“由沙漏想到的……”教學(xué)設(shè)計(jì)

霍燦斌

摘 ? 要：聯(lián)想是由一事物想到另一事物的心理過程。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在螺旋上升中逐漸展開，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，但這樣的學(xué)習(xí)使學(xué)生對知識的掌握是分散的、割裂的、碎片化的，不利于學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)，也不能深入發(fā)現(xiàn)知識的內(nèi)在聯(lián)系。通過探討圓柱與圓錐體積之間的關(guān)系這一模型，讓學(xué)生學(xué)會用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)看待問題，發(fā)現(xiàn)“變中有不變”的背后的本質(zhì)，然后讓學(xué)生展開類比聯(lián)想，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而讓學(xué)生的深度學(xué)習(xí)發(fā)生。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);類比聯(lián)想;數(shù)學(xué)思想;深度學(xué)習(xí)

中圖分類號：G623.5 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ?文章編號：1009-010X（2020）19/22-0107-04

【教學(xué)設(shè)計(jì)】

教學(xué)內(nèi)容：人教版第十二冊 ?圓柱與圓錐體積擴(kuò)展課

教學(xué)目標(biāo)：

1.復(fù)習(xí)鞏固圓柱與圓錐的有關(guān)知識，同時(shí)以此為模型讓學(xué)生展開聯(lián)想，復(fù)習(xí)前面所學(xué)知識;

2.培養(yǎng)學(xué)生“類比、聯(lián)想、歸納”的意識和能力，實(shí)現(xiàn)知識從“點(diǎn)狀化”到“結(jié)構(gòu)化”的轉(zhuǎn)變;

3.善于發(fā)現(xiàn)生活中數(shù)學(xué)的問題，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看世界，感受數(shù)學(xué)的“內(nèi)在美”。

教學(xué)重點(diǎn)：學(xué)生猜想、驗(yàn)證、歸納、推理、聯(lián)想能力的培養(yǎng)，深度思考學(xué)習(xí)問題的能力，體會數(shù)學(xué)的“變中有不變”的思想。

教學(xué)難點(diǎn)：通過對知識進(jìn)行整理，提高學(xué)生的自主探究知識與概括知識的能力。

【教學(xué)過程】

一、談話引入

師：同學(xué)們認(rèn)識老師手上拿的這是什么嗎？（沙漏）

然后ppt展示幾個(gè)不同形狀的沙漏。

師：同學(xué)們知道古人是用它來干什么的嗎？（計(jì)時(shí)）老師前幾天去飯店吃飯，在餐桌上看到它后，想到這里面不就有我們剛學(xué)的有關(guān)圓柱和圓錐的知識嗎？回來后就整理一下思路， 然后就有了今天的這一節(jié)課，看看老師由這個(gè)沙漏想到了什么。（板書課題：由沙漏想到的……）

【設(shè)計(jì)意圖】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)，要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有知識出發(fā)，創(chuàng)設(shè)生動有趣的情境。”逐步培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光看世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”這一核心素養(yǎng)。

二、聯(lián)想之初

【想一想】

師：我們把剛才的沙漏抽象出來，看看這個(gè)圓柱里面，上下一樣的兩個(gè)圓錐體積和占整個(gè)圓柱體積的多少呢（圖1）？請同學(xué)們說一說自己的猜想。

【設(shè)計(jì)意圖】這里沒有數(shù)據(jù)支撐，主要考察學(xué)生分析問題的能力，讓學(xué)生充分去表達(dá)，同時(shí)訓(xùn)練學(xué)生的語言表達(dá)能力。

【算一算】

師：剛才的猜想是否正確呢？有的同學(xué)還是有疑問，現(xiàn)在我們用事實(shí)來說話，我們把它給附上數(shù)，如果要附上數(shù)，應(yīng)該需要哪些數(shù)據(jù)呢？也就是說題目需要知道哪些條件呢？

（讓學(xué)生給題目附上數(shù)據(jù)，并說一下自己的想法）

教師給出一組數(shù)（圖2），讓同學(xué)們獨(dú)立計(jì)算，驗(yàn)證剛才的猜想。

學(xué)生展示自己的計(jì)算結(jié)果，集體核對。

【設(shè)計(jì)意圖】一是復(fù)習(xí)圓柱與圓錐體積的計(jì)算方法。二是把抽象內(nèi)容具體化，讓學(xué)生進(jìn)一步印證結(jié)論的正確性。

