讀懂題干條件 巧解反比例函數(shù)幾何題

查正權(quán)

摘 要 縱觀2019年江蘇省宿遷、鎮(zhèn)江、徐州三市中考函數(shù)真題，對于函數(shù)知識點的考察往往結(jié)合幾何問題進(jìn)行，以考察學(xué)生對于函數(shù)、幾何圖形等相關(guān)知識點的靈活掌握程度。此類題型涉及知識點數(shù)量多、變化形式多樣，學(xué)生往往很難把握知識點在不同考點中的準(zhǔn)確運用。因此，教師在相關(guān)教學(xué)時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生剖析題干條件，便于學(xué)生準(zhǔn)確把握題意，靈活運用知識點快速解題。

關(guān)鍵詞 初中數(shù)學(xué) 中考 題干條件 反比例函數(shù) 快速解題

一、中考試卷中的反比例函數(shù)

在初等數(shù)學(xué)中，函數(shù)問題種類多，計算量大，一直以來既是初中數(shù)學(xué)的重要知識點之一[1]，也是初、高中數(shù)學(xué)的重要銜接點之一，是高中解析幾何的重要基礎(chǔ)[2]。因此，初中數(shù)學(xué)考試命題對于函數(shù)知識點的考察也相對較多、較頻繁。在眾多的考題尤其是中考數(shù)學(xué)真題中，為了增加函數(shù)問題的難度，往往重點考察反比例函數(shù)問題，其與幾何問題的結(jié)合，旨在考察學(xué)生運用幾何或代數(shù)方法解決復(fù)雜問題的能力[3]。這一類問題稍加難度，就可以成為中考數(shù)學(xué)題中的壓軸題。很多學(xué)生雖然能夠熟練掌握函數(shù)特點與幾何特征，但是對此類復(fù)合型問題往往很難找到解決問題的突破口，或是嘗試了錯誤的思路，浪費了中考解題時間。筆者以江蘇三市中考數(shù)學(xué)試題中反比例函數(shù)與幾何結(jié)合類型題為例，研究題型題干，挖掘題干中的隱含信息，幫助學(xué)生快速找到解題突破口，提高解題效率。

二、函數(shù)題干中的隱含信息

反比例函數(shù)兼具了有趣的幾何特征和代數(shù)特征[4]。幾何特征即為反比例函數(shù)的原點對稱性，代數(shù)特征即為反比例函數(shù)上的任意一點橫縱坐標(biāo)乘積為定值。中考對反比例函數(shù)特性的考察往往就是考察它的幾何性與代數(shù)性兩個知識點。當(dāng)反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合時，產(chǎn)生的題型較為多樣，如反比例函數(shù)與三角形的結(jié)合、反比例函數(shù)與四邊形的結(jié)合、反比例函數(shù)與圓的結(jié)合等。不同的幾何圖形暗含的性質(zhì)、條件不同，如三角形的幾何性質(zhì)包括內(nèi)角和為180°、全等或相似三角形等，代數(shù)性質(zhì)包括直角三角形的勾股定理、任意兩邊和大于第三邊等。四邊形本質(zhì)上可以轉(zhuǎn)化為三角形問題。中考對圓形的幾何性質(zhì)考察不多，考察較多的是圓形的代數(shù)性質(zhì)，如同一圓內(nèi)半徑相等、直徑是圓內(nèi)最長的線段等。這類題往往會在題干中附加一些其他條件，增加條件的限定性。這些題干中的附加條件常常就是確定究竟采用偏代數(shù)方法還是偏幾何方法解題的關(guān)鍵。

