問題教學在導數概念中的應用

王劍 張康明 謝煥鋼 許宗文

摘要：高等數學作為一門非常重要的基礎課程：既為后續專業課程提供基礎和方法，也在學生能力素養的培養方面起到重要作用。為了學生高效的掌握高等數學的“基本概念、基本定理和基本方法”，以及培養學生抽象概括、空間想象和邏輯推理能力，在當今教育背景下，改革高等數學教法是必要的。問題教學將教學內容問題化，以問題為主線，由問題調動學生的主觀能動性、提高學習效率。本文以“導數概念”為例，實踐問題教學，從課中學生的學習狀態、效率和課后的反饋來看取得了較好教學效果。

關鍵詞：問題教學;高等數學;導數概念;教育教學

中圖分類號：G633.62 ????文獻標識碼：A

0引言

高等數學課程是圍繞“基本概念、基本定理和基本方法”而開展。導數的概念在高等數學是重要的基本概念之一，從知識角度看：起到承上啟下作用，完善了學生對高中導數概念的理解，在數學物理背景下是對一類特殊極限（增量比極限）新的命名，也是今后學習微分和積分理論基礎;從能力角度看：引導學生主動、獨立思考，在運用數學知識和方法解決問題的過程中，探索規律、總結規律，領悟用導數刻畫變化率的思想，認識數學的價值。在傳統的教法學法中，教師以演繹模式講解導數的概念，教師按部就班，課本上有什么就講什么，學生是教師講什么就聽什么，教學過程教師和學生都是為了完成教和學的任務而展開，采用問題教學，過程中以問題為牽引，將導數的概念數學物理背景下問題化，立足于學生現實基礎，教師力圖運用“未先知”，與學生一起商討、研究，發揚民主，充分調動積極性。

1問題教學導數概念中應用的理論依據

在導數概念中實踐問題教學的理論依據主要是分析教學目標、學情分析及重難點所得出。教學目的：學生理解導數的概念及其幾何意義，掌握求平面曲線的切線和法線方程的方法，理解函數可導性與連續性的關系，了解導數作為函數變化率的實際意義，會用導數表達科學技術中一些量的變化率。學情分析：通過高中階段導數知識的學習，學生對導數的概念有了一定的基礎，經過前面極限和函數連續性概念的學習，學生能夠運用數學思維分析問題，探索數學規律，并能夠對共性問題歸納出結論。但部分學生由于基礎的原因對引例中的速度和切線概念比較模糊，不利于對問題的分析，對“”型的極限方法掌握的不夠全面，影響利用定義求導數。導數的概念重點：理解導數的概念及其幾何意義，掌握求平面曲線的切線和法線方程的方法;難點：理解函數可導性與連續性的關系。

2問題教學在導數概念教學過程中設計

問題教學從教師角度來看是一種教學方式，從學生角度來看是一種學習方式。通過問題的不斷解決和不斷提出，學生即掌握了知識，也理解所學知識與其他知識或生活的內在關系，最終培養了學生應用意識和創新能力。問題教學的課堂教學設計：創設情境、引出問題分析問題解決問題深化問題，學生的思維相互交融呈螺旋狀態上升。可采用圍繞創設情境（引出新問題）分析問題（思考討論）解決問題（引出新問題1）分析新問題1（思考討論）解決新問題1（引出新問題2）解決新問題2（引出新問題3）分析新問題3（思考、討論 ）……解決新問題總結應用（解決問題）。

2.1創設情境、引出問題

問題教學關鍵在于貼近軍事，引出“好問題、好情境”，好的問題、情境可以引起學生的好奇心，活躍了學生的思維，調動主觀能動性。教師在導數概念的教學中是通過學生在“5公里”訓練時，怎樣了解自身的瞬時速度和爆發力？學生通過回顧、思考、分析和討論，爆發力與加速度的關系，要解決以上問題，必需量化問題，在教師的引導下如何定量爆發力，并建立簡單的模型：通過測試員采集的數據，利用數學MATLAB軟件，擬合出學生“5公里”時間和路程關系為。求時刻的瞬時速度和加速度？

教師分析引例，提出問題：怎樣通過過程的平均速度，利用極限的思想去求時刻的瞬時速度？類似方法求時刻的加速度。鼓勵學生思考、提問，用數學語言解決問題。教師引導學生瞬時速度與平均速度概念，過程的平均速度當時的平均速度定義成時刻的瞬時速度，現在問題就轉化為求時的平均速度。學生討論會聯想到什么知識點（訓練學生應用數學解決實際問題），并用數學語言刻畫結果（培養學生嚴謹的數學思想），

