從核心素養的視角淺論高中生數學運算能力培養

羅慧怡

【摘要】數學運算是數學核心素養的重要組成部分，在高考改革的大趨勢下，對數學核心素養的要求越發明顯，而提升數學運算能力更是提高數學綜合水平的重中之重.

【關鍵詞】數學核心素養;數學運算能力;培養方法

《普通高中數學課程標準（2017年版）》中明確指出，“數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養”.主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果，等等.培養學生的數學運算能力應從以下幾個方面入手.

一、夯實學生基本功

1.關注“四基”“四能”.縱觀新高考改革以來的高考試題，那些看上去困難或新穎的問題，往往需要學生發掘問題的內涵，尋找使用基本概念和基本計算方法的切入點.因此，在日常的教學中，教師應指導學生深刻理解數學基本概念的本質和內涵，引導學生從不同的角度體會數學的基本思想方法，把握基本解題方法的邏輯順序和基本步驟，養成使用教材上的基本思想和方法解決問題的習慣.例如，2018年上海秋季高考中的第11題：已知常數a>0，函數f（x）=2x2x+ax的圖像經過點Pp，65，Qq，-15.若2p+q=36pq，則a=.該題看似復雜，實則只需將兩點代入函數解析式，取倒數后再進行化簡計算即可.過程如下：

65=2p2p+ap，- 15=2q2q+aq56=2p+ap2p，-5=2q+aq2q-16=ap2p，-6=aq2q

1=a2pq2p+qa=6.

該題的解答完全源于基本方法的運用，并不需要太多的特殊技巧和方法，學生只需掌握常規計算方法即可完成.

2.關注運算與推理相結合，重視運算過程的合理性.學生在解題時往往不太重視推理過程對運算的重要性，在各種公式和方法、運算法則的使用上十分盲目.所以，教師在教學過程中應重視培養學生對問題進行符合邏輯的聯想，讓學生養成用理論指導計算的解題習慣，讓學生學會遵循基本的推理過程，掌握基本的運算順序和運算規律.

只有真正把握問題的內在算理，才能提高解題的合理性和準確性.例如，2019年上海秋季高考中的第17題：如圖1，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，M為BB1上一點，已知BM=2，CD=3，AD=4，AA1=5. （1）求直線A1C與平面ABCD的夾角;（2）求點A到平面A1MC的距離.學生如果選擇使用空間向量的方法，那么運算的邏輯順序就應是先將各點及向量的坐標計算清楚，才能做后續的運算，而（2）題則是在（1）題坐標計算正確的前提下繼續運用法向量和距離公式進行計算.學生如果選擇幾何法，那么運算的邏輯順序就應轉換為等積變換的思想方法，在運算過程中，要特別關注解斜三角形問題中三角形面積的求解，只有正確把握該題的內在邏輯，準確完成各個運算環節，才能完整無誤地解決該題.然而，想要得證這些就需要教師在平時的練習中培養學生正確的邏輯推理，以及遵循正確的計算順序.

3.關注教材中的重點內容及其相應的運算方法.教師在定理、公式、法則及重要結論的推導和應用過程中，要重點示范、講清算理算法;在進行各種運算與定理公式推導應用時，要盡量詳細規范板演;直接應用公式、定理解題時，要多讓不同層次的學生在黑板上板演或展示各種解法，通過比較算理的合理性，算法的簡捷性，過程的規范性，促進學生形成各種運算技能.例如，在橢圓標準方程的推導過程中，教師應強調從橢圓的定義出發，對距離公式進行化簡，從而進行消元，并引入參數b，令b2=a2-c2，從而使化簡好的方程形式更加簡潔和美觀.

4.關注審題能力的培養.教師在指導學生解決問題時，應及早確定運算目標，并在運算求解過程中及時調整運算方向.弄清條件是解題的前提，一般可分為：一級條件（原始條件）、二級條件（變形條件）、三級條件（隱含條件）.

5.關注運算速度，強化限時訓練.強化限時訓練對提升運算速度十分重要，教師首先應精選練習，要根據不同層次的學生特點，選擇運算量適度的習題，兼顧幾種解法，以便于不同層次的學生都能有所提升，在評講時也可提供多種運算途徑供學生選擇.

6.關注簡化運算，提高解題效率.

（1）熟記一些常見的運算結論和推理結果是提升解題效率的重要方法和手段.學生可以根據現有結論探尋解題思路，從而進一步簡化運算過程，提高運算結果的準確性.例如，正四面體的體積公式、焦半徑公式、弦長公式，以及各種三角公式等.

