齊次式的應用

張映雄

(云南省紅河州蒙自市第一高級中學 661199)

齊次式在高中階段是比較常見的一種結構，也是高考常考的一種結構.但是齊次式的用法比較零散，很多學生都是在解題過程中斷斷續續地學過用過，但是可能連自己都沒意識到自己用的就是齊次式.本文將齊次式在高中階段的用法做一些歸納整理，希望對各位讀者有所啟發.

在實際應用中，齊次式經常會與三角公式、正弦定理、等比數列、不等式、函數、導數、離心率、斜率等知識相結合，形式多種多樣.下面將列舉一部分齊次式在高中數學中的應用.

一、齊次式在三角函數中的應用

解2sin2α=cos2α+1是隱藏的齊二次方程.

小試牛刀【2015廣東 文】已知tanα=2.

二、齊次式在解三角形中的應用

例2(2019年高考全國Ⅰ卷理數)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(1)求A；

由于0°

小試牛刀(2018全國新課標Ⅰ文)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，則△ABC的面積為____.

三、齊次式在均值不等式中的應用

小試牛刀(2012浙江)若正數x,y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是( ).

四、齊次式在等比數列中的應用

例4(2019年高考全國Ⅲ卷理數)已知各項均為正數的等比數列{an}的前4項和為15，且a5=3a3+4a1，則a3=( ).

A.16 B.8 C.4 D.2

小試牛刀(2015年新課標2理科)等比數列{an}滿足a1=3，a1+a3+a5=21，則a3+a5+a7=( ).

A.21 B.42 C.63 D.84

五、齊次式在導數中的應用

當在出現二元變量時，若存在齊次式，可以通過乘除的方式，將二元變量降為一元變量，從而構造函數求解.

因為x>1時，f′(x)<0，所以函數f(x)在(1,+∞)上單調遞減，故f(x)

因為x>1時，g′(x)>0，所以函數g(x)在(1,+∞)上單調遞增，故g(x)

(1)求實數a的值，并判斷函數f(x)的單調性；

(2)若函數f(x)=m有兩個零點x1,x2，且x11.

方法二：齊次式消元.

小試牛刀(2018屆四川省廣元市高第二次統考)已知函數f(x)=2lnx-x2+ax(a∈R).

(1)當a=2時，求f(x)的圖象在x=1處的切線方程；

六、齊次式在圓錐曲線中的應用

(1)求C的方程；

(2)設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

解(1)由于P3，P4兩點關于y軸對稱，故由題設知C經過P3，P4兩點.

牛刀小試(黑龍江省大慶市第一中學2019屆高三下學期第四次模擬(最后一卷)考試數學試題)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，直線y=4與y軸的交點為P，與拋物線C的交點為Q，且|QF|=2|PQ|.

(1)求p的值；