高等數學的持續有效學習研究

張艷玲

（衡水學院 河北·衡水 053000）

德國大數學家、天文學家，物理學家高斯說：“數學是科學的皇后，雖然她常常屈尊去為其他自然科學效勞，但在她與所有學科的關系中，她始終堪稱第一。”

高等數學，不再是單獨的一門學科，它對其他學科的支持功能顯而易見，并且越來越被人們認可。學好高等數學，也不僅僅是這一門課的問題。高等數學知識的掌握程度會直接影響其他專業一些后續課程的學習。所以，高等數學的學習，必須是持續有效的。

1 高等數學的學習應該是持續的

一方面，高等數學學習的持續性要求首先體現在高等數學這門課程的學習應該是不間斷的，這是最基本的。

由高等數學的知識框架可以知道，高等數學本身就是連貫的，由簡到繁，由淺到深，由一元到多元，前面知識點可作為后面內容的基礎，而上冊內容整體上又是下冊學習內容的基礎。

比如一元函數的導數與積分，導數和積分互為逆運算。導數基本公式是積分基本公式的求解依據，積分基本公式可由導數基本公式結合積分定義推導而來。在學習了導數之后，再學習積分就會簡單很多。例如已知（x2）'=2x，結合原函數及積分的定義，我們自然可知道。但是如果之前導數公式沒有掌握好，比如不知道y=x2的導數如何求解，那原函數一定不會求，那積分的求解也更不用說了。當然這是一個極簡單的例子，但足以說明前后知識的連貫和影響。

再比如多元函數的學習。到了多元函數的學習部分，相當一部分同學會感覺很難。其實難，難在什么地方？是多元函數本身的難度太高嗎？其實不是。真正的難，是難在一元函數相關的理論和技巧沒有掌握好。二元函數和一元函數在很多方面都是相通的，在學習過程中需要掌握這二者的相通之處和它們的不同之處。二元函數是一元函數的擴展。如果一元函數求導沒有真正弄明白，沒有掌握好，那二元函數就必然會感覺很難，尤其是二元函數是求“偏導”。

同樣舉個簡單的例子。例如求z=x2y的偏導數。“偏”是新內容，“導數”就要借助一元函數的方法來求解。“二元函數有幾個自變量，就要有幾個偏導數。”“求偏導時，對誰求偏導，就把誰看作自變量，其他自變量看作常數。”這兩條是要牢記的。這是與一元函數不同的地方，也是二元函數擴展出的新內容。如求，是函數z對自變量x求偏導，就需要把x看作自變量，把y看作常數來處理，這樣二元函數z=x2y就可看作是z關于x的一元函數，求解時自然就可以借用一元函數的求導法則。由此可求。同理。

在實際的學習過程中，往往是新學習的內容掌握的相對較好，而出問題比較多的是之前的基礎知識。這其實就是前面知識沒有掌握好。也可能是當時覺著會了，但實際并沒有真正理解，導致過了一段時間就忘記了。古話說“溫故而知新”，學習新知識的同時需要時常去復習以前的知識。這也體現了知識體系的連貫性和持續性學習的重要性。

另一方面，高等數學學習的持續性，也可以理解為高等數學的學習需要貫穿于整個學習階段。

（1）數學是一門基礎學科。現在高等數學一般都是設置在一年級的兩個學期。由此我們也能看出它的前驅課程性質。很多專業課程多多少少要用到高等數學的知識。

例如，某品牌電扇生產商一個月生產Q臺電扇的成本為C(Q)=200+5Q，相應收益為R(Q)=10Q-0.01Q2。求月產量為多少時，利潤最大？這是經濟學中的典型的最大利潤問題，根據已知條件，需要先寫出利潤函數 L(Q)=R(Q)-C(Q)=5Q-0.01Q2-200，這是個一元函數，而求利潤最大，實際上就需要去求這個一元函數的極值。一元函數的極值如何求解？如果學生掌握不好的話，那這道題也就止步于此而不得求解了。

（2）很多專業課程中的很多理論都要依賴數學知識，很多問題最終都要轉化為數學問題來求解。如果學生數學知識掌握不牢，那專業課程的學習難度也會增加。

例如，在工程測量中土的密度與壓實功的關系，材料拉伸程圖，地基的沉降量等等，需要用到函數極限、單調性、凹凸性、導數、極值、曲率、定積分概念及積分思想；在化工原理中流動系統的能量衡量常常會用到伯努利方程；在物理學中物理的運動速度、加速度問題是典型的求變化率問題，需要用導數來求解；求物理的轉動慣量、電場強度等是典型的求關于某個區域累積量的問題，這就要結合物理意義，用積分來求解；求解磁感應強度，磁通量這類問題，往往就要用到高斯公式。還有更多的學科中也會有相關問題需要用到高等數學的知識來解決。

可以說，高等數學是其他學科的基礎的工具，高等數學知識在后續的其他的專業課程中會持續使用。所以即使開設的高等數學這門課程結束了，高等數學相關知識的學習也是需要一直堅持的。高等數學是解決問題的工具，掌握好了這個工具，再去解決問題，就會得心應手，事半功倍。

