例談提升數學思維小專題復習課的設計原則

余雪嬌

【摘要】鄭毓信教授在《數學思維之深思》提出：數學教育應當致力于促進學生更加積極地進行思考。學生的主體作用和教師的主導作用應表現出能動性，這一能動性應統一在形式多樣（動腦、動口、動手）的數學活動中。

【關鍵字】數學思維? ?小專題復習課? ?設計原則

【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A【文章編號】1992-7711（2020）08-064-02

現在流行的復習課形式基本上是知識清單加題海戰術。學生不停地動手寫，復習課就是習題課。重復機械的勞動，從應試的角度來看可以提高常規題的命中率，有其積極的一面。但學生缺乏時間動腦、動口;缺乏思維碰撞。一者，學生覺得數學乏味，另者不利于學生數學思維的培養。沒有深層次的理解，不會變通，不靈活。小專題復習正是突破常規復習的形式，走出單純的知識記憶模式，提升學生數學思維為主要目的一種復習形式。

小專題指的是以一道中等題目為主基調，抽出要學習的主題;通過“以退為進”，讓學生“退”到題目的最基本概念和原理。再在“以小見大”部分解決新的問題，突出核心知識和數學思想的思維的訓練。小專題著力點在于思維，其學案設計尤為重要。結合具體的例子談談設計要遵循的3個原則。

《直角三角形中求線段長度》學案

（A版）

一、以退為進

1. 在Rt△ABC中，∠A=90°，

AB=5，AC=12;

（1）求BC的長度.

（2）如圖1，若AE⊥CB于E，

則AE=? ? ? ? ? ;

（B版）

一、以退為進

1. 在Rt△ABC中，∠A=90°，

AB=5，AC=12;

（1）如圖1，若AE⊥CB于E，

則AE=? ? ? ? ? ?;

（2）如圖2，若點O在AC上，

過點O做OE⊥CB，且

OC=8，求OE長。

二、以小見大

2.如圖3，在Rt△ABC中，

∠A=90°， AB=5，AC=12，

點O在AC上，

⊙O切BC于點E，點A在

⊙O上，求⊙O的半徑。

（你能想到幾種方法？）

三、變式遷移

3.拋物線y=-x2-2x+3與x 軸交于A，B兩點（點A 在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D，連接AD，拋物線的對稱軸與x軸的交點為E.拋物線的對稱軸上是否存在點P使得點P到AD的距離等于點P到X軸的距離？若存在，請求出點P的坐標;若不存在，請說明理由。

一、以題點知，學習中心原則，提升學生思維的慎密性。（以退為進）

用簡單的題目激活學生的已有知識。不是干巴巴的概念或定理的填空。學生通過完成題組形式，去喚醒知識點。設計時要考慮學生已有的經驗，心理發展水平;要了解學情，尊重學生，因人制宜。針對不同的班級，設計的起點、幅度要相應的變化。讓不同程度學生都能參與其中的數學活動中。A版設計適合于學生層次較低的，B版是層次較高的。以學生的學習為中心，針對不同層次學生適當的退。保證每位學生都有可完成的數學活動，都有可思考的問題。回歸到原理或者基本概念的學，追根尋源。教師在學生學的過程中啟發誘導，把幾個零散的知識點用一條主線（主線可以是一個基本圖形，例如圖2）串聯起來，形成知識鏈（相似、三角函數、等面積法、勾股定理）。形成學生良好的認知結構，提升學生思維的縝密性。

二、簡化經典，凸顯知識主干，提升思維的深刻性，廣闊性。（以小見大）

中考的壓軸題是命題者精心設置的，思維含量極高。但對大部分學生來說：偏難。教師可以選取某個點，略去其他無關的部分。化繁為簡，適當的搭腳手架，降低難度，改編為中檔題。不失為鍛煉學生思維的上好素材。

例如：2016年廣州中考24題：

已知二次函數y=mx2+（1-2m）x+1-3m與x軸相交于不同的兩點A、B.

