高等數(shù)學的持續(xù)有效學習研究

張艷玲

（衡水學院 河北·衡水 053000）

德國大數(shù)學家、天文學家，物理學家高斯說：“數(shù)學是科學的皇后，雖然她常常屈尊去為其他自然科學效勞，但在她與所有學科的關系中，她始終堪稱第一。”

高等數(shù)學，不再是單獨的一門學科，它對其他學科的支持功能顯而易見，并且越來越被人們認可。學好高等數(shù)學，也不僅僅是這一門課的問題。高等數(shù)學知識的掌握程度會直接影響其他專業(yè)一些后續(xù)課程的學習。所以，高等數(shù)學的學習，必須是持續(xù)有效的。

1 高等數(shù)學的學習應該是持續(xù)的

一方面，高等數(shù)學學習的持續(xù)性要求首先體現(xiàn)在高等數(shù)學這門課程的學習應該是不間斷的，這是最基本的。

由高等數(shù)學的知識框架可以知道，高等數(shù)學本身就是連貫的，由簡到繁，由淺到深，由一元到多元，前面知識點可作為后面內容的基礎，而上冊內容整體上又是下冊學習內容的基礎。

比如一元函數(shù)的導數(shù)與積分，導數(shù)和積分互為逆運算。導數(shù)基本公式是積分基本公式的求解依據(jù)，積分基本公式可由導數(shù)基本公式結合積分定義推導而來。在學習了導數(shù)之后，再學習積分就會簡單很多。例如已知（x2）'=2x，結合原函數(shù)及積分的定義，我們自然可知道。但是如果之前導數(shù)公式沒有掌握好，比如不知道y=x2的導數(shù)如何求解，那原函數(shù)一定不會求，那積分的求解也更不用說了。當然這是一個極簡單的例子，但足以說明前后知識的連貫和影響。

再比如多元函數(shù)的學習。到了多元函數(shù)的學習部分，相當一部分同學會感覺很難。其實難，難在什么地方？是多元函數(shù)本身的難度太高嗎？其實不是。真正的難，是難在一元函數(shù)相關的理論和技巧沒有掌握好。二元函數(shù)和一元函數(shù)在很多方面都是相通的，在學習過程中需要掌握這二者的相通之處和它們的不同之處。二元函數(shù)是一元函數(shù)的擴展。如果一元函數(shù)求導沒有真正弄明白，沒有掌握好，那二元函數(shù)就必然會感覺很難，尤其是二元函數(shù)是求“偏導”。

同樣舉個簡單的例子。例如求z=x2y的偏導數(shù)。“偏”是新內容，“導數(shù)”就要借助一元函數(shù)的方法來求解。“二元函數(shù)有幾個自變量，就要有幾個偏導數(shù)。”“求偏導時，對誰求偏導，就把誰看作自變量，其他自變量看作常數(shù)。”這兩條是要牢記的。這是與一元函數(shù)不同的地方，也是二元函數(shù)擴展出的新內容。如求，是函數(shù)z對自變量x求偏導，就需要把x看作自變量，把y看作常數(shù)來處理，這樣二元函數(shù)z=x2y就可看作是z關于x的一元函數(shù)，求解時自然就可以借用一元函數(shù)的求導法則。由此可求。同理。

在實際的學習過程中，往往是新學習的內容掌握的相對較好，而出問題比較多的是之前的基礎知識。這其實就是前面知識沒有掌握好。也可能是當時覺著會了，但實際并沒有真正理解，導致過了一段時間就忘記了。古話說“溫故而知新”，學習新知識的同時需要時常去復習以前的知識。這也體現(xiàn)了知識體系的連貫性和持續(xù)性學習的重要性。

另一方面，高等數(shù)學學習的持續(xù)性，也可以理解為高等數(shù)學的學習需要貫穿于整個學習階段。

（1）數(shù)學是一門基礎學科。現(xiàn)在高等數(shù)學一般都是設置在一年級的兩個學期。由此我們也能看出它的前驅課程性質。很多專業(yè)課程多多少少要用到高等數(shù)學的知識。