三、深入聯(lián)想

【猜一猜】

師：我們沿著圓柱的中心高線調(diào)整上下兩個(gè)圓錐的高度（圖3），同學(xué)們大膽的猜想一下，看看現(xiàn)在上下兩個(gè)圓錐體積和與圓柱體積有什么關(guān)系？

師：現(xiàn)在請小組內(nèi)討論一下，看哪些條件變了，哪些條件沒變，說出你的猜想。然后進(jìn)行推理、驗(yàn)證，并說出你驗(yàn)證的方法和理由，每組選出一個(gè)代表來展示你們小組討論的結(jié)果和驗(yàn)證的方法。

讓學(xué)生充分合作、探究，教師巡視指導(dǎo)，然后找?guī)捉M不同思路的驗(yàn)證方法展示一下。

【設(shè)計(jì)意圖】這個(gè)問題由于又沒有了數(shù)據(jù)作為支撐，學(xué)生不會用字母表示圖中的兩個(gè)圓錐的高，學(xué)生的思維會受阻，比較困難，部分學(xué)生難于獨(dú)立解決，所以讓學(xué)生組內(nèi)先討論、交流，旨在讓學(xué)生在合作中學(xué)會解決問題的方法、學(xué)會思考。

【總一總】

教師用幾何畫板動畫演示，我們繼續(xù)改變上面小圓錐的高（圖4），猜一猜上下兩個(gè)圓錐的體積和與圓柱的體積之間的關(guān)系變了嗎？

師：從上面這個(gè)例子中你發(fā)現(xiàn)了什么？

師總結(jié)：剛才大家通過大膽猜想小心驗(yàn)證，經(jīng)歷了一次美妙的數(shù)學(xué)之旅，學(xué)會用運(yùn)動變化的眼光看問題，體會到了“變中有不變”這一數(shù)學(xué)思想。（板書：變中有不變）

【設(shè)計(jì)意圖】用工具去驗(yàn)證剛才猜想的正確性，在心理上接受這一結(jié)論的同時(shí)，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)“變中有不變”這一數(shù)學(xué)思想，同時(shí)感受數(shù)學(xué)的“內(nèi)在美”。

四、拓展聯(lián)想

拓展1

師：由剛才的那個(gè)模型，我們體會到了數(shù)學(xué)中“變中有不變”這一思想，那同學(xué)們想想我們前面所學(xué)內(nèi)容還有類似的例子嗎？

師：看來這樣的例子不好找，那老師再舉一個(gè)例子（圖5）。（出示ppt），這個(gè)例子大家肯定不陌生，說一說大圓的周長與3個(gè)小圓的周長關(guān)系？你能來說明一下理由嗎？（讓組內(nèi)學(xué)生討論交流，然后匯報(bào)推理過程）

板書：C=πd1+πd2+πd3

=π（d1+d2+d3）

=πd

【設(shè)計(jì)意圖】南京大學(xué)哲學(xué)系教授、博士生導(dǎo)師鄭毓信指出“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的教學(xué)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)。”更進(jìn)一步地，我們在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)很好地突出這樣一個(gè)關(guān)鍵字：“聯(lián)”！這個(gè)問題學(xué)生并不陌生，是在學(xué)習(xí)圓的周長時(shí)的一個(gè)擴(kuò)展題目，結(jié)論學(xué)生也都記住了。但是這里筆者主要讓學(xué)生體會這個(gè)例子和剛才上面的例子在思考問題的方法上相同點(diǎn)，看到事物背后的本質(zhì)相同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)知識的內(nèi)在聯(lián)系。

拓展2

師：說一說圖6陰影部分的面積是整個(gè)平行四邊形面積的多少？如果調(diào)整“交點(diǎn)”的位置那么圖中陰影部分的面積占整個(gè)平行四邊形面積的多少呢？寫出你的推理過程。

師：大家仔細(xì)看看圖10，是不是還有相同的結(jié)論呢？變中就一定有不變嗎？請同學(xué)們討論一下，看看哪些變了，哪些沒變？

【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步歸納小學(xué)數(shù)學(xué)中“變中有不變”的例子，有了上面的兩個(gè)思考問題方法做基礎(chǔ)，學(xué)生在證明這個(gè)問題時(shí)，方法不是什么問題了。在總結(jié)出“變中有不變”的思想方法后，但不能讓學(xué)生一成不變，要在變中求新、變中求進(jìn)、變中突破，而固化孩子們的思維，應(yīng)用發(fā)展變化的眼光看問題。

