以歷史上的數學現象為知識生長的基點

摘? 要：數學知識有三個順序：歷史順序、邏輯順序和心理順序. 在高中數學課堂上，教師可以有意識地把數學史融入平時的數學教學中. 結合平時的高中數學教學，從高中數學的教學目標及對課程標準的分析出發，通過6個教學片斷的設計，闡明了如何以歷史上的數學現象為知識生長的基點，促進學生數學學科核心素養的提升. 同時，對數學史融入數學課堂進行了反思，旨在更好地研究“數學現象”視角下的概念教學.

關鍵詞：數學現象;數學史;概念教學;知識生長

數學史在數學課堂中的融入方式可以是多種多樣的，教師應該根據教學的需要選擇合適的資料和教學方式. 融入數學史的教學必然滲透著美育，學會審美不僅可以讓學生陶冶情操，而且能夠改善其思維品質. 本文以人教A版《普通高中教科書·數學》中的“數系的擴充和復數的概念”為例，就如何在高中數學教學中融入數學史談談筆者的一些看法.

一、教學目標及課程標準分析

本節課的教學目標為：通過方程的解，認識復數;理解復數的代數表示，理解兩個復數相等的含義.

《普通高中數學課程標準（2017年版）》對本節內容的教學要求是：了解復數概念形成的重要發展階段，體會其中的理性思維、創新精神和數學文化.

教學過程中，教師應該透視數學史，向學生介紹虛數及復數概念的引入所經歷的曲折過程，這既展示了數學家的想象力、創造力，以及不屈不撓、精益求精的精神，也讓學生感受到了數學的文化和精神，有助于學生理解復數的概念和意義.

二、教學片斷設計

片斷1：分析現象，提出問題.

學生活動1：分析數學史中涉及的數學現象，發現并提出問題.

問題1：將數字10分成兩部分，使他們的乘積等于40，如何求這兩部分？

讓學生自主探究，提出用方程解決問題的方案. 例如，設其中一部分的值為[x]，得到的方程為[x2-][10x+40=0]. 學生在解方程中發現，由于負數不能開平方根，該方程在實數范圍內無解.

【設計說明】問題1是卡爾丹在《大衍術》中提出的，他采用創設“新數”的方法來解決，為日后虛數的誕生埋下伏筆. 此處省略歷史背景，直接拋出問題，易于學生接受并分析該問題在實數范圍內無解的結果，設置情境沖突，提出實數集有進一步擴充的必要. 此片斷通過對數學現象的分析，讓學生在解決問題的過程中發現矛盾，從而提出新的問題.

片斷2：展示歷程，歸納要素.

學生活動2：課前讓學生收集素材，說明數系的擴充是生產實踐與社會發展的需要.

為了讓素材具有邏輯性，課前規定素材收集的順序：（1）自然數的產生;（2）引入負數，數集由自然數集擴充為整數集;（3）引入分數，數集由整數集擴充為有理數集;（4）引入無理數，數集由有理數集擴充為實數集. 數的產生和發展既是社會生產實踐的需要，也體現了數學可以刻畫現實世界的簡潔之美，為社會的發展提供動力.

學生活動3：通過解方程，讓學生了解數系的擴充是數學內部發展的需求，并歸納出數系的擴充所涉及的相關要素.

問題2：在自然數集中，方程[x+3=0]有解嗎？

問題3：在整數集中，方程[2x-1=0]有解嗎？

問題4：在有理數集中，方程[x2-2=0]有解嗎？

上述方程都是無解的. 將數集由原有的自然數集擴充為整數集，問題2就有解，解決辦法是“添加”負數. 依此類推，問題3的解決辦法是“添加”分數;問題4的解決辦法是“添加”無理數. 在這個教學片段中，教師應該讓學生感受到，在數集的擴充過程中原有的運算及其性質仍然適用.

【設計說明】此部分從生產實踐與社會發展的需要和數學內部發展的需求兩個方面說明數系歷次擴充的必要性和合理性. 計數的需要產生自然數，為表示具有相反意義的量引入負數，為測量與分配的需要引入分數，無理數的發現引發第一次數學危機，這些歷程均可以讓學生收集相關材料來說明. 解方程的過程，讓學生挖掘出數系的擴充需要有兩個關鍵要素：每一次數系的發展，新的數集都是在原來數集的基礎上“添加”一種新的數得來的;在新的數集中，原有的運算及其法則仍然適用. 歷史上數系的擴充都是從這兩個關鍵要素上考慮，以解決某些運算在原來數集中不可以實施的矛盾. 由此可見，數學應用過程中的規律和邏輯之美，也為解決片斷1中方程在實數范圍內無解的問題提供了啟示.

