以高考試題為例談核心素養下的課堂教學

[摘 要] 學科核心素養是育人價值的集中體現。本文以高考試題為載體，具體地從核心素養的六個方面，探討新時期的課堂教學，為學生可持續發展和終身學習創造條件。

[關鍵詞] 核心素養;課堂教學;終身學習

[作者簡介] 趙修明（1967—），男，山東濟寧人，學士，年級組主任，中學高級教師，研究方向為數學教育。

[中圖分類號] G632.474 ? ?[文獻標識碼] A ? ?[文章編號] 1674-9324（2020）43-0312-03 ? ?[收稿日期] 2020-03-18

教育部在《普通高中數學課程標準（2017年版）》中，強調以學生發展為本，落實立德樹人，提升數學學科核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。課堂作為學生的主陣地，必須與時俱進，深化改革，結合近年數學高考和社會發展對學生的需要，下面從六個角度，探究如何通過課堂進行核心素養教學。

一、數學抽象的教學

數學抽象是數學的一種美。有了數學抽象才使得數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的最美基礎學科之一。數學概念和規則的形成、數學思想與方法提煉、公理體系的建立等都離不開數學抽象，所以是每年高考直接或間接必考點。

總起來看，數學抽象主要表現為由抽象、特定的數學符號所表示的數量與數量關系，從相近或相似的圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系。例1立意于數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養。通過抽象符號f（x）、抽象概念奇函數、抽象方程f（1-x）=f（1+x）等所反映出的函數對稱性、周期性，最后求50個函數值的和。初中教師的授課生動、形象、具體，高中知識就變得抽象了。比如，在關于x的方程ax=1中，1、a、x三個量：1就是1，是一個具體的數;x表示所解未知量;a表示一個常數，是確定的，但具體不知道是多少，不像1那樣具體，這樣顯得比較抽象。若繼續求解該方程，就要分①當a=0時，②當a≠0時討論，這樣學生就能對a進一步理解了。處理此類問題方法一是將抽象問題具體化、直觀化，借助滿足抽象條件所學過的具體函數、方程、公式等“特殊化”，使學生感覺到問題有“存在感”，而不是虛無飄渺的。比如例1，由“f（x）是定義域為（-∞，+∞）的奇函數”可聯想到一次函數、正弦函數等;看到“f（1+x）=f（1-x）”可想到“f（x）圖像關于直線x=1對稱”，結合這兩個條件可借助正弦函數找到答案。二是嚴格的邏輯分析。比如“f（x）是定義域為（-∞，+∞）的奇函數”等價于“f（-x）=-f（x） x∈R”，“f（1+x）=f（1-x）”等價于“f（-x）=f（x+2）”，由此可得f（x）是一個周期函數且周期是4。其實如果一個函數同時具備兩個（種）對稱性，該函數就是一個周期函數。

二、邏輯推理的教學

邏輯推理是重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質，使問題解決言之有物，言之有理。主要包括兩類：一是由特殊到一般的歸納、類比推理;一是由一般到特殊的演繹推理。基于邏輯推理具有嚴謹性、條理性、完美性等特點，邏輯推理立意始終貫穿在整個數學高考試卷之中。

例2.（2019年全國卷Ⅱ理科7）設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是

A.α內有無數條直線與β平行

B.α內有兩條相交直線與β平行

C.α，β平行于同一條直線

D.α，β垂直于同一平面

本題考查了空間兩個平面的判定與性質及充要條件等嚴密的邏輯推理、學生對基本知識的理解和掌握程度。對于邏輯推理課堂教學，要注意三點：通透、明晰、體系。通透就是將教材上的概念、定義、法則、公理、定理、推論、法則等要分析透：為什么要學？成立所需的條件是什么？為什么需要這些條件？條件關鍵點在哪里？條件是否可以改變？結論是什么？如何進行論證的？能用來解決哪些問題？易錯點在哪里？等等。明晰就是將相點近或者相似知識的拿來一并分析，清楚它們的異同點，辨析的越清楚，理解的就會越準確，用的就會越熟練。體系就是要將“知識點”連成“知識線”“知識網”，使之成為體系。

三、數學建模的教學

數學建模體現數學應用性。學數學的目的在于讓人們要用數學的眼睛來觀察事物，用數學的語言來描述感受，用數學的頭腦來探求所惑，用數學的知識來解決問題。

例3.（2016年全國I高考19）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘。機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元。在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元。現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得下面柱狀圖：

以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發生的概率，

記X，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數。

（I）求X的分布列;（II）若要求P（X≤n）≥0.5，確定n的最小值;

（III）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在n=19與n=20之中選其一，應選用哪個？

本題涉及到現實生活中的最優化問題。根據題意“以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據”，需先清楚“購買易損零件所需費用的期望值”，若求解該期望值需求解“表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數的分布列”，由此看來，本題需要用數學中的“概率”這個數學模型，本題數學模型比較容易找。