例如，某品牌電扇生產商一個月生產Q臺電扇的成本為C(Q)=200+5Q，相應收益為R(Q)=10Q-0.01Q2。求月產量為多少時，利潤最大？這是經濟學中的典型的最大利潤問題，根據(jù)已知條件，需要先寫出利潤函數(shù) L(Q)=R(Q)-C(Q)=5Q-0.01Q2-200，這是個一元函數(shù)，而求利潤最大，實際上就需要去求這個一元函數(shù)的極值。一元函數(shù)的極值如何求解？如果學生掌握不好的話，那這道題也就止步于此而不得求解了。

（2）很多專業(yè)課程中的很多理論都要依賴數(shù)學知識，很多問題最終都要轉化為數(shù)學問題來求解。如果學生數(shù)學知識掌握不牢，那專業(yè)課程的學習難度也會增加。

例如，在工程測量中土的密度與壓實功的關系，材料拉伸程圖，地基的沉降量等等，需要用到函數(shù)極限、單調性、凹凸性、導數(shù)、極值、曲率、定積分概念及積分思想；在化工原理中流動系統(tǒng)的能量衡量常常會用到伯努利方程；在物理學中物理的運動速度、加速度問題是典型的求變化率問題，需要用導數(shù)來求解；求物理的轉動慣量、電場強度等是典型的求關于某個區(qū)域累積量的問題，這就要結合物理意義，用積分來求解；求解磁感應強度，磁通量這類問題，往往就要用到高斯公式。還有更多的學科中也會有相關問題需要用到高等數(shù)學的知識來解決。

可以說，高等數(shù)學是其他學科的基礎的工具，高等數(shù)學知識在后續(xù)的其他的專業(yè)課程中會持續(xù)使用。所以即使開設的高等數(shù)學這門課程結束了，高等數(shù)學相關知識的學習也是需要一直堅持的。高等數(shù)學是解決問題的工具，掌握好了這個工具，再去解決問題，就會得心應手，事半功倍。

2 高等數(shù)學的學習應該是有效的

有效是什么意思？簡單來講，就是學有所得，學有所獲，并能學以致用。以函數(shù)導數(shù)為例，首先檢驗定義定理和公式是否記住。然后，檢驗是否已經理解定義或定理的本質，“函數(shù)增量與自變量增量之比的極限”，遇到其它實際問題是否能夠抓住本質進而剝離出我們需要的函數(shù)量。再有，二元函數(shù)求偏導需要借助一元函數(shù)求導，學習二元函數(shù)偏導時是否可以借助一元函數(shù)求導的知識，發(fā)現(xiàn)二元函數(shù)偏導與一元函數(shù)求導數(shù)的相通與不同，進而掌握二元函數(shù)偏導數(shù)。如果都可以做到，那這部分的學習可以說就是有效的。否則就是無效或者是低效的。

怎么才能保證有效？我們就需要了解高等數(shù)學這門課的性質，采取適當?shù)膶W習方法，再加上自己的努力，從而使得學習效果最大化。

高等數(shù)學的課程性質主要有以下四點：

（1）高等數(shù)學的抽象性。高等數(shù)學幾乎是只保留了量的關系和空間形式，其抽象程度超過了絕大多數(shù)自然科學的抽象程度。其中多數(shù)概念都是在數(shù)、集合等原始概念上給出定義。比如極限定義，其中“任意的”“給定M”“無限接近”“存在的N”都是一些抽象的術語。對于這些表述我們就需要嚴格地去理解，才能掌握好這個極限定義。又比如導數(shù)的定義是從速度，切線斜率等問題中抽象出來而得出，二重積分的定義是從求解曲頂柱體體積和薄片質量中抽象得到。再比如，一元函數(shù)可以理解為與平面圖形對應，二元函數(shù)可以理解為與空間圖形對應，三元或四元函數(shù)呢？在現(xiàn)實世界中我們找不到與之對應的圖形，我們也很難想象出來。

