厘清算理，提高運算能力

袁玉玲

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。本期，我們從算理與算法的關系、運算素養的培養等視角，探討如何培養學生的運算能力。

數學運算能力是學生需要掌握的基本能力，如何提高學生的運算能力呢？筆者以北師大版三年級上冊《螞蟻做操》所解決的兩、三位數乘一位數（不進位）的計算為例，談談如何以教學內容為載體，以探究算理、算法為抓手，促進學生正確、合理、靈活地進行運算，提高運算能力。

一、數形結合，感知算理與算法

哲學家康德認為，無論一種知識以什么方式以及通過什么手段與對象發生關系，它與對象直接發生關系所憑借的以及用一切思維當作手段所追求的，就是直觀。直觀教學在小學數學運算能力培養中具有重要作用。

師：如下圖，螞蟻排著整齊的隊形正在做操，你能從圖中發現哪些數學信息？

生1：每行有12只螞蟻，有4行。

師：你還想從中知道些什么呢？

生2：我想知道一共有多少只螞蟻。

師：請在草稿本上列出算式，并想一想為什么這樣列。

生3：我列的算式是12×4，應該理解為4個12或12個4。

師：你準備怎樣計算？能想到哪些方法？

計算以全開放的狀態開展，學生先后采用了口算法、列表法、圈實物圖法、畫點子圖法。當學生說：“我用的是點子圖”，筆者立刻追問：“你打算將點子怎樣排列？為什么這樣排列？”學生打算每行12個，排成4行，因為這樣排列，和螞蟻做操的隊形一樣。緊接著，筆者話鋒一轉：“大家就利用點子圖來圈一圈吧，看看你又能想到哪些不同方法呢？”在反饋環節中，學生先后用到了拆數法中的“破十法”，每行12個拆為10和2[如圖（1）];平均分法，即每行12個平均分成2份或者每列2個平均分成2份[如圖（2）、圖（3）]。

筆者通過三個層級的數形結合，使學生從中感知算理與算法。第一層級：實物圖直觀模型呈現。學生通過直觀圖構建“12×4”的乘法算式模型，計算時，學生借助圈實物圖的方式來進行。第二層級：將實物圖抽象為點子圖直觀模型。當學生分享到點子圖時，一個即時追問，只為給學生留白，使學生主動從生活實物圖中抽象出數學圖形，此刻，筆者不是把點子圖呈現在學生眼前，而是繼續追問“你打算將點子怎樣排列？為什么這樣排列？”這樣做不僅為學生搭建了思考與想象的平臺，而且使學生合理抽象出點子圖直觀模型，帶給學生運用一一對應的數學思想設計點子圖行數和列數的時機。第三層級：圈點子圖直觀模型進行計算。學生借助“圈”這一操作，說清了算式中每一個數的來源和實際意義。整個過程讓學生充分經歷、體驗了解決“數”的問題，“形”功不可沒，從而形象、便捷地感知算理與算法。

二、比較內化，領悟算理與算法

教育家烏申斯基認為，比較是一切理解和思維的基礎，我們正是通過比較來了解世界上的一切的。在這節課中，“比較”遍及教學前、中、后各個階段，以此幫助學生領悟算理與算法。

1.在直觀模型中比較

學生利用點子圖直觀模型，通過破十法和平均分法得到了以下三種算法：10×4=40，2×4=8，40+8=48;6×4=24，24×2=48;12×2=24，24×2=48。筆者沒有就此止步，而是接著問：“請仔細觀察圖中這幾種圈法和算式，你能從中發現什么？”學生借助圖和式的比較得到，無論是破十法，還是平均分法，從形的視角來看，它們都是化一個整體為幾個部分;從數的角度來說，都是化大為小。停頓片刻， 筆者繼續問：“在這幾種分法中，你更喜歡哪一種？為什么？”學生認為，用拆數法把12拆成10和2更為簡單，筆者緊追不舍：“簡單在哪兒？”學生認為，10是一個整十數，10×4的得數40也是整十數，這樣非常好算。學生通過所圈圖形經歷說理、列式、計算、比較等過程，對兩位數乘一位數的算理和算法有了初步感知，為探究豎式計算法設下伏筆。

2.在豎式探究中比較

師：12×4你們列出了豎式的起始部分，接下來怎樣計算呢？

生1：先用4乘個位上的2得8， 8要寫在個位上。

師：為什么寫在個位？

生2：因為2表示2個一，4表示4個一，它們相乘得8個一。

師：下一步該算什么？

生3：4乘十位上的1得4，因為這里的1表示1個十，所以得數是40，4寫在十位，0寫在個位，和8對齊， 40寫在8的下面，再把積相加。

師：為什么把兩次的積相加？

生4：因為把乘數12拆成了10和2兩部分，乘數4只與個位上的2相乘后沒有算完，還要與十位上的1相乘，最后再把這兩部分積相加。

在這一環節中，教師只是一個引導者，學生不僅知道了怎樣算、怎樣寫，而且把為什么這樣算、這樣寫說得一清二楚，這和以前將數位與計數單位的比較密不可分，和本節課中對數形結合、圈圖方法的比較息息相關。

3.在多種算法中比較

學生一共分享了4種計算方法，筆者以學生分享的先后順序集中展示，如下圖從左至右所示。

然后，筆者將“你能從這些算法中領悟到什么？”這個問題拋給學生。在反饋過程中，學生領悟到這4種方法雖然呈現形式不同，計算順序不同，口算法、列表法、點子圖法，都是從高位算起，而豎式法是從低位算起，但彼此之間的計算道理和方法相同。

借此比較之機，筆者以新學的豎式計算為中心，重排順序，師生共畫思維導圖，如下圖所示。

上述思維導圖不僅使學生借助其他方法厘清了豎式法中每一步的算理與算法，而且通過追問“以后計算時，你可能會首選什么方法？為什么？”引導學生再次比較各種方法，將運算思維向更抽象、更簡潔的臺階邁進，使新舊知識、數學思想與方法形成有效對接。歷經三輪比較，使學生對算理與算法有了更深刻的領悟。

三、類比遷移，根植算理與算法

數學家開普勒曾指出：“我重視類比勝過任何別的東西，它是我最信賴的老師，它能揭示自然界的秘密。”在整個課堂里，筆者共為學生創造了三次類比解決問題的時機。

1.第一次類比：你心目中乘法豎式的模樣

“怎樣算12×4？你還有其他不同的方法嗎？”個別學生在最后提到了豎式法，筆者問學生怎么想到的，學生認為加減法都有豎式法，猜想乘法是不是也可以用豎式法來計算。筆者即刻統計哪些學生聽說過或者見到過。接下來筆者說：“沒見過的同學想一想，你心目中的乘法豎式是什么樣？在草稿紙上試著寫一寫，見過的同學請把這個豎式在草稿本上寫下來。”同時，請一名沒見過的學生板演，他寫出了豎式中的起始抄題部分，筆者問他為什么這樣寫，學生說：“我覺得和前面的加減法豎式一樣，只是符號不同，這里是乘號。”通過這次類比，為學生托起了想象的翅膀。

2.第二次類比：為什么先從低位乘起

筆者設問：“在豎式計算過程中，我們剛才是先算的4乘2，后算的4乘10，為什么這樣算？”學生回答：“如果先算了高位，算低位時會出現向高位進位或借位的情況，高位還要再算，這樣很麻煩，所以從低位算起更簡單。”通過與前期加減法豎式計算進行類比探究，學生都知道要從個位算起，部分學生知道從個位算起簡單一些，少數學生知道從個位算起為什么簡單。

3.第三次類比：三位數乘一位數

三位數乘一位數，首先讓學生用自己喜歡的方法獨立計算，然后分享時自然而然地類比遷移，說清楚每一步的意思。

三次類比，將算理與算法根植在學生心底，可謂水到渠成。

對于小學低年級學生來說，厘清算理與算法，并不是要求他們知道算理與算法概念的內涵，而是指教師在具體的運算教學過程中，要結合具體實例，運用數形結合、比較內化和類比遷移等數學思想與方法，讓學生知道為什么要這樣算以及如何算，厘清“為什么”以及“如何做”的關鍵性問題，才能掃除運算教學中存在的根本性問題，從而全面提高學生的數學運算能力。

（作者單位：宜昌市秭歸縣實驗小學）

責任編輯 張敏