2 高等數學的學習應該是有效的

有效是什么意思？簡單來講，就是學有所得，學有所獲，并能學以致用。以函數導數為例，首先檢驗定義定理和公式是否記住。然后，檢驗是否已經理解定義或定理的本質，“函數增量與自變量增量之比的極限”，遇到其它實際問題是否能夠抓住本質進而剝離出我們需要的函數量。再有，二元函數求偏導需要借助一元函數求導，學習二元函數偏導時是否可以借助一元函數求導的知識，發現二元函數偏導與一元函數求導數的相通與不同，進而掌握二元函數偏導數。如果都可以做到，那這部分的學習可以說就是有效的。否則就是無效或者是低效的。

怎么才能保證有效？我們就需要了解高等數學這門課的性質，采取適當的學習方法，再加上自己的努力，從而使得學習效果最大化。

高等數學的課程性質主要有以下四點：

（1）高等數學的抽象性。高等數學幾乎是只保留了量的關系和空間形式，其抽象程度超過了絕大多數自然科學的抽象程度。其中多數概念都是在數、集合等原始概念上給出定義。比如極限定義，其中“任意的”“給定M”“無限接近”“存在的N”都是一些抽象的術語。對于這些表述我們就需要嚴格地去理解，才能掌握好這個極限定義。又比如導數的定義是從速度，切線斜率等問題中抽象出來而得出，二重積分的定義是從求解曲頂柱體體積和薄片質量中抽象得到。再比如，一元函數可以理解為與平面圖形對應，二元函數可以理解為與空間圖形對應，三元或四元函數呢？在現實世界中我們找不到與之對應的圖形，我們也很難想象出來。

（2）高等數學的系統性。高等數學內容看似獨立，但實際一環扣一環，環環相扣。每一章中，前一節是后一節的基礎，后一節是前一節的拓展。各章之間也是彼此聯系，前面章節是后面章節的基礎，后面章節的學習要用到前面章節的內容。

（3）高等數學的嚴謹性。高等數學的嚴謹性首先可以從定義中看出，仍以極限定義為例，其中“任意的”“給定”“無限接近”“存在”，都是對各條件的嚴謹限定，這幾個條件不能做任何變化，變化之后就會出現問題。另外，高等數學中數學問題都是用已知的條件和定理及已有的數據，非常嚴謹地去求解或求證。條件不足或條件不充分，則不能推出結論。

（4）高等數學定義多，定理多，公式多，習題多。高等數學很多節中都會有幾個定義或定理，比如函數極限一節中就有4個定義和4個定理；函數求導法則一節中有16個公式。每小節后有很多練習題，每章還有總練習題。這些都需要認真掌握，并且通過練習來鞏固。

了解了高等數學這門課的課程性質，有的放矢，再采用適合的學習方法，才能夠提升學習效果。

3 針對高等數學學習的建議

高等數學的課程性質就要求大家在學習高等數學時需要一步一個腳印，學了就要爭取掌握牢固。為了更有效的學習高等數學，在學習過程中，需要注意以下幾個問題：

（1）預習。高等數學的內容很多，但學時有限，所以每次課的講授內容都很多，速度也會偏快一些。預習可以對下次課的內容有個初步的了解。這樣，上課時就可以有重點地聽，可以大大地提高聽課的效果。同時，也能培養自學能力。

（2）聽課。課堂上聽教師授課是學生獲取知識的一個主要環節。聽課，主要是要聽如何提出問題，如何分析問題，并如何解決問題。上課時要緊跟教師的節奏，聽問題，抓關鍵，求思路，尋方法，并認真思考。尤其是在一些抽象問題的學習上，更要如此。

（3）記筆記。俗話說“好記性不如爛筆頭”。高等數學知識點繁多又相互聯系，邏輯也很嚴謹。上課時把教師的重難點、思路方法、典型例題、自己的疑難點等做好記錄，課后回顧時打開筆記，所有內容一目了然。課后重點復習，重點思考，解決疑難點。

（4）復習。“學習”包含“學”和“習”。“學”是獲取新知。“習”則是將所學知識進一步消化內化的過程。“學”與“習”應相輔相成。孔子的“學而時習之”就是這個道理。復習最好是在學習當天或第二天進行，并結合教材和筆記內容綜合復習。

（5）練習。練習是學習高等數學的很必要，也很有效的手段。通過練習，可以檢驗自己聽課、復習的效果，可以提高運算能力，更好地掌握解題方法和技巧，提高運用所學知識分析問題解決問題的能力。

（6）思考。“學而不思則罔”指出了思考的重要性。高等數學知識點繁多，邏輯關系又非常嚴謹。多想一想，多問一問“為什么”。在“想”和“問”過程中能夠逐漸將所學內容內化為自己所得。

4 總結

高等數學不僅是知識，更是一種思維。高等數學不僅僅是科學，更是一種文化，一種素養。高等數學應用廣泛，在軍事領域、教育領域、經濟管理領域、學術研究領域等等多種領域，高等數學都起著重要的作用。高等數學是基礎，很多其它領域的實際問題最終都要轉化為數學問題，需要用數學的理論和思維去解決。因此，我們要正視高等數學，認識其重要性，持續有效地學習，并能夠熟練地以高等數學為工具去分析問題、解決問題。