即，

總結思考：

一類比較特殊的極限

2.2從數學角度，引出新概念

引導學生去除以上引例物理意義，單獨從數學角度定義，得出結論：一類特殊的極限。即引入導數的概念。

定義設函數在點的某領域內有定義，如果當時，變量與自變量之比的極限存在，

即 ??，

則稱為在處的導數，或者稱函數在處可導。

記為，或，或，或。

2.3教師分析、總結問題和轉化新問題，學生參與問題討論

關于導數概念的幾個常見的問題，學生在發現、分析和解決問題過程中加深對導數的理解。

問題1：實際應用：教師提問在所學學科哪些量是用導數刻畫？導數是指函數的瞬時變化率問題，反應的是因變量隨自變量變化的快慢程度，即為增量比的極限問題。角速度是轉角的該變量與時間該變量之比的極限，密度是質量的該變量與體積該變量之比的極限，電流的強度是電量該變量與時間該變量之比的極限等等。

問題2：回歸課本：導數定義有哪些變化形式，在解題過程中注意變通處理。如

實踐應用，回歸課本：例如高等數學同濟第七版教材122頁總習題二的第3題。

A項;表示單側極限;

B和C項：由導數定義，分子必須是對應于自變量的函數改變量，而B和C項中分子上函數兩點的差值與函數在點的函數值沒有關系，即使計算出極限值，也不一定是在點的導數，如函數

可以計算出極限值，但由于函數在點處不連續，故不可導。

D項：成立。

問題3：類比產生問題 ?類比極限存在充要條件，導數是否也是有充要條件？回顧極限存在的充要條件（左右極限存在且相等），引導學生從導數的本質（一類特殊的極限）分析函數可導的充要條件。

當時，有，由極限存在的充分必要條件可知，函數的左、右極限都存在且相等，亦即在處可導的充分必要條件是

左導數存在，且值為，

右導數存在，且值為。

在可導左導數和右導數，都存在且相等。

以問題為導向，引出內容。左導數、右導數統稱為單側導數，多用于求解分段函數的導數問題。

但需要注意的是，當左右導數都存在，但時，導數不存在。如函數在處的左導數，右導數，但兩者不相等，故在處不可導。

（1）關于函數在區間上的導數幾個問題。

在結束了函數在點的可導性問題討論，類比函數在討論了在點的連續，接著是討論了在區間的連續性，那么函數在有限區間可導性是怎樣的？（可由學生先類比總結，教師在完善。）

①若函數在開區間上可導，則函數在上可導，從而對，為一個映射，再有極限的唯一性可知，是關于的一個函數，稱之為導函數。

② 若函數在閉區間上可導，則可得

。

2.4問題驗證高中結論，問題應用、解決質疑，教學內容問題化

高中對極限理解不透側，大多數學生對 “導數是斜率”問題是知其能，而不知其所以能。用數學語言可定量的描述為已知曲線函數，求在點處的切線。

首先要先明確什么是切線？回顧初高中所學平面解析幾何中，圓的切線定義為“與曲線只有一個交點的直線”，但擴展開來，對所有曲線而言此定義顯然不妥，比如拋物線，軸與軸都與拋物線有1個交點，但顯然軸不是拋物線的切線。那么什么是曲線的切線呢？

曲線上有一點，在外另取曲線上一點，當點沿曲線無限趨近于時，割線繞點旋轉而趨近于極限位置，即觀察割線傾斜角由逐漸趨向于，故有，當時，，假設極限存在，則用此定義曲線在點的切線斜率為：

。

通過引例問題的研究，總結教學內容導數的幾何意義：函數在點處的導數，幾何上表示為曲線在點處的切線的斜率，即。

2.5由問題產生新知識，真題演練

根據導數的幾何意義并應用直線的點斜式方程，知曲線在點處的切線方程為;

法線斜率為：，

法線方程為：

例如：高等數學同濟第七版教材中例8，求雙邊曲線在點處的切線的斜率，并寫出在該點處的切線方程和法線方程。

分析根據題意，要求曲線上某點處的切線斜率，按照導數的概念，求出在該點處的導數即可，即斜率為

，

從而可求出切線方程，化簡得;由于法線斜率為切線斜率的負倒數，則，從而求得法線方程為，化簡得。

2.6類比產生問題，總結結論

回顧極限與連續的關系，產生新問題“連續與可導的關系是怎樣？”

解決問題的方法：假設推理。

函數在點處可導，即有，則根據無窮小定義可知：當時，（為時的無窮小）

即，

從而，函數在點處可導，必有函數在點處連續。

但反之，則不一定，如函數（即）在區間上連續，但在在處不可導。再如在區間上連續，但在在處不可導。

函數可導性與連續性得關系為：可導一定連續，連續不一定可導。

3總結與思考

問題教學在導數概念中的應用通過研究求變速直線運動速度的物理問題和求切線斜率的幾何問題，發現其在數學結構和空間形式上具有共性，可轉化為求函數在某點變化率的極限來解決問題，從而歸納總結出導數的定義，將實際問題轉變為求導問題，在課堂上并對導數的定義所涉及的問題進行注釋說明，從而加深學生對導數概念的理解與把握。

問題教學的教育教學功要真正有效的顯現出來，需要教師潛心教研、學生熱情的參與，相對于普通高校、學生與教師，軍校特殊性使得問題教學的研究和教學會更加的任重道遠。

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