動(dòng)中尋“靜” “定”題有招

陳國(guó)林

(江西省南昌市東華理工大學(xué)理學(xué)院 330013)

在新課程的標(biāo)準(zhǔn)要求下，平面解析幾何問題對(duì)數(shù)形結(jié)合思想要求較高，以坐標(biāo)法為核心，通過建立曲線方程，考查相關(guān)性質(zhì).這類試題的命制知識(shí)綜合性較強(qiáng)，能夠考查學(xué)生的邏輯思維，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力.其中對(duì)于圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題，要從題目信息中，以“靜”尋“定”，依據(jù)題目條件，挖掘“定”題絕招.下面通過具體實(shí)例進(jìn)行分析.

一、過定點(diǎn)問題

直線或曲線過定點(diǎn)問題需要把直線或曲線方程中的變量x，y視為常數(shù)看待，通過把方程一端化為零，且這個(gè)方程需要對(duì)任意參數(shù)都成立，所以這時(shí)的參數(shù)系數(shù)就要全部等于零，就可以得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn).

1.直線過定點(diǎn)

(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(2)過點(diǎn)M(1，2)作曲線C的兩條弦MA，MB，設(shè)MA，MB所在直線的斜率分別為k1，k2，當(dāng)k1，k2變化且滿足k1+k2=-1時(shí)，證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

評(píng)注該題可以通過代數(shù)推理，通過設(shè)出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，將直線MA、MB的方程表示出來后，利用根與系數(shù)的關(guān)系，直線方程的兩點(diǎn)式即可寫出AB的直線方程，最后利用直線系方程的知識(shí)即可求出直線AB經(jīng)過的定點(diǎn).

2.曲線過定點(diǎn)

(1)求a，b的值，并寫出橢圓C的方程；

(2)設(shè)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，在橢圓C上有異于A，B的動(dòng)點(diǎn)P，若直線PA，PB與直線l:x=m(m為常數(shù))分別交于不同的兩點(diǎn)M，N，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？

點(diǎn)評(píng)解決圓錐曲線中有關(guān)曲線恒過定點(diǎn)問題時(shí)，需要細(xì)心挖掘題目信息，將所求曲線表示出來.本題是圓過定點(diǎn)問題，解決此類問題，通過確定圓的圓心坐標(biāo)和半徑后，依據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可以求出圓恒過的定點(diǎn)值.

二、定值問題

解析幾何中的定值問題是指某些幾何量，例如線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、直線的斜率、角度的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān),不依參數(shù)的變化而變化,而始終是一個(gè)確定的值.

1.直線斜率為定值

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若E，F(xiàn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，則當(dāng)直線PE，PF的斜率都存在，記為kPE，kPF，則kPE·kPF是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

點(diǎn)評(píng)直線斜率是否為定值問題，毋庸置疑需要先將直線的斜率表示出來，通過已知條件列出方程，再進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得出定值.

2.面積為定值

(1)求橢圓C的方程；

綜上可知，△OMN的面積為定值1.

三、線段長(zhǎng)度為定值

點(diǎn)評(píng)求解解析幾何中的線段長(zhǎng)度或比值為定值問題時(shí)，需要利用弦長(zhǎng)公式、勾股定理，點(diǎn)到直線間的距離等相關(guān)公式求解出各線段長(zhǎng)度的表達(dá)式，再將其比值表示出來，通過變形化簡(jiǎn)，即可確定線段長(zhǎng)度的比值.

四、角度為定值

(1)求拋物線C的方程；

(2)若點(diǎn)E在拋物線C上，且縱坐標(biāo)為2，經(jīng)過點(diǎn)(2，0)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)E)，直線EA，EB分別交直線x=-2于點(diǎn)M，N，O為原點(diǎn)，求證：∠MON為定值.

(2)易知點(diǎn)E(2，2).設(shè)直線l:y=k(x-2)與拋物線C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn).