把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)

摘 要：文章作者在翻閱教學(xué)雜志時(shí)，讀到一位教師撰寫的《奧運(yùn)會(huì)到底開了多少天——計(jì)算“經(jīng)過時(shí)間”的爭論》一文，產(chǎn)生了一些不同的見解。文章以這位教師關(guān)于“奧運(yùn)會(huì)到底開了多少天”的話題為例，從把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)出發(fā)，追問問題的癥結(jié)，以尋求教學(xué)的應(yīng)對之策。

關(guān)鍵詞：時(shí)間;小學(xué)數(shù)學(xué);本質(zhì)

讀了文章《奧運(yùn)會(huì)到底開了多少天——計(jì)算“經(jīng)過時(shí)間”的爭論》（以下統(tǒng)稱原文）之后，筆者從中了解到有些教師對北師大版三年級數(shù)學(xué)上冊“年、月、日”一節(jié)中“練一練”的一道習(xí)題（如圖1）進(jìn)行了探討與爭鳴。

眾所周知，第29屆北京奧運(yùn)會(huì)開幕時(shí)間是2008年8月8日，閉幕時(shí)間是2008年8月24日。原文描述了教師們的爭執(zhí)：有的老師不解，計(jì)算奧運(yùn)會(huì)一共舉行的天數(shù)，在24-8后應(yīng)該要加1，一共是17天，這與原題的16天是矛盾的;還有老師認(rèn)為不要加1，這與計(jì)算小單位的經(jīng)過時(shí)間是一回事，如8：08—8：10共2分鐘， ? ? ? 10-8=2，都是計(jì)算經(jīng)過的時(shí)間，計(jì)算方法也應(yīng)該是一致的。

針對教師們的爭執(zhí)，原文認(rèn)為問題的焦點(diǎn)在于計(jì)算經(jīng)過時(shí)間的方法上，要搞清楚方法，就要重點(diǎn)區(qū)分“歷時(shí)”和“一共”，即經(jīng)過16天和一共17天不矛盾，這是一個(gè)問題的兩個(gè)方面，而不是一個(gè)問題兩個(gè)答案，更不是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯栴}。之所以爭論不休，是混淆了“歷時(shí)”和“一共”兩個(gè)概念，即經(jīng)過幾天和一共幾天是不一樣的，簡單把8分到10分的計(jì)算方法等同于8日到10日的計(jì)算方法也是有誤的。

原文建議借助線段圖來解釋，幫助學(xué)生理解：8分到10分經(jīng)過了2分鐘，是指從8分0秒到10分0秒，故，這種情況下經(jīng)過幾分和一共幾分是一樣的。（如圖2，筆者根據(jù)原文釋義所作）

一、小學(xué)數(shù)學(xué)中的“時(shí)間”內(nèi)涵

“時(shí)間”和長度等一樣，都是小學(xué)數(shù)學(xué)中常見的量，屬于度量問題。數(shù)學(xué)中的度量不是物理學(xué)意義上的技能，其本質(zhì)是給度量對象以合適的數(shù)，并使之滿足“有限可加性”“運(yùn)動(dòng)不變性”和“正則性”三個(gè)條件。

首先，時(shí)間的“有限可加性”。經(jīng)過的時(shí)間即兩個(gè)不同時(shí)刻之間含有多少個(gè)時(shí)間單位，可以分段求和計(jì)量，總量等于各部分量之和。例如，北師大版教材中，淘氣吃早餐的時(shí)間可以表示為4個(gè)5分鐘之和，也可以是6：55—7：00的5分鐘與7：00—7：15的15分鐘之和，時(shí)間的總量都是20分鐘。其次，度量的過程隱含了時(shí)間的“運(yùn)動(dòng)不變性”。例如，先度量7：00到7：15的15分鐘，再度量6：55到7：00的5分鐘，時(shí)間總量保持不變。如果把6：55到7：00的5分鐘后移至7：15到7：20，時(shí)間的總量也是不變的。最后，時(shí)間的“正則性”，是指存在時(shí)間的度量單位。通常選定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，稱其為單位時(shí)間。例如，秒是國際單位制中時(shí)間的基本單位，當(dāng)銫133原子處于非擾動(dòng)基態(tài)時(shí)兩個(gè)超精細(xì)能級間躍遷對應(yīng)的輻射頻率ΔνCs以Hz（即等于s-1）為單位表達(dá)時(shí)選取固定數(shù)值9192631770來定義秒。常用的時(shí)間單位還有：時(shí)、分、年、月、日等。數(shù)學(xué)和物理在這里和諧連接起來。