片斷3：透視歷史，發現新數.

學生活動4：通過對虛數發現歷史的回顧，讓學生發現引入虛數單位[i]的合理性.

歷史回顧1：1545年，卡爾丹在《大衍術》中寫道：要把10分成兩部分，使兩者乘積為40，這是不可能的，不過我卻用下列方式解決. [10=5+-15+][5--15]，[40=5+-155--15].

問題5：假如我們承認[-15]是“數”，那么[-15+][-15]和[-15 · -15]的結果是什么？

問題6：假如我們承認[-15]是“數”，那么[-4]，[-9]之類的“數”是否可以用[-1]來表示？是否可以計算[-1+-4+-9]的結果？

歷史回顧2：1637年，法國數學家笛卡兒把類似于[-1]的新數，起名為虛數，即“虛的數”，與“實數”相對應.

問題7：如果把[-1]作為“數”，有什么不妥當的地方嗎？

歷史回顧3：1777年，瑞士數學家歐拉在其論文中首次用到符號“[i]”，滿足[i2=-1]，且稱為虛數單位.

問題8：引入虛數單位[i]后，[-15]之類的“數”可以怎樣表示？這樣表示是否合理？

問題9：如果要進一步擴充數系，考慮前面數系擴充的要素，對[i]應該如何規定？

作為“新數”，[-15]必然與前面所講的數系擴充的要素“在新的數集中，原有的運算及其法則仍然適用”相矛盾. 透視歷史的進程，發現虛數單位[i]并規定其意義，從而產生“新數”解決矛盾. 教學中，說明其合理性和必要性是這個環節的關鍵.

【設計說明】虛數的發現經歷了長達兩百多年的歷史，這里面凝聚著數學家的努力、堅持和創造. 在一節課的學習中，讓學生生成虛數顯然是不真實的，但通過對歷史的梳理，可以讓學生經歷虛數發展的過程，從而讓學生對虛數概念的形成有更深的體驗. 對于[5±-15]，卡爾丹說過，無論我多么不愿意，這兩個數確實符合我們的要求. 于是，他成為第一個承認虛數的人. 可見假設[-15]是“新數”的教學是卡爾丹和笛卡兒透過歷史對我們的指導，只有基于這個假設，學生才能嘗試對這類數進行加、減、乘、除運算，發現這類數符合運算法則. 接下來，教學中通過對[-4]，[-9]與[-1]的關系的分析，引導學生從數學的本質上認識[i2=-1]，體會歐拉用虛數單位[i]這一符號來表示[-15]這類“數”的創造性、必要性和實用性. 上述教學片斷中，通過數學史在教學過程中的演繹，讓學生體會形成虛數的過程中的兩個要素的應用. 學生從邏輯上和心理上都自然而然地接受了虛數單位[i]，正是合理有效使用數學史的價值. 虛數單位[i]的產生，正是基于歐拉對數學本質的認識，他所獨具的非凡的思維品質創造出[i]這個兼具數學邏輯之美和簡潔之美的新數，可見審美之關鍵. 片斷3通過合理呈現數學現象，讓學生親身經歷數學概念生成的過程，使他們感受概念形成的思維與現實的互動，讓他們體驗思維的魅力和數學的智慧.

片斷4：激活聯想，抽象概念.

學生活動5：應用實數集的運算法則，使用[i]創造一些新數，從中抽象出復數的相關概念.

問題10：根據虛數單位[i]和實數，你能根據加、減、乘的運算，創造一些數嗎？

問題11：你所創造的新數，可否歸納總結其一般特點，并用一般的結構表示？

問題12：在什么條件下，復數[z=a+bi a，b∈R]是實數？

問題13：復數集[C]和實數集[R]之間有什么關系？

使用新數[i]和運用實數集的運算法則是數系擴充的必要條件，通過學生活動，我們可以獲得[6i]，[-4+2i]，[2-i]，[4+3i]之類的數，讓學生從中歸納出復數的一般形式[a+bi]，并且讓學生分析出[a]，[b]均為實數這一重要條件. 事實上，學生也會提出[i2]，[1-ii]之類的數，教師可以通過分析[i2=-1]，讓學生課后思考這些數是否都可以用結構[a+bi a，b∈R]來表示.

