二次函數中考考點及解題方法

廖竹珍 劉熙 陳紹雄

【摘要】近年來，教育界對云南省各個地區會出現的有關二次函數的中考考點及解題方法的研究太過寬泛，而中學生的時間有限，如果想要掌握全部的二次函數考點，就顯得很困難.因此本文主要研究并歸納總結出云南省中考中二次函數的常考考點及解題方法，避免了題型的雜糅和繁多.但由于篇幅的限制，本文對于選擇題與填空題著重分析綜合考查二次函數性質的題，對于解答題著重分析面積最大值問題、和差倍分問題以及等腰三角形問題.

【關鍵詞】中學數學;二次函數;解題方法

【基金項目】2018 年云南師范大學大學生科研訓練基金項目（ky2018-100）

一、考點及解題方法

1.與一元二次方程聯系起來考查.

一元二次方程的根的情況和二次函數圖像與x軸的交點情況可以相互確定.當一元二次方程有兩個不同的實數根時，相對應的二次函數圖像與x軸的交點個數為2;當有兩個相同的實數根時，相對應二次函數圖像與x軸的交點個數為1;當無實數根時，相對應的二次函數圖像與x軸的交點個數為0.

2.二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的圖像與字母系數的關系.

①a，b，c符號判斷.

a：看圖像的開口方向，若圖像開口向上，則a>0;若圖像開口向下，則a<0;

b：看圖像的對稱軸，確定-b2a的符號，再根據a的符號確定b的符號;

c：看圖像與y軸的交點，若圖像交于y軸的正半軸，則c>0;若交于負半軸，則c<0.

②a，b，c都含有的代數式.

取x的特殊值代入解析式得相應函數值，再根據函數圖像上相應的點確定和a，b，c有關的代數式的符號.例如：a+b+c的符號由x=1時的函數值大小確定;a-b+c的符號由x=-1時的函數值大小確定.

③僅含有a與b或b與c或a與c的代數式.

含a與b的代數式：直接由對稱軸確定;

含b與c或a與c的代數式：結合含有a，b，c的代數式和只含有a，b的代數式進行簡單運算即可得出答案;

④b2-4ac的判斷：看圖像與x軸交點的個數;

⑤出現am2+bm：利用函數有最大或最小值進行判斷.

3.根據二次函數y=ax2+bx+c的圖像判斷函數的增減性.

當a>0時，在對稱軸的左側，即當x<-b2a時，y隨x的增大而減小;在對稱軸的右側，即當x>-b2a時，y隨x的增大而增大，簡記為左減右增;同理可得當a<0時函數的增減性.

4.求函數的解析式.

用待定系數法求二次函數的解析式：

①已知圖像上三個點的坐標，通常選擇一般式y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）;②已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式y=a（x-h）2+k（a，h，k是常數，a≠0）;③已知圖像與x軸的交點橫坐標x1，x2，通常選擇交點式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.

5.求頂點坐標.

方法一：將二次函數化為頂點式y=a（x-h）2+k（a，h，k是常數，a≠0），則頂點為（h，k）.方法二：利用頂點坐標公式-b2a，4ac-b24a直接求解.

6.面積的最大值問題.

方法：三角形面積的最大值：①當一邊固定兩邊動時，先利用兩點間的距離公式 （x1-x2）2+（y1-y2）2求出定線段的長度，然后求出動點到該定直線的最大距離，最后利用三角形的面積公式即可求出三角形面積的最大值.②當三邊均動時，先把動三角形割或補成幾個易求面積的圖形，進而可表示出動三角形的面積為一個二次函數關系式，問題即可解決.

四邊形（由一個動點和三個定點構成）面積的最大值：把動四邊形分割成兩個易求面積的圖形之和，然后使構成四邊形的各個圖形的面積之和達到最大，此時四邊形的面積就最大.

7.兩個圖形面積之間存在和差倍分的問題.

先把動點坐標用一個字母表示，再計算出圖形的面積，然后根據題意建立兩個圖形面積關系的一個方程，最后求解.

8.對于等腰三角形問題.