五、放飛聯(lián)想

經(jīng)過剛才幾個(gè)例子我們現(xiàn)在再回過頭來看看第一個(gè)模型，如果我們這次不在圓柱的中心高線上調(diào)整上下兩個(gè)圓錐的交點(diǎn)，而是在圓柱的內(nèi)部任意調(diào)整交點(diǎn)的位置（圖11），那么剛才的結(jié)論還成立嗎？說說你是怎么想的？

【設(shè)計(jì)意圖】這個(gè)問題不需要嚴(yán)格的邏輯證明，只要學(xué)生能用學(xué)到的方法去思考問題，言之有理即可，同時(shí)讓學(xué)生更深刻的體會數(shù)學(xué)的內(nèi)在美。變中求新、變中求進(jìn)、變中突破。

六、課堂小結(jié)

師：本節(jié)課我們總結(jié)了通過這堂課，談?wù)勀阌惺裁词斋@？還有什么困惑？

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生回顧整節(jié)課的學(xué)習(xí)歷程，梳理知識點(diǎn)，學(xué)習(xí)收獲，感悟數(shù)學(xué)思想方法的魅力。

七、點(diǎn)評

本課的教學(xué)設(shè)計(jì)巧妙、獨(dú)具匠心，而且設(shè)計(jì)的內(nèi)容在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中是非常有必要的。

（一）問題情境創(chuàng)設(shè)，構(gòu)思巧妙

教師從一個(gè)小小的沙漏而引發(fā)探討圓柱和圓錐體積之間的關(guān)系，很自然的創(chuàng)設(shè)了一個(gè)問題情境。有利于學(xué)生解決數(shù)學(xué)內(nèi)容的高度抽象性和小學(xué)生思維的個(gè)體形象性之間的矛盾。

（二）創(chuàng)造性利用教材

教材為學(xué)生的學(xué)習(xí)活動提供了基本線索，是實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)、實(shí)施教學(xué)的重要資源。本課聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，從已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，重視學(xué)生的體驗(yàn)。霍老師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，把剛剛學(xué)到的圓柱和圓錐的體積、以前學(xué)過的圓的周長、平行四邊形的面積、三角形的面積等等知識都放在這節(jié)課中，使學(xué)生通過觀察、猜測、實(shí)驗(yàn)、推理等活動發(fā)現(xiàn)圖形的規(guī)律，通過小組合作、討論，從不同的角度找到了圖形的規(guī)律，體會數(shù)學(xué)中“變中有不變”這一重要思想。

（三）充分讓學(xué)生自主探索、合作交流

心理學(xué)研究表明，學(xué)生不經(jīng)過個(gè)人親身探索和發(fā)現(xiàn)的過程，就想把已知的真理變成學(xué)生的真知是不可能的。本節(jié)課的教學(xué)過程中，力求體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，從根本上改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，盡量發(fā)揮學(xué)生的能動性，切實(shí)讓每一個(gè)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程。另外，在發(fā)現(xiàn)規(guī)律之后，給學(xué)生機(jī)會創(chuàng)造規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)和生活的緊密聯(lián)系，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識。

（四）在“變與不變”中探究規(guī)律

課程改革實(shí)施以來，不同版本的教科書都對探索規(guī)律的內(nèi)容進(jìn)行了合理選擇和精心設(shè)計(jì)。數(shù)學(xué)教材中的一些規(guī)律、性質(zhì)或公式，幾乎都可以通過“變與不變”思想方法來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究、發(fā)現(xiàn)。“變與不變”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與日常生活中分析問題、解決問題的一種常用的思想方法。教師要以學(xué)生為本，根據(jù)學(xué)生的發(fā)展需要，從整體、本質(zhì)上理解教材，注重挖掘教材中蘊(yùn)含的這一教學(xué)資源，科學(xué)、靈活地設(shè)計(jì)教學(xué)，從而提高學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

世界上的事物是千變?nèi)f化的，從數(shù)學(xué)的角度來看，變化中又蘊(yùn)含著變與不變的因素。其中，如何從“不變中抓變”“變中抓不變”是我們解決問題的突破口，也是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)含著許多變與不變的素材，教師鉆研教材時(shí)應(yīng)深入挖掘，并在教學(xué)之中無形滲透，有助于培養(yǎng)學(xué)生求同又求異的思維品質(zhì)，幫助學(xué)生解決繁瑣復(fù)雜的問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。所以說這節(jié)課設(shè)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是非常有必要的，也是非常重要的。

（點(diǎn)評人：滄州市東光縣教研室 劉志強(qiáng)）