由此，我們也可以進(jìn)一步看出“時(shí)間”和“時(shí)刻”的區(qū)別。“時(shí)刻”就是此時(shí)此刻，例如，8：08是一個(gè)“時(shí)間點(diǎn)”，這里的兩個(gè)8都表示順序，表示第8，是“序數(shù)”，不可度量;“時(shí)間”是兩個(gè)不同時(shí)刻之間的有限的“時(shí)間段”，有長有短，可以度量，例如，8：00—8：08之間是8分鐘，8：08—8：16之間也是8分鐘，8分鐘的8是數(shù)量的多少，是“基數(shù)”。值得一提的是，類似于“8月8日”，盡管這一天有固定的24小時(shí)，但相對于一個(gè)月、一年來說，也是一個(gè)“時(shí)間點(diǎn)”，表示第8，也是“序數(shù)”。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編排

關(guān)于度量時(shí)間，筆者翻閱了國內(nèi)影響較大的三個(gè)版本的教材，分別是北師大版教材、人教版教材、蘇教版教材。

這些教材將度量時(shí)間安排在三年級學(xué)習(xí)，是基于學(xué)生的年齡與認(rèn)知特點(diǎn)，故三個(gè)版本的教材都有在鐘面“數(shù)一數(shù)”的設(shè)計(jì)，這樣可以使問題更具直觀性，把復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化。蘇教版除了有鐘面圖，還有線段圖，猶如一把“時(shí)間尺”，既是認(rèn)識(shí)24時(shí)計(jì)時(shí)法時(shí)間軸的再憶，也是度量長度經(jīng)驗(yàn)的遷移，圖形直觀更易啟發(fā)學(xué)生思考和探索簡單的方法。人教版和蘇教版教材在最后還給出了“減法計(jì)算”。可見，度量時(shí)間既有在鐘面上數(shù)一數(shù)的動(dòng)作表征，也有畫線段圖的圖式表征，還有減法計(jì)算的算式表征，體現(xiàn)了適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的需要，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。

三、小學(xué)生認(rèn)知的起點(diǎn)

其一，日出日落，我們每天都在經(jīng)歷著時(shí)間的流逝，“石英鐘”“電子鐘”等是學(xué)生從小就接觸的計(jì)量時(shí)間的工具，我們每天都在運(yùn)用時(shí)間、計(jì)算時(shí)間。因此，小學(xué)生在學(xué)習(xí)“時(shí)間”之前已有了關(guān)于“時(shí)間”的初步的量感。

其二，在學(xué)習(xí)“度量時(shí)間”之前，學(xué)生已在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中認(rèn)識(shí)了時(shí)間單位和時(shí)刻，并通過“度量長度”積累了一些度量經(jīng)驗(yàn)，這些經(jīng)驗(yàn)會(huì)遷移在后續(xù)的學(xué)習(xí)中。

四、小學(xué)生的學(xué)習(xí)過程

學(xué)習(xí)度量時(shí)間時(shí)，在鐘面圖、線段圖的輔助下，學(xué)生能直觀感受到在一天中（采用24時(shí)計(jì)時(shí)法），時(shí)刻a到時(shí)刻b之間含有的時(shí)間單位的個(gè)數(shù)，正好等于“b-a”的值，這樣的規(guī)律確實(shí)是對的，而事實(shí)上，我們的教師也是這樣教的。于是，學(xué)生頭腦中就形成了“經(jīng)過的時(shí)間=末時(shí)刻-初時(shí)刻”的解題模型。同時(shí)這個(gè)模型和度量長度的經(jīng)驗(yàn)是一致的（線段的長度=末刻度-初刻度），學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在同化的過程中變得豐富、提高和發(fā)展。

也正因?yàn)槿绱耍敖?jīng)過天數(shù)問題”屬于度量時(shí)間范疇，學(xué)生利用已有的解題模型進(jìn)行遷移，直接用“經(jīng)過天數(shù)=末日期-初日期”進(jìn)行解答，便顯得“理所當(dāng)然”。

