山東省高考22題
——一個圓錐曲線性質的推廣

蘇凡文

(山東省泰安寧陽一中 271400)

(1)求C的方程；

(2)點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值．

(2)①直線MN不垂直于x軸時，設

MN：y=kx+m，M(x1,y1)，N(x2,y2)．

消去y可得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-6=0.

m=1-2k時，MN：y=k(x-2)+1，直線MN過定點A(2,1)，舍．

聯立直線AB與橢圓方程得

(b2+k2a2)x2+2kma2x+(m2a2-a2b2)=0，

由韋達定理有

又A、B都在直線AB上，則有

y1=kx1+m,y2=kx2+m，

兩式相加得

兩式相乘得

將②③④⑤代入①得

因P不在直線AB上，則kx0+m-y0≠0，所以有a2(kx0+m+y0)=b2(y0-m+kx0),

推廣六點P(x0,y0)為拋物線y2=2px(p>0)上任意一點，過點P作PA⊥PB，PA、PB與拋物線分別交于異于點P的點A、B，則直線AB過定點(x0+2p,-y0)．