基于數學教育心理學的高等數學教學改革初探

黃亞男 賈云濤

摘要在高等教育改革、新工科理念的時代大背景下，本文結合數學教育心理學（PME）中的數學認知結構、數學理解的心理本質、數學教育教學中的情感因素這三個方面的相關理論以及公共數學教育教學的實踐經驗，具體圍繞豐富認知聯線、數學理解的內部心理機制和數學教學的情感要素展開來談在數學教育心理學理論的支撐下如何優化教學策略，持續提高我們的教學質量，真正踐行關于人的主體的數學素質教育。

關鍵詞 數學教育心理學（PME） 高等教育改革 教學質量

中圖分類號：G642文獻標識碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2021.21.010

On the Teaching Reform of Advanced Mathematics Based on Mathematical Educational Psychology

HUANG Yanan， JIA Yuntao

（School of Applied Science and Civil Engineering， Beijing Institute of Technology， Zhuhai Campus， Zhuhai， Guangdong 519088）

AbstractUnder the background of higher education reform and new engineering concept， this paper combines the relevant theories of mathematics cognitive structure， psychological nature of mathematics understanding， emotional factors in mathematics education and teaching in Mathematics Educational Psychology （PME） and the practical experience of Public Mathematics Education and teaching.Based on the internal psychological mechanism of mathematics understanding and the emotional elements of mathematics teaching， this paper discusses how to optimize teaching strategies， continuously improve our teaching quality， and truly practice the mathematics quality education of human subject under the support of the theory of mathematics educational psychology.

KeywordsMathematics Educational Psychology（PME）； higher education reform； teaching quality

數學教育心理學（Psychology of Mathematics Education，縮寫為PME），是數學學科教育的研究實踐與教育學、心理學理論的交叉領域，旨在構建全新的學科教育理論框架，從而推動教師教育改革與創新，切實提升教育教學質量。

我國高等教育改革已進入一個綜合縱深、內涵式發展、全面優化的新時代，同時，在新工科的核心理念下，守住本科數學教育教學的前沿陣地，持續提升公共數學教學質量就成為擺在每一位一線數學教師面前刻不容緩的首要任務。如何圍繞數學素養培養開展有效的“以學生主體為中心”的教學活動？如何在現代認知心理學和教育學理論指導下實現數學知識的有效傳遞？如何幫助學生克服數學學習的畏難心理，提高學生的數學學習興趣，讓課堂更有效？本文主要圍繞數學教育心理學（PME）中的數學認知結構、數學理解的心理本質、數學教育教學中的情感因素這三個方面的相關理論，并結合本人的教育教學實踐心得來展開對提升公共數學教學質量、優化教學設計等問題的相關思考。

1數學認知結構的相關理論及其對優化教學設計的啟發

現代認知心理學研究告訴我們，學生學習數學的過程實際上是一個認知結構化的過程。這個過程中教師通過語言、書寫、圖示或實物模型等外部媒介的幫助學生把數學知識轉化成自己的數學認知結構，這是一個內外交互不斷打破并重建平衡且不斷建構的過程。

數學認知結構的良好構建除了有助于信息的存儲、記憶和操作外，還有促進理解的功能。正如美國教育心理學家布魯納（Bruner）所說：“獲得的知識如果沒有完美的結構把它聯在一起，那是一種多半會被遺忘的知識。一串不連貫的論據在記憶中僅有短促的可憐的壽命。”

1.1數學認知結構的形式

數學認知結構在形式上可以看作是由節點和聯線組成的復雜結構。其中，節點是認知結構的元素或對象，數學對象——如數學概念與性質等在心理上的表示形態就是心理表象，而聯線就是內部表象之間的聯系。認知結構中的聯線是認知理解的入口，是回憶知識的線索，又是指明節點“地址”的“指針”。一個節點上的聯線越多，表示它與更多的節點相聯系，并且表明進入這個節點的通路越多。這樣的認知結構，可以指一個小小的“微觀”的概念結構，也可以指“宏觀”的指針關系的結構，它如同一張動態平衡的思維地圖——各項知識各司其位，它們的相互關系錨定了各個節點（概念、性質或其組塊）的相對位置。

我們在教學中要引導學生注意建立并豐富節點之間的“聯線”，在知識點的差異性和相似性的辨別區分中去學習。比如，在多元函數積分學部分的教學中，我們可以按照線狀、面狀、體狀積分的分類方法設計教學；我們也可以按照“關于數量意義的——如具有物理質量總量背景的二重、三重、一類線、一類面”積分和“含有向量意義的——二類線、二類面”積分的方法設計教學；我們甚至還可以借助“形象”的形式化符號——“∫”，“∫∫”，“∫∫∫”來導入這部分內容。總之，我們的目的是引導學生在構建概念表象的基礎上建立更豐富的“聯線”，絕不能孤立地灌輸知識點。