（2）在各類運算相關問題中，解析幾何題的運算是學生尤為頭疼的，教師需要教會學生簡化運算的基本方法.例如，恰當建系、巧妙設元、回歸定義、設而不求、數形結合、整體代換、數式化簡、特殊引路、特征分析（定量、定性）、直覺判斷、合情推理……

例如，2019年上海春季高考中的第20題：已知拋物線方程y2=4x，F為焦點，P為拋物線準線上一點，Q為線段PF與拋物線的交點，定義：d（P）=|PF||FQ|.（1）當P-1，-83時，求d（P）;（2）證明：存在常數a，使得2d（P）=|PF|+a;（3）P1，P2，P3為拋物線準線上三點，且|P1P2|=|P2P3|，判斷d（P1）+d（P3）與2d（P2）的關系.該題如果不進行深入閱讀尋找合理運算方法，多數學生會給出如下解答：

（1）因為kPF=43y=43x-1，聯立方程組y=43（x-1），y2=4xxQ=14， 則|PF|=103，QF=54d（P）=83.

（2）當P（-1，0）時，易得a=2d（P）-|PF|=2.

不妨設P（-1，yP），yP>0，直線PF：x=my+1，

則myP=-2，

聯立x=my+1，y2=4x，得y2-4my-4=0，

yQ=4m+（4m）2+162=2m+2m2+1，

2d（P）-|PF|=2yPyQ-1+m2yP=2×-2m2m+2m2+1+21+m2m=2.

（3）設P1-1，y1，P2-1，

y2，P3-1，y3，則

2dP1+dP3-4dP2=P1F+P3F-2P2F=y21+4+y23+4-2y22+4

=y21+4+y23+4-y1+y32+16.

因為（y21+4+y23+4）2-[（y1+y3）2+16]=2y21+4·y23+4-2y1y2-8，

又因為（y21+4）（y23+4）-（y1y3+4）2>0，

所以d（P1）+d（P3）>2d（P2）.

然而，事實上，學生若能在第二問中發現拋物線定義的應用，即可將問題轉化為直角三角比：

如圖3，設∠PFM=θ，則d（P）=|PF||QF|=|QF|+|PQ||QF|=1+1cos θ，

且|PF|=2cos θ，

則有2d（P）=2+2cos θ=|PF|+aa=2.使用數形結合的方法，立刻將原本復雜的計算變得簡單了許多.而第三問的求解如果能有效利用第二問的結論，運算效果會事半功倍.

因為dP1+dP3=2+1cos θ1+1cos θ3=2+P1F2+P3F2，

且由第二問結論可得2dP2=2+P2F，

可得dP1+dP3-2dP2=P1F+P3F2-P2F=P1F+P3F-2P2F2.

由于P2為P1P3的中點，如圖4，延長FP2至M使MP2=FP2，可構成MP3FP1.

顯然：

dP1+dP3-2dP2=P1F+MP1-MF2>0，

即dP1+dP3>2dP2.

由此可見，若學生可以通過認真審題歸納運算原理，發現運算規律，往往會收到意想不到的效果.

二、加強學法指導，培養學生自我糾錯的能力

1.指導學生精讀教材，對于教材中出現過的基本運算方法和運算技巧要重點關注，包括教材中的例題、圖示，乃至課后閱讀材料、書本邊角注釋等都要仔細推敲.在閱讀教材時，教師要指導學生學會思考，體會編者的目的.例如，滬教版中推導等差數列的求和公式中使用了倒序相加的方法，教師在指導學生解決數列中倒序相加法的問題時，應告知該方法的出處，引導學生重溫教材，加深記憶.

2.指導學生每周進行錯題匯總，尋找知識掌握的薄弱環節，找到錯誤的本源，并及時加以糾正.隨著信息技術的逐步深入，例如，智學網、極課大數據、釘釘等App的使用，不僅有效地幫助教師進行分析和統計，也為學生帶來了很多的幫助，為學生的錯題整理帶來了很多的便捷.

三、重視知能結合，關注習題課的教學

1.數學運算能力的訓練貫串在數學教學全過程之中，需要通過有效的訓練促進知識向能力的轉化.常規教學往往喜歡重復題型，通過題組訓練來促進學生模仿并強化記憶，對此，我認為教師應調整思路，不能單純地進行重復訓練，而應以問題為載體，努力培養學生的數學思維，進而提升其運用數學思想方法的能力.

2.數學運算訓練要力求扎實、牢固.教師在選擇例題和習題時，應關注學生的實際情況，“度”的掌握是習題選擇的關鍵所在，要讓每一名學生都能在習題課上有存在感和獲得感，讓學生“跳一跳，夠得到”.

3.運算規范化的訓練尤為重要，運算規范化主要包含以下幾個方面：運算思想規范化、運算方法規范化，解題過程規范化、數學語言表達規范化.具體來說，教師應抓好以下幾點：

（1）要求學生能清晰表述運算思想.

（2）要求學生能詳細給出解題過程.

（3）要求學生規范化地進行數學字母和數學符號的書寫.

（4）要求學生在運算推理過程中學會用文字解釋運算步驟.

核心素養教育是我國教育改革中的一項重要舉措，數學運算能力作為數學核心素養的重要組成部分，如果在高中階段得到有效培養和鍛煉，對學生的后續學習會有很大幫助，更為日后學習專業性學科知識打下基礎.

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