（1）求m的取值范圍。

（2）證明拋物線一定經過非坐標軸上的一點P，并求點P坐標。

（3）當0.25≤m≤8時，由（2）求出的P點和A、B點構成的△ABP的面積是否有最值，若有，求出最值及相對應的m值，若沒有，請說明理由。

我們可以把中考真題從不同角度進行改編。若選取面積作為小專題，則可以拋棄恒過定點問題;如果恒過定點問題，則可拋開面積最值。改編后放在以小見大的位置，著重在于解題背后的思想方法提煉。通過師生、生生交流，分享而引發思維碰撞。

第2題是把原題中的直角坐標系去掉，保留核心主干改編題。本題的方法較多，至少有五種方法。學生先是獨立的思考完成，進而交流。不同的解法，收獲不同的思維。教師可以適時提出問題：

1.“以小見大”與“以退為進”的題有什么異同點 ？

2.你是怎樣想到這種解法？不同解法之間的有什么共同點？那些解法是可以推廣的？

3.你可以提出什么樣的問題，或者說這題可以有怎么樣的變式（從動態的觀點看o點運動，例：o點在線段CA的延長線上）。

學生圍繞著這些問題，又進入新的學習、交流。抓住生成會使課堂大放光彩，讓復習課有新意。不是炒冷飯，從而煥發生機。這樣精心改編設置的題不僅融合了核心主干知識，還在簡單的題目中培養學生審同辨異同，同中觀異的好思維。學生經過思考，交流，再現核心知識，最后通過新問題的討論學習，使理解進入更高層次，是深度的理解。當知識發生過程成為一個有內在需求的，非被動接受的過程時，才能更好的主動建構知識體系。教師及時的歸納，滲透數學思想方法，比如轉化與化，歸特殊到一般，分類等。學生感悟數學理性的精神，提升思維的深刻性，廣闊性。這種解題背后的思考，才能把相應的解題行為看作是真正的數學活動，即由單純的“問題解決”過渡到“數學思維”。學生才會更深刻的理解知識本質，題型特征，提升思維，能得心應手的解決一大類問題。就像由一顆樹看到幾顆樹甚至是一片森林，起到以小見大的作用。

三、聚焦基本點，題與題之間連貫性原則，提升思維的靈活性敏捷性

現代認知心理學認為：理解，無非就是指新學習的知識與主體已有的知識與經驗之間建立了直接的聯系（包括同化與順應），其程度也完全取決于聯系的數目和強度。如果潛在的相關的各個概念中，心理表征只有一部分建立聯系或者說聯系脆弱，這時的理解是有限的。小專題學案在設計上必須圍繞一個主題，以退為進，以小見大，變式遷移的三個環節中，題與題之間必須是相關聯的（題量不宜多，4題左右）。體現的均是同一塊核心知識的本質屬性。只是呈現形式不一樣罷了。例如第1題僅僅是直角三角形斜邊上的高，第2題添加圓背景，第3題就在直角坐標系下拋物線的背景，并把靜態問題變為動態問題。這3個題目是一脈相承的，本質特征都是直角三角形中求線段長度，但又有其不同的地方。在特定的背景下，又會有特定的方法。例如直角坐標系可以從函數角度求線段，思路會更寬更廣。這種注重題與題之間的聯系，可以使學生對已學的知識有更深刻的認識，可以較為系統的把握知識間的邏輯。便于比較、鑒別、取舍、融合。能在新背景下較快地找到解題的突破口，提高了思維的靈活性與敏捷性。

數學新課標指出：思維能力主要指會觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括;會歸納、演繹、類比進行推理;合乎邏輯的準確的闡述自己的思想和觀點。小專題在題量少，相互聯系中，給時間和空間，讓學生觀察，思考，抽象，概括表達，對提升數學思維有積極的意義。

[參 考 文 獻]

[1] 劉永東.例談數學小專題復習的策略和應用[J].教育導刊（上半月）2013（1）.