每一道題目都是一個課程
——現象教學視角下的解題教學*

李宏銘 (江蘇省蘇州市吳江盛澤中學 215226)

1 引言

案例1(全國一等獎課例)課題“一元二次方程的判別式”，有下面的一個細節：在講完一元二次方程判別式的概念以后，教師給出了方程x2+12x+16=0，并說：“請同學們幫老師計算一下Δ，看它的符號是正還是負．”

在這里，教師向學生布置的是一個“計算”的任務，而不是理解和應用判別式的素材！學生沒有對判別式的意義進行思考，沒有將判別式和情境做聯結．他們雖然在計算，卻不知道為什么要計算，不知道計算以后要干什么．盡管最后教師揭示了“符號是正還是負”的實際意義(用來判斷根的存在性)，但是在活動之前和活動之中學生都沒有對活動本身有整體認知和價值判斷．不知道活動目的、沒有對活動的意義作評估，學生的活動是機械的、被動的．不得不說，這樣的任務布置已經脫離了本節課的教學主旨，把學生引到了無關的方向上去了．這樣的課能被層層推薦到全國最高級別的比賽上并最終獲得一等獎，說明當時數學教育界對這種做法是認同的．雖然這是十幾年前的賽課，可以說代表的是十幾年前的認識狀況，現在我們的教學觀念已經發生了很大的變化，但是此種做法仍然普遍存在，在雜志上把它當作經驗來介紹的文章還有很多(見后文)，這就是筆者要談這個話題的緣由．

2 關于解題教學

解題教學可以說是數學課堂永恒的主題．怎樣看待解題教學、怎樣進行解題教學，可能永遠都討論不完(本文涉及的僅是其中很小一部分)．

第一，如果把題目當作任務來布置，學生就成了執行者；如果再把任務分解成一道道的工序讓學生去執行，學生就成了機器人．若換個角度，把題目當作一個現象，當作現實世界或數學世界中的客觀存在，讓學生去觀察、分析、解構、整合，經歷一陣大腦風暴后生成心理表征和語言表達，學生就成了一個探究者和發現者．后一過程就是一個動態的過程、生長的過程，是視野逐步打開和立足點逐漸提升的過程．

第二，教師講題肯定不是從頭到尾展示題目解法，而應該開啟與學生互動的平臺．教師需要找準學生需要輔助的地方，以確定講課的目標、重點、難點，確定講解方法.而所有這些都必須是結合學生活動才能確定，也只有在互動中才能收到實效．

第三，給學生講的每一個題目都不應當僅僅是一個題目．對人類的發展而言，完全不需要學生去解決教材上的任何一個問題，因為它的答案已經被知曉．講題是為了什么？為了使學生獲得知識的增加、能力的增強和素養的提高，一句話，為了學生的生命成長．而這個使命顯然不是單純的一個題目所能承載的，更不是告訴他們一個答案就能奏效的．怎么辦？

我們希望每一道題目都是一個課程，是教學活動得以實施的藍本和載體，而不僅僅是布置下去的一個固定的任務．學生在與題目、與教師以及與同伴互動的過程中，可能發現預期的結論，也可能發現預期結論之外的東西，還可能演化出新的問題、新的現象，進而引發新一輪的互動……這就帶來了無盡的可能性和無限的生長空間．若如此，創新與創造也就是水到渠成的事了．

3 把題目當作現象

教師講的題和練習冊上的題，有區別嗎？有！前者有教師在場而后者沒有．教師是教學的主導因素，如果教師在場和不在場時解題教學的形態沒有變化，“主導作用”的發揮就無從談起了．有教師在場，可以把題目處理成動態的、開放的、不完整的甚至是“錯誤”的，讓學生在活動中完善它或者更正它，實現對本質和非本質、正面側面和反面的完整認識，這些是練習冊所不能做到的．練習冊上的題只能是靜態的、完整的，必須有明確具體的條件羅列和清晰無誤的任務條目．

案例2求橢圓的標準方程．

生：(活動)……好像不對．

圖1

生眾：不對，這是個錯題．

師：錯題？不能求嗎？

生：不能求．

師：知道離心率，難道不能把橢圓確定下來嗎？

生：不能，只能確定橢圓的圓扁程度．

師：比如，這個題目中是什么樣的橢圓？請畫示意圖．

(學生畫出圖1)

師：這樣的橢圓有無窮多個．怎樣才能確定一個？

生：需要加條件．

師：加幾個條件？

生：只要一個就夠了．

師：要一個什么條件？

生：可以加焦點坐標．

師：我們來試一下，加“一個焦點是(3, 0)”，求其標準方程．

師：還可以加其他條件嗎？

生：可以加長軸長、短軸長、焦距、準線方程……

師：是的．下面我們出一個題看看.(師生合作出題)

練習2：請你自己出一道求橢圓標準方程的題，與同桌交換做一下．并把你認為好的題目推薦給大家．

至此，學生已經領會到了求橢圓標準方程的基本方法．值得注意的是，這里解決了求橢圓標準方程的“所有”基本問題，卻沒有經過大量的解題訓練，甚至沒有把10種基本題型全做一遍(只做了3道題)，這是與題海戰術完全不同的學習形態．教師提供的不是一個題目，而是一個課程！學生從這里得到的不是對操作技能的總結，而是對數學思想的感悟．這個案例中學生感悟到的是方程思想，解幾個未知數就需要幾個方程．在遇到其他形式的題目或者在更復雜的情境里，學生也可以洞悉到問題的原型和本質，并用數學的普遍思想統領對問題的思考，比如去尋找兩個基本條件、建立方程組并求解．這就相當于把所有的具體形態都忽略了，只剩下一個抽象形態的知識，而這個知識又是無所不包的，也許這就是我們的“道”吧．當學生把所有具體題目都忘掉(也必然會忘掉)以后還剩下的部分，就是這個現象所要教給他們的．這就是“題目”和“現象”帶給學生的不同影響，也是二者的本質區別．唯有后者才提供了真正的教育，它給人的意識和行為帶來了長久而穩定的改變．

