提高線性代數課堂教學效率策略探析

唐秋林

摘 要：針對線性代數課程特點和學生的實際情況，從重視課程的入門教學、融入數形結合思想、培養學生的探究能力、運用案例提高學生學習興趣四個方面，提出了一些有效提高課堂教學效率的具體策略。

關鍵詞：線性代數;教學改革;數形結合

Abstract：According to the characteristics of Linear Algebra course and the actual situation of students，this paper tries to put forward some concrete strategies for improving efficiency from four aspects：attaching importance to the introduction of the course，integrating the thought of combination of numbers and shapes，cultivating students' ability of exploration，and improving students' interest in learning by using cases.

Key words：linear algebra;teaching reform;combination of numbers and shapes

線性代數是高等院校理工類和經濟管理類等專業學生的一門重要的數學基礎課程之一，是學生學習后續課程的工具，同時在培養學生的計算和抽象思維能力方面有獨特的作用。但是，由于這門課程概念繁多、內容抽象，邏輯性強、計算繁瑣，大多數學生感覺晦澀難懂，普遍感到比微積分的學習要困難得多。加之學時偏少，教師經常要趕進度，整堂課講得口干舌燥，但收效甚微。如何在課堂教學中有效提高教學效率，幫助學生適應線性代數課程的教學進程呢？為此我們從以下幾個方面來談談提高線性代數課程教學效率的策略。

一、重視線性代數緒論教學

教學論的理論與實踐告訴我們，為了達到預期的教學目的和要求，必須組織好教學過程，充分注意到教育對象的特點、課程的特點以及各個教學階段的特點。而教學階段又可大致分為入門教學階段、繼續教學階段和復習階段。線性代數這門課程的內容大致包括：行列式、矩陣及其運算、矩陣的初等變換與線性方程組、向量組的線性相關性、相似矩陣及二次型等。線性代數這門課程本質上就是圍繞如何解線性方程組展開的相關內容的研究。在課程教學的第一次課，我們可以通過緒論的形式將本課程的主要內容向學生展現出來。例如，可以通過學生熟悉的中學平面解析幾何引入線性方程組的求解問題，具體來講就是，在建立了平面直角坐標系后，平面上的一條直線l就與二元一次方程ax+by+c=0建立了一一對應關系，從而兩條直線位置關系的幾何問題就轉化為一個二元一次方程組解的問題，即兩直線平行等價于對應的線性方程組無解;兩直線相交等價于對應的線性方程組有唯一解;兩直線重合等價于對應的線性方程組有無窮多解。類似地，空間解析幾何中，一個平面和一個三元一次方程是一一對應的，從而也有相應三平面位置關系的幾何問題就轉化為一個三元一次方程組解的問題，即三平面平行等價于對應的線性方程組無解;三平面相交于一點等價于對應的線性方程組有唯一解;三平面相交于一直線等價于對應的線性方程組有無窮多解;三平面重合等價于對應的線性方程組有無窮多解。針對后面這兩種情況，提出問題：都是對應的三元一次線性方程組有無窮多解，那么它們的解的形式有什么不同？對于更多個未知量的線性方程組，其解的情形又是怎樣的呢？換個角度說，比如：

這幾個方程組，不解它們，能直接判定解的個數嗎？從而說明方程組未知量個數與方程組解的個數之間有關系，這是本課程要去研究的一個重要內容之一，這樣就激起了學生的學習欲望，為以后的學習打好伏筆。通過解析幾何中平面和空間的概念我們向學生說明，在線性代數課程中可以將它們推廣到n維向量空間，那么在n維向量空間中如何建立坐標系呢？這就需要有所謂的向量的線性無關的概念，從而說明向量的線性相關性也是線性代數課程的又一個重要內容。接下來還是從解析幾何中的基本問題：給定一個二元二次方程，如何判定它表示哪類二次曲線？給定一個三元二次方程，如何判定它表示哪類二次曲面？向學生介紹線性代數還有一個重要內容就是二次型。這樣，通過緒論課，我們向學生介紹了線性代數的主要內容，讓學生對這個課程所要研究的內容有了一個整體的了解，激發了他們學習的興趣，提高了學習積極性，為后面高效率的學習打下基礎。