1.2學生認知結構的主體差異

數學認知結構是在后天的學習活動中逐步形成和發展起來的，由于不同主體對知識內容的理解和組織方式不同，所以數學認知結構是有個體差異的，來到同一個課堂中的學生在長時記憶中存貯的“預備知識”其實是不同的。在課堂教學情景中，來自書本和教師講授的外部刺激必須首先進入工作記憶平臺才能進入長期記憶，鑒于工作記憶容量的有限性，學生只能是“有選擇地”在場。首先，教師要調整自己的心理預期，讓每位學生都在有限的45分鐘內“學得全會、聽的全懂”是不可能的，我們要注重豐富知識點之間的聯結通路，不能簡單割裂各個教學單元，要注重溫故知新式的教學；其次，教師要意識到有效的教學是幫助學生結構化知識——“漁”，而非知識內容——“魚”，并根據工作記憶“組塊擴容”的原理來優化教學策略。

2數學理解的心理本質、重要性以及如何促進數學理解

我們可以以量化的方式衡量數學知識的掌握程度，比如測驗成績等，但是，更重要的衡量指標首先應該是質的方面——在認知層面是否內化了所學的知識，按照建構主義心理學的觀點，是否完成了知識的同化與順應，即“駕馭”了所學知識。在心理學意義上，數學的掌握在于理解，而理解是為了數學知識的遷移。在學習心理學的研究中，理解分解為一系列水平的層次，如：了解、領會、掌握、熟練應用等等，這樣的分層目的是為了更高階意義的量化——在心理測量的層面科學地量化理解這個概念。而我們在本文中更注重指出對數學教育教學的有啟發作用的理解的基本內部心理機制。

2.1數學理解需要心理認知基礎

教育心理學家奧蘇貝爾是“有意義學習”的提出者，他認為學生具有有意義學習的心向，相較于機械學習，有意義學習是指符號所代表的新知識與學習者認知結構中已有的舊知識發生的交互作用，從而認知結構得以重新構建，新知識獲取了心理意義。在高等數學的教與學中，認知基礎非常重要，比如，微積分的教學需要函數知識基礎，而這個基礎的構建貫穿了幾乎整個初、高中階段，一旦這個知識結構存在重大缺陷，將會給大學數學的學習帶來極大的障礙。當然，如果我們的學生有相關的學習障礙時，教師恰好需要以教育心理學的相關理論為支撐切實幫助學生突破學習困難，比如，借助于信息化技術和工具——如數學軟件等將抽象的數學符號視覺化，充分發揮人類表象的形象化優勢來幫助學生突破學習瓶頸。

我們不能離開歷時性原則來孤立地談結構，歷時性（強調時間線，側重心理發展角度）和共時性原則（強調共時性結構，側重相互邏輯聯結）共存于認知結構中。在中學素質教育改革的背景下，面對一部分被刪減的且影響了新知識建構的中學數學知識，如極坐標、排列組合的基本計數原理等，我們需要結合教學進度將其有機地納入教學設計之中，在新舊知識聯結處給予學生重新構建的可能性。

2.2認知圖式的操作與數學理解

認知圖式是瑞士認知心理學家皮亞杰的核心概念，圖式是主體在與外部環境交互作用的過程中不斷發展建構的。皮亞杰提出了三種能力結構：動作圖式（感覺運動圖式）、符號圖式和運算圖式（1952，1977）。其中，符號圖式已經具有完備的心理表象并可以通過外部動作或行為外顯化，這種具有整體性的格式塔意義的符號圖式發展的關鍵期是1.5～7歲，當然，符號圖式具有明顯視覺化的特點。與數學教育密切相關的圖式是運算圖示，它具有邏輯性和可逆性，這是最早的算術運算的內部心理活動的基礎，根據皮亞杰的發展理論，7歲以后的兒童思維的主要特征已經是運算圖式了。

對發展至關重要的三個過程：同化、順應和平衡化。當主體根據現有的圖式或運算來知覺新的外部客體時，就發生了同化，主體傾向于使用任何可用的心理結構來同化新的外部事件。當必須修改現有的圖式或運算以便于解釋一種新的經驗時，就發生了順應。順應影響同化，反過來也一樣。平衡化是主要的發展過程，包括同化和順應。平衡化刻畫了主體從一個發展階段向另外一個發展階段的過渡。

2.3對促進數學理解的啟發

皮亞杰曾從哲學的角度指出，“每一個結構都是心理發生的結果，而心理發生就是從一個較初級的結構過渡到一個不那么初級的（或較為復雜的）結構”，數學理解正是在平衡——不平衡——再次建立平衡的循環往復的發展過程中不斷深化的，幫助學生在這樣的過程中實現了數學理解正是教學的根本任務。

由于新課標的實施，大一修習“微積分”的同學在中學里已經學過導數了，而中學的導數教學是從直觀的變化率意義下引入的，因此當他們來到大學學習導數這部分內容時，同化的心理機制雖然易于構建，但是，全面地把握在特定類型極限意義下的導數概念卻對他們帶來了干擾和理解上的困難，這里不平衡發生了，而順應過程并未重新構建。平衡-不平衡的心理發生機制對教師調整教學策略具有深刻的指導意義，布雷納德（1978）提出了沖突教學，他認為引發不平衡并使學生注意到其思維的沖突和不一致之處是重要的教學策略。