4 用現象提供課程

課程天然地與“教育”連在一起，不能被用于教育的材料就不能說是課程．相應地，提供低效教育的就是低質量的課程，提供高效教育的就是高質量的課程．所以，《大辭典》不是課程，《百科全書》不是課程，《技術手冊》不是課程．《教材》能不能成為高質量的課程，還要看教師們的二次開發.“用教材教而不是教教材”，也許是對這一意思的通俗表達．

為了證明此處的說法，請看案例2中接下去的教學活動：

(學生思考)

圖2 圖3

生：也可以給一個量再讓橢圓和一條直線相切(圖3)．

生：還可以再讓橢圓截一條直線所得弦長為已知數．

……

師生：??？

生：比如知道橢圓上兩個點的坐標……

這樣的課程開發，學生似乎不是在學習解題，但卻已經實實在在地能夠解題．師生都渴望有超強的解題能力，而“超強的解題能力”必然是超越于題目之上的，若局限于題目之中就無法進入自由王國．

5 課程應該是問題串

把一道題目變成一個課程，必然要經過對題目的改造，而改造的手段究竟有多少，我們還不得而知(這是很有價值的研究課題)．目前我們所掌握的主要是“問題串教學”，即用一連串不斷推進或擴展的問題引領思維走向深入或開闊(就像前面的案例2)，得到更本質的認識或更廣泛的聯系，單個的題目是不足以形成高效優質課程的．

這里要特別強調一點，那就是必須留意避免這樣的錯誤：把“問題串”變成“任務串”．比如在一元二次方程判別式的教學中，給出一個未定的方程x2+3x+( )=0，然后現場在括號內填數，比如填上1, 5, 100, 2 018等，還可以“讓學生決定填什么數”，一起來計算判別式的值是正的還是負的．每填一個數，學生只是去做道算術題，這樣做看似熱熱鬧鬧實則是無所用心、不得要領．其實，我們只要改問“括號內填哪些數能使得方程有解？請你把所有這些數都找出來”，學習的形態就能大為改觀，“任務串”也就恢復到了“問題串”．

問題串和任務串的差別在于前者引發思維、后者圈定范圍．面對問題時，學生會主動開展猜想、試證、推翻、調整等，直至最后得出結論；面對任務時，學生會局限于任務本身，那是被動的、目標單一的活動．基于這個原因，筆者對“任務串教學”抱有警惕，對“任務群教學”抱有更大的警惕．我們平時見到的“任務群教學”提供的大多是一組沒有邏輯結構的工作清單，連“任務串”的順序性和遞進性都失去了，那是“任務串”的混亂版、題海戰術的加強版．有些地方干脆取了個“任務單教學”的名字，推廣那種教學方式，這倒顯得更直白、更實在(也更快速)，當然也給我們帶來了更大的不解和無奈．

為了形成對比，下面提供一個反面案例．

案例3函數單調性．

這個案例源于某一刊物，此處的討論僅代表個人看法，歡迎批評指正．

問題2在x軸上，從左到右自變量在增大，如何用數學符號反映？

問題3若自變量x在x1,x2處的值分別為f(x1),f(x2)，那么當自變量在增大，引起函數增大(減小)，如何用數學符號表示？

追問：由問題4可知，自變量任取兩個值x1,x2，當x1f(x2))并不能說明函數f(x)是遞增的(或遞減的)，那么自變量x應該怎樣取值，才能保證滿足條件時，函數f(x)是遞增的(或遞減的)？

問題5結合上述問題的認識，你認為函數是遞增的(或遞減的)，需要抓住那些關鍵因素？

問題6函數是遞增的、遞減的應該如何定義？

這里教師提供的問題多數不具有啟發思維的功能而是任務布置,即使作為任務，也沒有體現出邏輯遞進關系．這從反面說明了討論的必要性．

6 結語

韓愈在《師說》里講到：“師之所存，道之所存．”教師怎樣才能給學生以“道”？又能給他們怎樣的道呢？“道可道，非常道”，這就給教師帶來了極大的挑戰．實際上，我們能給學生的都是具體的題目，但題目本身不是“道”，如果我們抱有“傳道”的情懷，就必須去尋找一條切實可行的路徑，本文的做法不妨一試．讓有形的題目動起來，讓它在不同的“形”之下顯現出共同的“質”，如此則“道在其中矣”．“大道無形”，實乃因其形可變，具體的不變的“形”便顯不出“道”的存在，這似乎是不言自明的．

變式教學被看做中國數學教育的最大特色，在世界上馳譽已久，這是我們自信心的源泉．“每道題目都是一個課程”，這一理念直接脫胎于變式教學，但是對它提出了一個新的目標或稱原則．如何對待題目？“課程開發”的視角比“問題解決”的視角更具深度和廣度，更利于落實核心素養教育，這是我們在現象教學實踐中得到的一個體會，這個話題才剛剛開啟．