方法一：先借助圖像的解析式，用一個字母表示出動點的坐標，利用兩點間的距離公式，再根據兩腰相等建立方程，解出此方程，即可求出動點的坐標，注意去掉不能構成三角形的點.

方法二：當已知邊為等腰三角形的底邊時，利用線段的中垂線的性質，作出已知線段的中垂線，求出中垂線的方程，則所求點為中垂線與動點所在曲線或直線的交點;當已知邊為等腰三角形的腰時，分別以已知線段的兩個端點為圓心、已知線段長為半徑畫圓，則圓與所求點所在圖形的交點即為所求點，最后根據幾何關系及二次函數的對稱性，得到點的對稱性，進而求解得出點的坐標.

例1 （2013云南昭通第9題3分）已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖所示，則下列結論中正確的是（? ）.

A.a>0

B.3是方程ax2+bx+c=0的一個根

C.a+b+c=0

D.當x<1時，y隨x的增大而減小

分析 此題考查了二次函數與一元二次方程的關系;二次函數圖像與字母系數的關系;函數的增減性.圖像開口向下，a<0，故A選項錯誤.圖像與x軸有兩個交點，則方程存在兩個不同的根，由對稱性得-1，3是方程的根，故B選項正確.x=1時，函數值為a+b+c，由圖像知點（1，a+b+c）在x軸上方，所以a+b+c>0，故C選項錯誤.由圖像知，當x<1時，y隨x的增大而增大，故D選項錯誤.故選B.

在選擇題和填空題中還會單獨考查二次函數的其中一種性質，可以利用上述方法進行解答.除了會考查上述考點外，還會考查二次函數的最值問題、利用二次函數求未知量的關系式等，同學們可適當練習相關題目，熟悉解題思路，總結其他方法，進而提高解題能力.

二次函數以解答題的形式出現時，在第一問一般主要考查二次函數的解析式、某些點的坐標以及直線的解析式等;在后面幾問主要考查圖形（包括三角形、四邊形等）的面積的最值、圖形面積的和差倍分問題、等腰三角形問題等.

例2 如圖2所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx-3（a≠0）與x軸交于A（-2，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式.

（2）點P從點A出發，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向點B運動，同時點Q從點B出發，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向點C運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動.問：當△PBQ存在時，運動多少秒時，△PBQ的面積最大？最大面積是多少？

解 （1）把點A（-2，0），B（4，0）分別代入y=ax2+bx-3（a≠0），得

4a-2b-3=0，16a+4b-3=0，

解得a=38，b=-34，所以拋物線的解析式為y=38x2-34x-3.

（2）設運動時間為t秒，則AP=3t，BQ=t，∴PB=6-3t.由題知，點C的坐標為（0，-3）.

在Rt△OBC中，由勾股定理得BC= 32+42=5.如圖2，過點Q作QH⊥AB于點H，則QH∥OC，∴△HBQ∽△OBC，∴HQOC=BQBC，即HQ3=t5，∴HQ=35t.

根據三角形的面積公式得：

S△PBQ=12PB·HQ=12（6-3t）·35t=-910t2+95t=-910（t-1）2+910.

當△PBQ存在時，0

解答題中除了會考查上述類型外，還會考查拋物線上的動點與定點是否構成直角三角形、等腰直角三角形、平行四邊形等，是否存在相似三角形，題中給出圖形面積的定值求相關點的坐標或線段長等，題目綜合性強，難度大.同學們應注重基礎知識、基本技能的掌握，基本思想的感悟、基本做題經驗的積累，掌握多方面的知識、技能和方法，以高效解決問題.

二、學習建議

學生學習二次函數的過程中，首先應該掌握二次函數的基礎知識（如定義、性質等），在做題過程中注意積累解題方法和技巧;其次，在考試中學會把未知問題轉化為已知會求解的問題，充分利用二次函數的圖像及其性質求解，同時在做題過程中要學會利用條件以及注意細節，減少不必要的失誤;最后，收集二次函數的錯題并整理成冊，每個月留出時間溫故.

【參考文獻】

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