【設計說明】歸納是推理的一個重要形式，在應用數系擴充的兩個要素下，讓學生從自己列舉的復數中抽象歸納出復數的結構，并生成復數集的概念. 通過對復數[z=a+bi a，b∈R]的實數條件的探討，自然引出虛數、純虛數、復數的實部、復數的虛部等相關概念. 在探究復數在何時為實數的條件下，學生自然可以探索到實數集[R]是復數集[C]的真子集，這就說明在引入新數[i]并應用實數集運算法則的規定下，實數集[R]擴充為復數集[C].

片斷5：數學應用，理解概念.

學生活動6：通過例題解答，讓學生進一步理解復數及相關概念，并從中發現復數相等的條件.

問題14：說明下列復數的實部和虛部，并指出哪些是實數，哪些是虛數，哪些是純虛數. 4，[3+2i]，0，[12-3i]，[-3-12i]，[-0.2i]，[6i2].

問題15：實數[m]取什么值時，復數[z=mm-1+][m-1i]是實數？虛數？純虛數？

問題16：[a=0]是復數[z=a+bi a，b∈R]為純虛數的充分條件嗎？

問題17：實數[m]取什么值時，復數[z=mm-1+][m-1i]是[6+2i]？

問題18：試說明兩個復數[z1=a+bi a，b∈R]和[z2=c+di? c，d∈R]相等的充要條件.

問題19：已知[2x-1+i=y-3-yi]，[x，y∈R]，求[x]與[y].

通過一系列問題，讓學生明晰復數的結構，并進一步理解復數的相關概念，此處對[6i2]的辨析就是讓學生對復數的結構深入了解. 問題16的設計，讓學生進一步辨析純虛數的概念.

【設計說明】讓學生從具體問題中進一步理解復數的實部、虛部，以及復數為實數、虛數、純虛數應滿足的條件. 從具體實例出發，讓學生探究兩個復數相等的充要條件，并應用兩個復數相等的概念解決問題.

片斷6：回顧總結，拓展延伸.

學生活動7：讓學生對本節課的內容進行回顧總結，并對一些內容拓展延伸.

拓展延伸1：試探求形如[1-ii]，[1-i3]的數的實部和虛部.

拓展延伸2：閱讀卡爾丹求解一元三次方程的相關歷史介紹，體會一元三次方程在復數范圍內的根所具有的對稱美.

拓展延伸3：實數能比較大小，復數能否比較大小呢？試判斷，并說明理由.

拓展延伸4：作為一種新的數學工具，復數在數學、物理等多個領域中都有著廣泛的應用，你能否找一些復數應用的例子？

【設計說明】讓學生回顧數系擴充的歷程，并對數系擴充的條件進行總結，指出復數的引入完成了中學階段數系的最后一次擴充. 拓展延伸的內容，有對今后所學的復數的運算法則的引導;有從復數的幾何意義上探索復數的數形結合之美，探索一元三次方程在復數范圍內的根所具有的對稱美;也有讓學生收集復數的實際應用的例子. 通過對歷史和現實的學習，讓學生感受虛數不“虛”，體會數系擴充的必要性和重要性.

三、教學反思

1. 揭示問題本質，材料貼近學情

在高中數學內容中，涉及數學史的資源非常豐富. 教師在選擇的時候，必須考慮所選擇的數學史是否能揭示問題的本質，是否貼近學生的學情.“數系的擴充和復數的概念”一節內容，選擇的數學史關鍵在于說明兩個問題：一是通過數學家經歷的問題和矛盾，指出實數系擴充的必要性;二是數學家經過不懈努力，通過創設新數[i]來構建復數系. 因此，教師選擇的歷史材料，必須圍繞教學目標，并且要考慮章節的整體規劃和學生的學情. 事實上，歐拉使用虛數單位[i]只是復數歷史發展進程中的一個重要節點. 在此之后，高斯研究復數與平面上的點的一一對應關系，復數與向量的一一對應關系，闡述復數加法和乘法的幾何意義，之后才比較完整和系統地建立了復數的理論. 教師可以在本章后續的“復數的幾何意義”的教學中介紹相關歷史，并引導學生發現復數不能比較大小. 但是，這些都不是虛數的本質屬性，在沒有高斯平面之前很久，虛數就被認識了，而復數的“序”也可以用另外的形式建立起來，如字典順序.

