基于數學史的等差數列前n項和教學設計

黃媛 隆廣慶 韋永良

【摘要】在數學教學中，教師適當地融入數學史，不僅能夠為枯燥乏味的數學增添色彩，提高學生學習數學的興趣，更能夠提高學生對本節課所學習內容的理解程度。本教學設計運用“高斯求和”、“泰姬陵的傳說”等歷史故事，將等差數列與數學史相結合起來，這可以提高學生的數學素養，加深學生對等差數列的前n項和的理解。

【關鍵詞】數學史? ?等差數列? ?教學設計

【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A【文章編號】1992-7711（2020）27-172-02

從知識發生需要的基礎上來看，學生已經學習了等差數列的概念，已經具備有一定的知識基礎。關于等差數列的前n項和教學，以“泰姬陵”問題作為直觀的情境引入，以“高斯求和”問題作為抽象的情境引入，兩者在推導“等差數列前n項和”的公式時，都采用了等差數列首尾相加的辦法。

一、知識回顧，開拓創新

首先，先帶領同學們回顧等差數列的公式是什么，這個時候可以請同學們起來回答，教師結合學生的回答可以知道學生對上節課的掌握程度。課前回顧等差數列的公式會讓本節課的學習更加順暢，也達到了課前鞏固的效果，更為本節課的導學和學習打下基礎。

二、創設情境，以趣啟思

《高斯的故事》

師：兩百多年以前，一位10歲的小孩算了一道很難的題目，他就是著名的數學家高斯，老師出了這樣一道題：計算1+2+3+…+100=？這件事讓三年級的學生做，可難倒大家了，不料，高斯小朋友就把他寫好的答案交上去了。原來，高斯把這100個數一邊取一個，配起對來，1和100，2和99，…，而像這樣組合共50組，每一對相加都等于101，因而答案就是101×50=5050.

師：同學們能夠看出數學小天才高斯的計算方法嗎？

生：可以，高斯用的是首尾相加法。

師：如果將高斯的計算方法運用到等差數列的求和，我們會得出什么樣的結論呢？

此時眾生帶著疑惑，跟老師進入本節課的學習。

設計意圖：此環節由學生討論其算法的奇妙之處，教師在適當的時候引導學生得出相應結論，并且我們把這種方法叫做首尾配對法，它能夠將加法問題轉化為乘法運算，從而迅速準確得到了結果。

三、探究新知，得出公式

問題1：如右圖所示，這個21層的三角形一共有多少顆寶石？

生：借鑒高斯的算法，把1與21配對，20與2配對，…，剩下一個11，即

1+2+...+21=（1+21）+（2+20）+...+（10+12）+11

=10×12+11=131.

師：我們發現借鑒高斯的這種“首尾配對”的算法對偶數項的數列很好用，但對于奇數項的數列就不方便，奇數個數相加時，首尾兩兩配對，會發現有一項沒有組合。同學們是否有簡單的方法呢？可不可以避開對項數奇偶性的討論？

生：因為這個圖形是三角形的形狀，所以我們在旁邊放一個一樣的三角形，這樣就能夠使得每層都有22個寶石，一共有21層。則寶石的總數是131×2的一半，131（如右圖）

師：非常棒，這種方法很奇妙，不需要考慮項數的奇偶性就可以求和。可以用公式表示為：S21=1+2+...+21，S21=21+20+...+1

兩式對齊相加，得：2S21=（1+21）+（2+20）+...+（26+26）=（1+21）×26

∴2S21=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?這種求和方法在等差數列中叫做倒序相加法。

問題2：等差數列前n項和還可以用別的形式表示嗎？

生：等差數列的通項公式：

an=a1+（n-1）d，得到Sn=na1+? ? ? ? ? ? ? d.（2）

四、典例展示，學以致用

例1：在等差數列an中，（1）a1=? ? ?，an=-? ? ，Sn=-5，求n和d.

（2）a1=4，S8=172，求a8=和d.（師生共同推導）

例2：古代有這樣的一個問題：今將20斗小麥分給10人，從第二人開始，每個人比前一個人降? ? 斗，問分的最多的人分到多少？

師：你能將這個問題變成數列的問題嗎？

生：我可以，12為公差d，20為前n項和Sn，10為項數n，求首項a1.

師：這位同學分析得很好，那其他同學有沒有別的看法呢？

生：老師，我覺得公差d應為-? ? ?.

師：很好，那有沒有同學可以在黑板上展示自己的算法呢？

生（板演）：因為Sn=na1+? ? ? ? ? ? ? d，

所以10a1+? ? ? ? ? ? ? ? ? ×（-? ? ?）=20， 所以a1=? ? ?.

設計意圖：該題目主要為了考察學生對文字解讀的水平，會不會把問題轉化成數學問題來解答，也考察了學生在解題時對等差數列公式的選取。

例3：已知一個等差數列{an}，a1到a10的和為211，a11到a20的和為811，求a21到a30的和。

學生獨立完成后交流。

生1：第21項到第30項的和為811+（811-211）=1411.

師（追問）：那么第31項到第40項的和又是多少？

生2：1411+（1411-811）=2011

師：觀察這些數211，811，1411，2011， 你能發現了什么？

生：這四個數成等差數列。

師：這是不是巧合呢？

眾生均表示否定。

師：能否用什么方法來證明你發現的規律呢？

師生共同合作完成如下證明：

已知等差數列{an}中，

Sn= a1+a2+...+an-1+an，S2n-Sn=an+1+an+2+...+a2n-1+a2n，

S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+...+a3n-1+a3n，

∴（S2n-Sn）-Sn=n2d，（S3n-S2n）-（S2n-Sn）=n2d

∴（S2n-Sn）-Sn=（S3n-S2n）-（S2n-Sn）

∴Sn，S2n-n，S3n-2n成等差數列。

總結結論：在等差數列中，Sn，S2n-n，S3n-n這樣的數列也叫做等差數列。

五、感悟例題、再生問題

問題6：觀察例3的結果，有什么發現嗎？

（1）從例題結果出發，引導學生觀察： 211，811，1411是什么數列？

（2）如果等差數列{an}的前 n 項和為Sn，那么S10，S20-10，S30-20，......是否成等差數列？

六、課堂小結（主要由學生完成）

從知識、方法、思想和應用層面來回顧。

七、教學反思

1.等差數列的前n項和的教學過程中，主要難在公式的推導過程，本節課的教學利用了數學史的故事引入，引導學生去思考，激發學生學習數學的興趣，能夠讓死板的數學課堂變得出彩;其次，在推導公式的過程中，結合了上節課學習的等差數列的性質，不僅能夠讓學生學習新的內容，還鞏固了舊知識。

2.本教案的不足之處是在設計過程中，沒有真正結合實際教學，只給出了理想中的教學情境，真正運用到課堂中，可能還需要根據不同的學情、不同的班級進行修改。

【參考文獻】

[1]張弟.基于數學核心素養發展觀的教學設計——以“等差數列的前n項和”為例[J].數學學習與研究，2018（24）：78.

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[4]覃倩.“等差數列前n項和公式”教學設計及其分析[J].吉林省教育學院學報（下旬），2012，28（10）：29-30.