一般情況下，若題干中給出的附加條件是偏向于幾何性質(zhì)的條件，那么解題關(guān)鍵一般在于利用幾何方法;若題干中給出的附件條件更偏向于代數(shù)性質(zhì)，那么解題關(guān)鍵則在于代數(shù)方法。這里所說的偏幾何性質(zhì)的條件，是指基本不涉及具體數(shù)值或計算的條件，如角平分線、中點、平行線、全等或相似三角形等;偏代數(shù)性質(zhì)的條件，是指很大程度上利用數(shù)值、坐標(biāo)、函數(shù)、等式進(jìn)行計算的條件，如直角三角形中常用的勾股定理、函數(shù)方程等。考生可在分析題干條件的性質(zhì)后，決定是優(yōu)先采用諸如構(gòu)造全等或相似三角形、運用三角形中位線、中線、角平分線定理尋找等式關(guān)系等幾何解法，還是優(yōu)先采用設(shè)坐標(biāo)、未知數(shù)、運用勾股定理尋找方程關(guān)系等代數(shù)解法。筆者以2018年江蘇省鎮(zhèn)江市中考真題、2019年江蘇省揚州市中考真題和2019年江蘇省徐州市中考真題為例，剖析此類型考題的解法。

三、中考函數(shù)幾何真題解析

（一）2018年江蘇省鎮(zhèn)江市中考真題——反比例函數(shù)與圓的結(jié)合

2.分析。通過審題，提取題干中的已知條件：①函數(shù)條件，確定的一次函數(shù)，不確定的反比例函數(shù);②幾何條件，確定的圓;③附加條件，Q是AP的中點，OQ長的最大值。此類題型應(yīng)重點關(guān)注附加條件。題的附加條件圍繞點Q展開：一是說明了Q是AP的中點;二是說明了OQ長度的最大值。這兩條附加條件看似一個偏向幾何性質(zhì)，一個偏向代數(shù)性質(zhì)，實際上都是對點Q的條件說明。“OQ長度的最大取值”是基于“Q是AP的中點”條件之上，因此，該題附加條件實則重點為“Q是AP的中點”這一幾何性質(zhì)。考生在解題過程中應(yīng)優(yōu)先考慮幾何解題方法。前文中對反比例函數(shù)的幾何性質(zhì)、代數(shù)性質(zhì)已有說明。由反比例函數(shù)的對稱性可知，點O為線段AB的中點，加之點Q是線段AP的中點，兩個中點、一個三角形，勢必想到連接點B、P，運用三角形中位線定理，該題即可迎刃而解。

2.分析。通過審題，提取題干中的已知條件：①函數(shù)條件，確定的反比例函數(shù);②幾何條件，不確定的三角形;③附加條件，兩條外角平分線。重點看附加條件：兩條外角平分線，偏幾何性質(zhì)，優(yōu)先考慮利用幾何方法解題。一般而言，角平分線這樣的條件具備強(qiáng)烈的構(gòu)造相似或全等三角形的暗示。因此，此題優(yōu)先考慮通過輔助線構(gòu)造全等或相似三角形作為解題突破口。

結(jié)語

在中考數(shù)學(xué)題中，對反比例函數(shù)的考察往往會結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)。關(guān)鍵考察考生對反比例函數(shù)性質(zhì)、幾何圖形性質(zhì)的深入理解與靈活運用。考生若能分清何時可利用題干條件中包含的幾何性質(zhì)，何時借助輔助線，何時可利用題干條件中包含的代數(shù)性質(zhì)解題，并能靈活運用幾何圖形條件中包含的幾何性質(zhì)與代數(shù)性質(zhì)，則可大大提高解題速度和準(zhǔn)確率。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]李德強(qiáng).關(guān)于初中數(shù)學(xué)函數(shù)高效復(fù)習(xí)的策略研究[J].新課程學(xué)習(xí)（上），2013（12）：69.

[2]鄧勤.新課程背景下初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的有效銜接：從函數(shù)概念的教學(xué)談起[J].數(shù)學(xué)通報，2011，50（2）：33.

[3]付燕敏.求解中考函數(shù)與幾何圖形結(jié)合的試題[J].理科考試研究，2017，24（2）：1.

[4]劉超.例析反比例函數(shù)與幾何圖形交匯的中考題[J].中學(xué)生數(shù)理化（嘗試創(chuàng)新版），2014（6）：14.

（責(zé)任編輯：趙曉梅）