淺談初中數學最短路徑問題的教學研究

周繼超

摘要：“最短路徑”問題是人教版數學八年級上冊的知識點，模型簡單明了，能與幾何知識中的三角形、四邊形、圓等知識結合，也能與一次函數、二次函數圖像結合，是中考常考題型，也是學生的易錯點和難點。在教學實踐中，教師講過很多遍的類似題目學生還是頻繁出錯，這是影響學生學習數學的一大難題，經過觀察和對學生的詢問與分析，大部分學生出錯的原因是在做題的過程中不能找出“最短路徑”的模型，分析不出題目中哪些是模型中的點，哪些是模型中的線，從而導致解決不了此類問題。如果在教學中教師能夠提前熟知這類問題的所有題型，并在授課中及時進行強調和總結，那么不僅會對學生的數學學習有所幫助，也能幫助學生提高學習興趣，從而提升學生的數學思維能力。

關鍵詞：初中數學;“最短路徑”問題;教學研究

一、前言

在現在的初中數學學習中，大多學生都能熟練背誦知識點，可一旦將知識點運用到題目當中，或者問題的背景、數量關系之間稍有改變，學生便找不到解題思路，知識點不能實際運用起來，造成這種情況很重要的一個原因是教師的教學方法傳統且單一，缺乏對題目的“深刻理解”和對題目的變式訓練，對題目一味要求解出正確答案，但是并沒有引導學生對其他解題思路進行思考，拓寬學生的數學思維，這就導致學生缺乏思考能力以及創新能力，數學課從試卷分數來檢驗或用鍛煉思維思考能力來檢驗都沒有達到新課標中的要求，反而會因為沒有良好的教學引導，使學生失去了對學習的興趣以及激情，造成學生成績落后、學習偏科的結果，在初中數學沒有打下過硬的基礎，在學習方法上缺少可行有效的指導，這對未來的中考以及高中數學學習都埋下了隱患。教師要充分理解并利用數學教學，使學生掌握解題方法，鍛煉解題思維，從根本上提高思維邏輯能力以及處理問題的能力。

二、初中數學“最短路徑”問題教學研究策略

（一）一題多解

初中數學中很多題目都能夠有多種解題思路以及方法，教師可以引導學生進行不同解法的思考，用來鍛煉學生的發散思維以及求是思維。有相關數據證明學生對題目的解答方式越多，那么他們的思路就越開闊、思維越清晰。同時學生可以通過不同的解題思路來進行比較，哪一種解題方式更便捷，能夠節省答題時間，今后再遇到此類題目就可以有一個系統的解題思路，這不僅提高了學生自主學習思考的能力，而且還可以提高學生的解題能力，使他們的解題思路更加明確。

（二）一題多變

一題多變指的是數學題目最終檢驗的知識點目標不變，題目的本質不發生任何變化，變化的是題目的形式、條件，或者整體題目的設定背景，可以是專業的數學角度題目，也可以是貼近生活的情境類題目。此類題目的設置重在培養學生“舉一反三”的能力，使他們能夠不局限于固定思維模式，真正理解數學、運用數學。一題多變的變式教學引導可以讓學生對知識點充分理解并掌握，可以培養學生思維的靈活性。教師可以對題目保留客觀條件，改變結論，或者改變客觀條件，保留結論，無論是哪種方式，都可以讓學生沖破固定思維，使他們能夠根據不同情景、不同題目的變化隨時進行積極探索，在掌握知識點的同時開拓思維創新能力。

三、實例講解

（一）“兩線一點”

某市的服裝加工廠P恰好在兩條鐵路OA，OB的夾角內部，如圖所示，為了貨物更好地運轉，經理決定在這兩條鐵路沿線上各建一個運轉站M，N。試確定M，N應建在何處，能使P，M，N之間的總路程最短。

（二）“兩線兩點”

如圖，在曠野上，一個人騎馬從A點出發，他先使馬到草地邊a吃草，再到河邊b飲水，最后返回點B，他怎樣走才能使總路徑最短？

在分別展示完這兩道題目后，教師可以提問：在這兩道題目中，點、線的數量都發生了變化，我們應該如何來應對呢？根據問題，學生之間會產生激烈的討論，無論答案時都正確，教師都要進行適當的夸獎與鼓勵，隨后再根據他們的問題與錯誤進行講解。

第一題中，把P點分別關于直線OA、直線OB各對稱一次，得到兩個對稱點P1、P2，連接P1、P2這兩個對稱點，對稱點連線與直線OA、直線OB的交點M、N就是所求的兩個點。第二題中，依據就近原則，做出點A關于直線a的對稱點A'，點B關于直線b的對稱點B'，對稱點連線與直線a、直線b的交點即為所求，繞著A、B和兩個交點繞一圈就是最短距離。當然，也可以做出點A關于直線b的對稱點A′，點B關于直線a的對稱點B'。總結：只要是兩個點分別關于兩條直線各對稱一次即可。

四、結束語

近年來，“最短路徑”問題在中考數學中占領了較大的比重分值，教師要全方位理解新課標指示精神，對“最短路徑”教學進行重點關注，使學生充分掌握數學知識點，能夠順利運用到每一道題目當中去，培養學生建立數學思維，對題目進行自主分析解答，充分提高他們對數學的學習興趣，從而提升綜合能力。

參考文獻：

[1]陳茂葉.從“兩點之間，線段最短”走進中考——初中數學變式教學的運用[J].現代閱讀（教育版），2013：393-394.

[2]吳子兵.從“兩點之間，線段最短”分析——初中數學變式教學的運用[J].理科考試研究：初中版，2016：21.