（2）高等數(shù)學的系統(tǒng)性。高等數(shù)學內容看似獨立，但實際一環(huán)扣一環(huán)，環(huán)環(huán)相扣。每一章中，前一節(jié)是后一節(jié)的基礎，后一節(jié)是前一節(jié)的拓展。各章之間也是彼此聯(lián)系，前面章節(jié)是后面章節(jié)的基礎，后面章節(jié)的學習要用到前面章節(jié)的內容。

（3）高等數(shù)學的嚴謹性。高等數(shù)學的嚴謹性首先可以從定義中看出，仍以極限定義為例，其中“任意的”“給定”“無限接近”“存在”，都是對各條件的嚴謹限定，這幾個條件不能做任何變化，變化之后就會出現(xiàn)問題。另外，高等數(shù)學中數(shù)學問題都是用已知的條件和定理及已有的數(shù)據(jù)，非常嚴謹?shù)厝デ蠼饣蚯笞C。條件不足或條件不充分，則不能推出結論。

（4）高等數(shù)學定義多，定理多，公式多，習題多。高等數(shù)學很多節(jié)中都會有幾個定義或定理，比如函數(shù)極限一節(jié)中就有4個定義和4個定理；函數(shù)求導法則一節(jié)中有16個公式。每小節(jié)后有很多練習題，每章還有總練習題。這些都需要認真掌握，并且通過練習來鞏固。

了解了高等數(shù)學這門課的課程性質，有的放矢，再采用適合的學習方法，才能夠提升學習效果。

3 針對高等數(shù)學學習的建議

高等數(shù)學的課程性質就要求大家在學習高等數(shù)學時需要一步一個腳印，學了就要爭取掌握牢固。為了更有效的學習高等數(shù)學，在學習過程中，需要注意以下幾個問題：

（1）預習。高等數(shù)學的內容很多，但學時有限，所以每次課的講授內容都很多，速度也會偏快一些。預習可以對下次課的內容有個初步的了解。這樣，上課時就可以有重點地聽，可以大大地提高聽課的效果。同時，也能培養(yǎng)自學能力。

（2）聽課。課堂上聽教師授課是學生獲取知識的一個主要環(huán)節(jié)。聽課，主要是要聽如何提出問題，如何分析問題，并如何解決問題。上課時要緊跟教師的節(jié)奏，聽問題，抓關鍵，求思路，尋方法，并認真思考。尤其是在一些抽象問題的學習上，更要如此。

（3）記筆記。俗話說“好記性不如爛筆頭”。高等數(shù)學知識點繁多又相互聯(lián)系，邏輯也很嚴謹。上課時把教師的重難點、思路方法、典型例題、自己的疑難點等做好記錄，課后回顧時打開筆記，所有內容一目了然。課后重點復習，重點思考，解決疑難點。

（4）復習。“學習”包含“學”和“習”。“學”是獲取新知。“習”則是將所學知識進一步消化內化的過程。“學”與“習”應相輔相成。孔子的“學而時習之”就是這個道理。復習最好是在學習當天或第二天進行，并結合教材和筆記內容綜合復習。

（5）練習。練習是學習高等數(shù)學的很必要，也很有效的手段。通過練習，可以檢驗自己聽課、復習的效果，可以提高運算能力，更好地掌握解題方法和技巧，提高運用所學知識分析問題解決問題的能力。

（6）思考。“學而不思則罔”指出了思考的重要性。高等數(shù)學知識點繁多，邏輯關系又非常嚴謹。多想一想，多問一問“為什么”。在“想”和“問”過程中能夠逐漸將所學內容內化為自己所得。

4 總結

高等數(shù)學不僅是知識，更是一種思維。高等數(shù)學不僅僅是科學，更是一種文化，一種素養(yǎng)。高等數(shù)學應用廣泛，在軍事領域、教育領域、經濟管理領域、學術研究領域等等多種領域，高等數(shù)學都起著重要的作用。高等數(shù)學是基礎，很多其它領域的實際問題最終都要轉化為數(shù)學問題，需要用數(shù)學的理論和思維去解決。因此，我們要正視高等數(shù)學，認識其重要性，持續(xù)有效地學習，并能夠熟練地以高等數(shù)學為工具去分析問題、解決問題。