數學建模大致分審題、建模、解模、回歸四大部分。審題分為三個層次：讀題、翻譯、挖掘信息點，即拋開錯綜復雜的語言背景，明確其具體要求。高中數學應用題中的建模相對比較簡單，模型也較為固定，常用的模型有函數模型、三角模型、數列模型、立體幾何模型、排列組合概率模型、方程和不等式問題等基本模型。解模即用數學知識解決和解答模型所涉及到的數學問題。回歸：就是回歸主題。隨著社會的發展，對數學建模的要求會不斷提高。其過程總結為：從數學理性的視角在實際情境中分析要點、明確所解問題、精準問題分析、建立數學模型、確定需要參數、合理計算求解、檢驗初步結果、完善所建模型，最終達到科學地解決實際問題。

四、直觀想象的教學

直觀想象可理解為通過已掌握的平面圖形、空間結構的直觀感受，來研究新的對象或是抽象出新的概念。不光是研究平面與平面、平面與空間之間的形態和位置的變化，還進一步提高數與形相結合能力，培養創新思維，構建數學問題的直觀模型，開闊解決問題的思路。

例4.（2019年全國Ⅱ高考16）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）。半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現了數學的對稱美。圖2是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1，則該半正多面體共有________個面，其棱長為_________。

第一問可按題目并結合其對稱性可數出26個面;第二問則需直觀想象還原出物體（如下圖）。

本題立意新穎，需具備強大空間想象能力，快速還原圖形。解決本題的關鍵是確定半正多面體的各頂點在正方體上的具體位置，最終將立體幾何問題平面化。中學階段對直觀想象的要求是能夠掌握研究圖形與圖形、圖形與數量之間關系的基本方法，借助圖形性質探索數學規律，解決實際問題或數學問題。在平時課堂教學時，首先讓學生大腦儲備大量素材，來提升學生的直觀想象能力，可謂是“讀書破萬卷，下筆如有神”。教師要善于利用一些生活事例和圖像讓學生親身感知和分析。凡是教材上出現的圖像、圖形要畫準、畫熟，平面圖形中的所有基本函數圖像、空間中常見幾何體要爛熟于心。其次是要善于利用多媒體等現代技術，積累一些組合體的直觀印象，比如，特殊的多面體與多面體正方體、常見的多面體與旋轉體等組合體等類似如下幾何模型。

第三，要善于動手制作幾何模型。如折疊長方體等，也可從切割土豆等，充分發揮自己的空間想象力，在動手參與過程中能夠對空間感與空間位置不斷增強，同時對幾何體有了更清晰的認識。第四是熟練掌握、應用所學的定義、公理、定理、推理等，實現由直觀、生動的感知，到理性、嚴謹的升華。

五、數學運算的教學

數學運算既不是簡單的數字、公式“堆砌”，也不是解析幾何繁雜的計算，而是一種程序性極強的學生腦力活動。分析數學運算的整個過程，基本分為分析運算對象和要求，探求運算思路，明確所用工具，講究詳略得當的運算步驟，得到理想答案。關鍵在于如何運用所掌握知識將搭起“所求”與“已知”的橋梁，數學運算其實是一個人的綜合能力的表現。

六、數據分析的教學

數據分析是大數據時代數學應用的主要方法，主要表現為：收集和整理數據，理解和處理數據，獲得和解釋結論，概括和形成知識。數據分析是每年高考的必考內容。

例6.（2015年新課標Ⅱ理科3）根據如圖給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量（單位：萬噸）柱形圖，以下結論中不正確的是（ ?）

A.逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現

C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢

D.2006年以來我國二氧化硫排放量與年份正相關

本題考查頻率分布直方圖的基本知識。在課堂教學時，先從時間、空間兩個維度界定分析確定分析目標，分析定性數據還是分析定量數據。本題根據選項中，沒有對具體數字做出判斷的問題，可視為定性數據分析。如果涉及到平均數、方差、概率等具體數字，需要準確定位的，視為定量數據分析。其次要確保數據分析結構體系化。運用分析方法，根據題意判定該題屬于哪類數學模型（高中階段主要有：①相關分析、回歸分析模型，②卡方檢驗模型，③方差分析模型，④概率模型，⑤正態分布模型等等），由已知條件，利用有關數學知識進行解析，最后要準確回歸題意。注意要分清是開放性、建設性的結論還是評價性的結論。

提高學生的學科核心素養是教師課堂的育人目標，學生通過平時的認真學習，形成正確的人生觀、價值觀、世界觀，培養了深刻性、靈活性、獨創性、批判性、敏捷性等優秀的思維品質，在學習過程中，探索求真，磨練意志，團結協作，分享喜悅。掌握了知識，培養了能力，使情感、態度與價值觀得以更好的提升。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]沈良.試論數學運算的理解與教學[J]數學教研，2019（2）：3.