在這樣的平衡-不平衡的認知發展過程中，給教師提供了創設學生學習需求激發學習動機的絕佳時機，創設學習需要的教學智慧可以從微積分發展的歷史入手，向學生指出嚴密的導數概念的價值和意義，也可以結合“最近發展區”的教育理論優化重組教學次序，把同化作為順應產生的前設和基礎。總之，如果找不到知識結構重新構建的機會的話，學生現有的數學認知結構便無法得到改善和提高，正如我國教育家陶行知先生所說：“教師之為教，不在全盤授予，而在相機誘導。”事實上，數學學習大部分的過程是順應過程，這是數學難學的重要因素。

3數學教育教學中的情感支撐

在我國，這樣一個專題是相較于“智力因素”而提出的“非智力因素”，它包括情緒、意志、興趣、信念等心理因素，隨著認知心理學研究的深入，認為后者也涉及了智力，故改稱為“非認知因素”，數學教育心理理論將此類因素統稱為情感因素。我們所教學的對象，相較于中學階段，師生關系更加是平等的主體間關系，更加適用于“學生中心”的教育教學。

3.1“期待”的數學課堂與承載情緒情感的教學語言

無論教師還是學生，在走進教室的時候，對這樣一堂課心里是充滿期待還是不情愿甚至是排斥的，都將預示這是一次成功的教學還是失敗的教學。這一點，無關歸納和演繹的邏輯法則，也無關數學的認知知識結構，它僅僅關乎人的異化本質，即人類的基本聯結是愛，而愛的符號載體正是語言。心理學著名的“皮格馬利翁效應”表明，對教學對學生滿懷正面意義的期待是可以跨越智力因素的，它可以直接影響到數學教學的效果。美國哲學家杜威曾指出，“人類本質最深遠的驅策力就是希望具有重要性”，期待得到他人的認可和承認是人重要的天性。

語言不僅僅是信息符號的載體，也是情緒情感信息的載體，語言的感染力是課堂教學的重要技巧。當我們需要吸引學生的注意力、激發學生的學習熱情和興趣時，我們需要變換語調語速使用“飽含溫情的”或“慷慨激昂的”等富有情緒感染力的語言；當我們聚焦于結合板書演示解題的思路與推理細節時，需要使用“清晰的”理性的語言。刻意維持和鍛煉教學語言能力也是數學教師的基本功之一。

3.2數學學習態度的相關研究及其對教學的啟發

態度是主體對特定對象所持有的穩定的心理傾向。這種心理傾向蘊含著個體的主觀評價以及由此產生的行為傾向性。那么，數學學習態度即是學生對數學知識內容或數學教師等所持有的穩定的心理傾向，它具有主觀性和行為導向型。一些研究結果表明，學生的學習態度積極與否，與他們的學習效果或成績高低是正相關的，因此，我們要注意引導學生積極的數學學習態度，比如，向學生傳達“后天的努力”比“先天的智力”更重要的信息，因為認知心理學的相關研究表明智能是可變的，“人定勝天”正是人類主觀能動性的精神價值的表達，引導學生注重練習，數學的學科特殊性決定了后天不懈努力的重要性；再比如，通過數學課堂向學生傳遞“失敗并不可怕”的氛圍，鼓勵他們從錯誤中學習，“試錯-頓悟”也是人類發現和創造的重要途徑。

綜上所述，教育的本質是關于人的主體的教育，以符號性數學知識為載體的數學教育也不例外，只有我們的數學教育教學方法符合了人類認知發展的科學規律以及教育教學的一般理論，我們的數學教育教學工作才真正是立足于“立德樹人”的素質教育的踐行。

基金項目：該文系2019年北京理工大學珠海學院“金課”培育項目：高等數學（19012016）階段性成果

參考文獻

[1]李士锜，吳穎康.數學教學心理學[M].上海：華東師范大學出版社， 2011.

[2]M.P.德里斯科爾.學習心理學——面向教學的取向[M].王小明等，譯.上海：華東師范大學出版社，2006.

[3]張積家編.高等教育心理學[M].北京：高等教育出版社，2016.

[4]蘇曠德，余繼光編.基礎高等數學——中學數學內容補充與數學概念和思維方法簡介[M].北京：高等教育出版社，2015.

[5]丹尼爾.T.威林厄姆.為什么學生不喜歡上學[M].南京：江蘇教育出版社，2010.

[6]肯.貝恩.如何成為卓越的大學教師[M].北京：北京大學出版社，2014.

[7]黃興豐，龐雅麗，李士锜.數學課堂教師教學行為的繼承和發展——3節錄像課的比較研究[J].數學教育學報，2009，18（06）.