巧用“轉化” 一招制勝

文李愛民

所謂“轉化”，就是將一個問題的解決轉向另一個問題的解決，以達到化生疏為熟悉，化復雜為簡單，化抽象為直觀的目的的數學方法。初中階段，我們就借助轉化的思想方法學習了不同類型方程的解法。首先，我們利用等式的性質歸納出一元一次方程的解法；接著，通過消元將解二元一次方程組轉化為解一元一次方程，通過降次將解一元二次方程轉化為解一元一次方程，通過去分母將解分式方程轉化為解整式方程。下面，老師再舉一些例子，讓同學們感受“轉化”在方程和不等式中的應用。

一、通過“換元”實現轉化

例1若（a2+b2）2-2（a2+b2）-3=0，則代數式a2+b2的值為（ ）。

【分析】將a2+b2看成整體，通過換元可以將原方程轉化為一元二次方程求解。

解：設a2+b2=x，則原方程變形為x2-2x-3=0，解得x1=3，x2=-1。因為a2+b2≥0，即x≥0，所以x=3，所以a2+b2=3，所以答案為D。

【點評】本題考查用換元法解一元二次方程，解題的關鍵是能想到將a2+b2整體設元，同時還要注意a2+b2的取值范圍。

二、通過“數形結合”實現轉化

1.以形助數。

圖1

【分析】已知點A、B，可以用待定系數法求出兩個函數的表達式，這樣就可以得到一個明確的不等式，但求解過程比較復雜。仔細觀察，不難發現：解不等式實際上是比較兩個函數的大小，借助圖像可以簡單直觀地得到答案。

解：因為兩個函數相交于點A、B，所以當x=-2 和x=1 時，兩個函數值相等。因為反比例函數的自變量x≠0，所以比較兩個函數的大小關系可以將自變量x分成4 個部分，分別是：x＜-2、-2＜x＜0、0＜x＜1、x＞1。觀察函數圖像，不難發現當x＜-2 或0＜x＜1 時，一次函數圖像在反比例函數圖像上方，即kx+b＞所以本題的答案為D。

【點評】本題以數的形式出示問題，表面是解不等式，但發現直接求解比較困難。因此，我們可以借助函數的背景，從形的角度入手，將其轉化成比較兩個函數大小的問題。函數與方程、不等式有著密切的關系，當出現以函數為背景的方程、不等式問題時，往往可以借助函數圖像解決。

2.以數解形。

例3若關于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0 有兩個不相等的實數根，則一次函數y=kx+b 的大致圖像可能是（ ）。

【分析】由根的判別式可以求出kb的范圍，再結合一次函數圖像與k、b 的關系可以確定出大致的圖像。

解：因為一元二次方程x2-2x+kb+1=0 有兩個不相等的實數根，所以根的判別式Δ＞0，所以4-4（kb+1）＞0，解不等式得kb＜0，所以k 與b 異號，即k＞0，b＜0或k＜0，b＞0。當k＞0，b＜0時，一次函數的圖像經過一、三、四象限；當k＜0，b＞0 時，一次函數的圖像經過一、二、四象限，所以選B。

【點評】本題求一次函數的圖像，是形的問題，但一次函數的圖像由k、b 決定，必須依靠數的計算，所以轉化為解不等式的問題。

三、通過“分類討論”實現轉化

例4若關于x的方程（a-1）x2+3x-2=0有實數根，求a的取值范圍。

【分析】因為二次項系數（a-1）不確定，所以方程的類型不確定。先對（a-1）進行討論，確定是何種方程，再分別求解。

【點評】本題主要考查分類討論思想。通過對二次項系數的討論，我們將原方程轉化為一元一次方程和一元二次方程，達到化含糊為清晰的效果，能有效考查思維的嚴密性。

四、通過“構造”實現轉化

例5若實數a≠b，且a、b分別滿足a2-8a+5=0，b2-8b+5=0，求 代 數 式a2b+ab2的值。

【分析】我們觀察兩個等式中系數的特點，發現可以構造出一元二次方程，再借助根與系數的關系求出代數式的值。

解：因為a、b分別滿足a2-8a+5=0，b2-8b+5=0，并且a≠b，所以a、b可以看成方程x2-8x+5=0 的兩個不相等的實數根，所以a+b=8，ab=5，所以a2b+ab2=ab（a+b）=5×8=40。

【點評】我們如果“暴力”解出a、b的值，再求解代數式的值，會發現解題過程比較復雜，而且計算量大，容易出錯。通過逆用根的意義構造一元二次方程，能巧妙地將問題轉化，達到化繁為簡的效果。

方程和不等式是“數與代數”的核心內容，是刻畫現實世界數量關系的有效模型，是解決其他數學問題的重要工具。所以同學們要掌握方程和不等式的基本概念、性質、解法、應用，更要能感悟其中隱藏的“轉化”的思想方法，并善于將這種方法遷移到其他知識的學習中，這將對我們的學習有很大幫助。