），請根據自己的出生日期，繪制自己的體力、情緒和智力曲線，并總結自己在什么時候應當控制情緒，在什么時候應當鼓勵自己;在什么時候應當加強鍛煉，在什么時候應當保持體力？

設計意圖：在人的生理和心理領域也存在著三角函數，此案例實用性強，很受學生喜歡.

2. 請撰寫一篇有關《生活中的三角函數》數學小論文.

設計意圖：從發現、猜想、思考、論證、寫作出發，讓學生經歷數學建模的全部過程，培養學生的數學核心素養，讓學生終身受益.

（五）以詩結尾，首尾呼應

生活是正弦曲線

有時波峰，有時波谷

波峰時別得意忘形

波谷時別灰心喪氣

沒有波谷就沒有波峰

沒有波峰亦沒有波谷

有波谷沒有波峰人生不完美

有波峰沒有波谷人生不完整

善待他人，理解命運

得意時不以物喜，失意時不以己悲

喜憂相伴，歲月飄香

學生活動：學生朗讀，意猶未盡，意味深長……

設計意圖：在正弦曲線中感悟人生，教給學生做人的道理，更緊扣主題：生活中的三角函數！

環節三：教學反思

本節課首先凸顯學生的主體意識.在教學活動中充分發揮學生的主體作用，讓學生親自尋找生活中的三角函數，通過各小組的交流學習讓學生深刻體會生活即數學的教育理念.

首先，學生從知識的被動接受轉變為主動的參與者和積極的探索者，教師尊重學生個性，一切教學活動都應針對不同學生提供多種選擇，為不同水平的學生設置不同層次的問題，打破“一把尺子量天下的做法”. 其次，培養學生數學建模的思想和能力，為后續數學建模奠定基礎. 數學建模是數學六大核心素養之一，如何在課堂上培養學生的數學建模能力，值得每一位教師反思.通過本課的學習，學生掌握了數學建模的方法和步驟，數學論文的撰寫方法，提升了學生的應用意識和創新素養. 再者，營造開放、平等的課堂氣氛. “開放”就是實行民主教學，給學生思考的余地和交流的機會，讓他們真正參與進來. “平等”就是師生間平等、學生間平等，讓每一位學生都能以積極的心態和舒暢的心情參與學習活動，使其個性得以張揚.教師可嘗試“互換教學角色”的課堂模式，安排一定課時，讓學生在課堂展示和講解其課外成果，教師只需現場提問或點評升華. 這種形式的課堂將大大調動學生的參與積極性，增強學生的學習興趣和學習樂趣. 最后，在數學課堂滲透人文氣息，加強多學科融合，對學生進行數學哲理和價值觀教育，讓課堂真正地活起來，讓學生熱愛數學，這才是教育的真諦！

環節四：對互聯網+教學下的數學建模課總結與反思

2014年青島二中開始實施的互聯網+教學改革大大提升了學生的自學能力、提高了課堂效率. 2017年隨著新課程改革的深入進行，青島二中數學組的老師們借助互聯網和PAD教學模式，使數學建模課在常規課程、選修課程、競賽課程三個層次由淺入深進行教學. 常規課程：由現實情境問題引入課題，在章節結束安排建模實踐案例講解和探究實踐，旨在提升學生的數學應用意識;選修課程：開設數學建模選修課，供數學MT學生選修，介紹和講解更多基于高中知識的建模案例，加深學生對數學建模環節與流程的理解，能自主發現問題并建模解決問題;競賽課程：組織學生參與各類數學建模競賽，提供數學建模論文寫作指導和軟件編程實踐機會，能合作解決問題并形成規范的論文. 例如函數章節的放穩椅子問題，三角函數章節的氣溫預測問題，解三角形章節的高度測量問題，數列章節的體溫、體重預測問題，存款、貸款問題，不等式章節的洗衣服問題，立體幾何章節的3D設計問題等. 青島二中給予學生有充分的自主發展空間，利用周二周三選修課時間將數學熱情高、數學能力強的學生聚集到數學MT，團隊內具備濃厚的數學學習氛圍.數學MT的導師們給予數學建模課程教學充分支持，同時也聘請豐富而優質的校外教學資源，如中國海洋大學數學院和青島大學數學院的老師們給予學生建模學習的指導，學生多次參與海大的建模課程觀摩;學校建有數學建模實驗室，給學生軟件操作、合作交流提供便利條件，使得一些建模能力強興趣高的學生脫穎而出，發展了特長，為未來的專業選擇確立了方向. 近三年來有多支隊伍獲得登峰杯初賽、決賽一等獎，美國高中生數學建模比賽特等獎及特等獎入圍獎，成功舉辦了三屆全國山海杯數學建模大賽并獲得特等獎、一等獎等好成績;數學建模社獲得2017年優秀社團榮譽稱號.

未來之路還很長，為了學生的長遠發展，在互聯網+教學的助力下，數學建模課定會乘風破浪、繼續遠航！