二、融入數形結合思想

線性代數課程的一大特點就是定義繁多、內容抽象，很多內容學生難以理解。然而，線性代數中很多的概念和理論都來源于幾何，所以，我們在教學過程中可以借助幾何語言來闡釋線性代數中的概念和性質，從而化解線代數抽象、難學難教的狀況.例如，在行列式這個概念的教學中，我們可以將行列式看作是有向面積或體積的概念在一般歐幾里得空間中的推廣。再例如，向量組的線性相關的幾何原型就是兩個2維向量共線，而線性無關的幾何原型就是兩個2維向量不共線。

方陣的特征值和特征向量是線性代數教學中的一個重點和難點，大多數教材都是直接給出定義，沒有提供具有相關直觀幾何背景知識的內容，這樣不利于學生對此概念的理解和掌握。事實上，我們可以借助幾何直觀來引入方陣的特征值和特征向量的定義。在講矩陣的概念時，我們就向學生闡明了：線性變換和矩陣之間存在著一一對應的關系。接下來學習了矩陣的運算后，學生知道了線性變換y=Ax把列向量x變成列向量y，相當于用矩陣A去左乘x得到y。在給出方陣的特征值和特征向量的一般定義之前，我們先給出一個方陣A=1 0

三、培養學生的探究能力

李大潛院士說：“數學教育本質上是素質教育。”學習數學，不僅要學到許多數學概念、方法和結論，更要領會到數學的精神實質和思想方法。如果將數學教學僅僅看成數學知識的傳授（特別是那種照本宣科式的傳授），那么即使包羅了再多的定理和公式，可能仍免不了淪為一堆僵死的教條，難以發揮作用，而掌握了數學的思想方法和精神實質，就可以由不多的幾個公式演繹出千變萬化的生動結論，顯示出無窮無盡的威力。線性代數在培養學生思維能力和分析問題解決問題的能力方面可以發揮重要作用。在學完矩陣的秩這部分內容后，我們給學生準備了一道填空題：設A是5階方陣，A的秩R（A）=3，則A的伴隨矩陣的秩R（A*）=? 。學生通過矩陣秩的定義和伴隨矩陣的定義，很快得到答案為0。接著我引導學生對這個問題進行探究，將A的階數與秩作改變，相應的A*的秩又是多少呢？如題目改為：設A是4階方陣，R（A）=3，則R（A*）=? 。這時實際上已經變成一個綜合題了，它的難度就比剛才的提高不少，其中會涉及到多個知識點，如：矩陣秩的定義;方陣的秩與行列式的關系;若兩個矩陣的乘積為零，則它們秩的和要滿足什么不等式等等。通過分析引導，學生得到答案為1。利用這個問題，幫助學生復習了已學的知識點。最后我再提出：設A是n階方陣，對于R（A*），同學們能不能給出一般性的結論呢？經過一番思考，有不少學生給出了結論，即當R（A）=n時，R（A*）=n;當R（A）=n-1時，R（A*）=1;當R（A）SymbolcB@n-2時，R（A*）=0。通過這個問題的教學，拓展了學生的思維，培養了學生提出問題，分析問題和解決問題的能力。

四、充分運用案例，提高學生的學習興趣

線性代數的概念和理論都很抽象，在教學中，可以適時的引入和學生專業相關或生活相關的例子，既可以激發學生的學習興趣，又能將所學的線性代數知識與專業知識結合起來。例如在學習了矩陣的相似與對角化后，我們給出了如下捕食者與食餌系統問題。

教學過程中適當運用案例吸引學生的注意力，增強他們的好奇心和探索欲望，培養他們利用所學知識解決實際問題的能力，從而提高了教學效果。

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