五、問題的癥結(jié)以及解決辦法

“時(shí)間”和“時(shí)刻”是有區(qū)別的，那么兩個(gè)“時(shí)刻”相減意味著什么呢？能等于“時(shí)間”？還是因?yàn)閿?shù)值正好等同于“時(shí)間”的數(shù)值就“名正言順”的可以替代？這正是問題的癥結(jié)所在。事實(shí)上，兩個(gè)“序數(shù)”相減是沒有任何實(shí)際意義的，兩個(gè)“刻度”、兩個(gè)“日期”亦是如此。只有轉(zhuǎn)化成“基數(shù)”時(shí)，減法運(yùn)算才有意義。膚淺地運(yùn)用規(guī)律，雖能解一時(shí)之急，但副作用不容小覷。

要解決這個(gè)問題，唯有從源頭上去理解，讓學(xué)生觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這樣，學(xué)生才能形成正確的解題模型。一方面，要明確“度量時(shí)間”的本質(zhì)是用數(shù)去量化“時(shí)間段”，這個(gè)時(shí)間段的起點(diǎn)和終點(diǎn)在情境中要明確;另一方面，想要通過減法運(yùn)算解決問題，就不能忽略減法運(yùn)算的意義而徒有減法運(yùn)算的外在形式，也就是這里出現(xiàn)的數(shù)必須轉(zhuǎn)化成“基數(shù)”意義，學(xué)生在一年級時(shí)學(xué)習(xí)過的“幾”和“第幾”的相互轉(zhuǎn)化正與此契合。

基于以上分析，解決此類問題便能迎刃而解。例如，問題1“14：00至16：00有多少小時(shí)？”，問題2“本月14日至16日有多少天？”在問題1中，起點(diǎn)是14：00，終點(diǎn)是16：00（如圖3）;在問題2中，起點(diǎn)是14日，終點(diǎn)是16日（如圖4）。

14：00和14日同為“序數(shù)”，不同點(diǎn)是前者在時(shí)間軸上是一點(diǎn)，后者在時(shí)間軸上是代表24小時(shí)的一段，14：00之前是14小時(shí)，14號(hào)之前是13天。兩個(gè)問題都屬于“度量時(shí)間”，因此本質(zhì)上是一樣的，即“一部分時(shí)間=總時(shí)間-另一部分時(shí)間”。

回到爭論上來，“奧運(yùn)會(huì)8月8日開幕，8月24日閉幕”。首先，起點(diǎn)8號(hào)算在里面沒有疑義，又因?yàn)?4號(hào)這天也在開奧運(yùn)會(huì)，所以終點(diǎn)24號(hào)也要算在里面。

因此，這樣算來，奧運(yùn)會(huì)一共開了17天，這17天牽動(dòng)著中華兒女每一個(gè)人的心，請問有哪一天沒共同經(jīng)歷過？因此這里的“一共多少天”和“經(jīng)過多少天”是一個(gè)意思，并不是所謂的“一個(gè)事情的兩個(gè)方面”。那官方統(tǒng)計(jì)錯(cuò)了嗎？當(dāng)然沒有，官方發(fā)布的信息更為正式，度量的時(shí)間段的起點(diǎn)和終點(diǎn)更為精確而已，其背后的數(shù)學(xué)原理是一致的。

美國著名數(shù)學(xué)教育家赫斯說：“問題不在于教學(xué)的最好方式是什么，而在于數(shù)學(xué)到底是什么，如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題，便永遠(yuǎn)解決不了教學(xué)的爭議。”當(dāng)教學(xué)過程中出現(xiàn)爭議，解決問題的正確方式應(yīng)該是更多地關(guān)注核心概念的理解以及數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示。不要被那些諸如“兩頭都算、一頭算一頭不算、兩頭都不算”的外在形式所干擾，那只不過是描述度量起點(diǎn)和終點(diǎn)的變式而已。透過現(xiàn)象看本質(zhì)，唯有如此，才能促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

[參考文獻(xiàn)]

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[2]周秋英.關(guān)注錯(cuò)誤背后的“故事”——對“求經(jīng)過時(shí)間”的教學(xué)思考.[J].教育研究與評論（小學(xué)教育教學(xué)），2015（8）：64-67.

課題項(xiàng)目：本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度立項(xiàng)課題“小學(xué)數(shù)學(xué)：讓學(xué)生‘帶得走的‘尋理課堂實(shí)踐研究”（C-c/2018/02/19）階段研究成果。

作者簡介：徐紅兵（1981— ），男，中共黨員，中小學(xué)一級教師，本科，區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)兼職教研員。