選擇數學史，要充分考慮學生的學習基礎和能力. 例如，一元三次方程求根公式的引入，確實符合數學史的發展，但是從教學實際來說，學生認識一元三次方程的求根公式需要一定的基礎和時間，這個引入不太符合學生的接受能力. 本節課的教學從卡爾丹《大衍術》中的問題引入，既揭示了復數起源于負數開平方問題，也考慮到學生具有解二次方程的基礎，便于學生抓住問題的本質和矛盾的焦點，迅速進入學習狀態.

數學史為我們提供了什么？提供了數學現象，它是可以用來觀察、思考以形成認知和表達的. 千萬不能把數學史當作知識來教. 如果那樣，數學史就失去了它的文化韻味和發展功能.

2. 理清發展脈絡，有機串聯歷史

課堂教學中，教師必須根據教學目標、教學要求和學生的學情，選擇合適的數學史，并將之串聯，這樣才能使整個課堂教學主題明確、脈絡清晰.

在實際教學中，圍繞本節課的教學目標“通過方程的解，認識復數”，從給出方程在實數范圍內無解的矛盾引入，通過研究一系列給出方程的解的情況，讓學生經歷數系從自然數集、整數集、有理數集到實數集擴充的歷程，并從中歸納出數系擴充必須符合的兩個要素，為實數系的擴充做好鋪墊. 在此過程中，通過史料，學生也發現數系的擴充是人類文明發展的需要. 由于計數的需要，發明了自然數集;由于測量和分配的需要，發明了非負有理數集;由于刻畫相反意義的量的需要，發明了有理數集;由于度量正方體對角線長度的需要，發明了實數集. 接下去，通過與學生一起回顧卡爾丹、笛卡兒、歐拉三位數學大師對復數發現的貢獻，讓學生經歷與數學大師一起發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程. 必須要指出的是，數學大師的足跡接近復數和虛數的進程歷時兩個多世紀，大師們在別人習以為常的現象中發現問題并窮追不舍的精神，值得學生追隨并學習.

透視歷史的過程，教師把思維的能力教給學生，讓學生自己探究、評判和選擇. 龐加萊指出，教育工作者的任務就是讓孩子的思維經歷其祖先之所經歷，迅速通過某些階段而不跳過任何階段. 數學史記載著人類獲取知識的來龍去脈，教師通過思考、整理將它再現于課堂，發揮其蘊涵于數學知識的深刻教育價值，必將對學生思維的成長有非凡的意義.

3. 透視歷史現象，滲透美育教學

對數學美的認真審視和正確應用，是富有智慧的教學的表現. 它能培養教師的教學能力，激發學生的學習興趣，讓學生感受到藝術的感染，提高發現的能力，形成積極的人生態度.

在教學設計上，本節課通過對歷史現象的分析和方程解的探究兩條線索，借助社會發展和數學發展的歷史，讓學生逐步感受復數的概念生成，在這個過程中滲透數學美，讓學生獲得對數學美的審美能力，培養了學生對美的鑒賞和追求.

實際教學過程中，通過方程解的討論探究出數系擴充所需的兩個要素，歐拉創造性提出虛數單位[i]構建復數系，通過對一些復數的討論歸納復數的結構，這些都體現了數學的簡潔之美、邏輯之美. 課后，讓學生探究一元三次方程的相關歷史和復數的幾何意義，這既是教學中的一種合適的留白，又通過探究活動讓學生體會了對稱美對復數發現的重要意義.

在數學的歷史上，數學家們一直在討論數學中有關美學方面的特征. 開普勒說過，數學是這個世界之美的原型. 可見，發現美是數學發展的一個重要動力. 教師通過透視歷史，與學生一起領略數學美，既是自身教學能力、審美能力的一種提高，也能讓學生在情感上享受美，激起學生的學習熱情，從而提升學好數學知識的信心.

四、結束語

蘇霍姆林斯基說過，教育的藝術就在于能看到取之不盡的人類精神世界的各個方面. 作為人類認識過程中的一種現象，數學知識有它的三個順序：歷史順序、邏輯順序和心理順序. 把數學史融入數學教學，就是讓我們有意識地利用這三種順序. 對于很多數學知識，這三種順序是一致的，教學中要遵循這個順序. 但是也有一些是不一致的，這時就要選擇尊重學生的心理順序，因為這樣的順序讓學生覺得自然，容易產生愉悅感，也就是產生美感.

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收稿日期：2021-06-23

基金項目：江蘇省第十三批教研重點自籌課題——“數學現象”視角下的概念教學（2019JK13-ZB37）.

作者簡介：任曉松（1975— ），男，中學高級教師，主要從事高中數學教育教學研究.