在數學建模中提升學生的學習力

段景紅

[摘要]數學知識是一個個的數學模型。在小學數學教學中，教師要培養學生的數學建模意識，提升學生的數學建模能力，提高學生的數學模型應用水平。教師通過原型啟發、模型創造及模型應用，激發學生的數學建模內在需求，培養學生的數學建模意識，提升學生的數學建模能力，培養學生的數學建模素養。

[關鍵詞]小學數學；建模意識；學習力

東北師范大學史寧中教授認為，學生的數學核心素養有三：抽象、推理和建模。所謂數學建模，是指學生對現實問題進行數學抽象，并用數學語言表達問題，用數學思想方法解決問題的過程。數學知識，從根本上說，是一個個數學模型。在小學數學教學中，教師要培養學生的數學建模意識，提升學生的數學建模能力和建模應用水平。在數學建模過程中，教師要引導學生經歷數學知識的“再創造”，把握學生的數學建模起點，激發學生的數學建模需求，組織學生的數學建模過程，促進學生的數學模型應用與創新。

一、激發學生的數學建模興趣

數學模型離不開賴以建構的現實原型。一般來說，數學模型的現實原型有學生的生活原型、經驗原型等，如哥尼斯堡的七橋問題就是一筆畫的生活原型。教師可以通過創設情境，喚醒、激活學生的生活經驗，從而激發學生的數學建模興趣，調動學生的數學建模的積極性，讓學生產生數學建模的內在需要。蘊含數學模型的原型情境能深化學生的感知。教師還可以引導學生對生活原型進行簡化、提煉、抽象，進而形成能反映生活原型的數學模型雛形。這樣的數學教學更能有效激發學生的數學建模意識。

現實原型能讓學生產生對數學建模的興趣、需求。如教學“一一間隔排列”這部分內容時，筆者就為學生提供了豐富的現實原型，包括夾子手帕、木樁籬笆、兔子蘑菇等。通過感知，學生能直觀觀察到物體的間隔排列現象，并將其簡化、提煉、概括成這樣的規律，即“兩端物體相同，兩端物體的數量比中間物體的數量多一個”“兩端物體不同，兩種物體的數量相等”。在深入感知、觀察的基礎上，筆者引導學生用數學學具，如小棒圓片、三角形圓片等，表征生活原型，操作生活原型，引導學生動手操作。通過“做中學”引導學生將外顯的動作、映象，內化為自我的認知表象，建立穩固的表象支撐。在此基礎上，引導學生用數學符號來抽象、概括，進而建構“一一間隔排列”的數學模型。在這個過程中，學生經歷了數學知識的符號化歷程，完成了數學學習的第一次轉化，即將生活原型轉化成數學模型。這個過程，也就是荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾所說的“橫向數學化”。從生活原型到數學模型，筆者充分拓展了學生的數學思維，提升了學生對數學認知、符號的概括水平。

在小學數學中，我們隨處可以看到生活原型的影子。從某種意義上說，小學數學就是學生生活原型的投射。引導學生經歷從生活原型到數學模型的抽象概括，有助于學生感受、體驗數學模型的價值，這能讓學生認識到數學在生活中無處不在。只有不斷豐富生活原型，才能讓學生感受、體驗數學模型。

二、引導學生經歷建模過程

小學數學建模教學，需要教師采用適當的策略，尤其是“縱向數學化”策略（在數學世界中的模塑），引導學生思考、探究問題的本質。在這個過程中，教師要豐富學生的數學建模內容，指導學生數學建模方法，展示學生的數學建模過程。瑞士教育心理學家皮亞杰認為，一切真知都應由學生自己獲得，或者由學生自己重新發明。在數學教學中，教師可以引導學生積極猜想，經歷“猜測、驗證”的探究過程。

比如，在教學“圖形的放大與縮小”時，筆者首先運用多媒體課件向學生展示了班級某個學生的全家福，然后相繼出示了四張放大版的全家福照片，其中有三張放大版的全家福分別只放大了長和寬，以及長寬放大的倍數不同。這樣的感知活動，激發了學生的數學建模興趣，調動了學生進行數學猜想的積極性。有的學生認為，圖形的放大或者縮小會改變圖形的形狀；有的學生則說，圖形的放大或縮小不需要用鼠標拖住長邊或者短邊，而應當拖住長方形的四個頂點；還有的學生說，圖形放大或縮小的倍數應當是每一個部位放大縮小的倍數。在學生猜想的基礎上，筆者引導學生畫圖、測量，讓學生真正認識到，在圖形放大或縮小的過程中，每條邊放大或縮小的倍數是相同的。在這個過程中，學生在大腦中逐步建構起圖形放大或縮小的數學模型。這樣的教學，為學生后續學習數字比例尺等知識，奠定了堅實的基礎。

建構數學模型，教師要引導學生多思考、多分析、多探究。數學模型的建構往往要經歷數學的抽象化、思想化的提煉。數學建模的過程就是將生活實踐中的原型轉化成數學模型的過程。但是，數學模型不等于生活原型，它常常需要經歷一個去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的過程。在這個過程中，人們往往舍棄了次要、非本質的因素，而抓住了本質、關鍵的要素。

三、引導學生應用數學模型

建構了數學模型之后，教師要引導學生將數學模型應用于生活實踐中。教學時，教師要引導學生對數學模型賦予意義，引導學生對數學模型進行積極應用。意義賦予的過程，是學生在數學建構過程中的二次轉化，即對數學模型進行解釋和應用，從而彰顯數學模型的效能。一般來說，學生數學認知的過程是一個從感性到理性，然后回歸生活的循環往復、螺旋上升的過程。通過這樣的一個過程，學生能真切感受、體驗到數學模型的意義和價值。

在數學教學中，用數學模型來解釋、指導實際問題的解決，是讓學生感受、體驗數學與外部世界關聯的重要路徑。數學模型的意義賦予，有助于培養學生豐富的想象力、敏銳的洞察力。比如，在教學“認識方程”時，筆者通過學生生活中的原型——秋千、天平等，引導學生建構等式模型、方程模型之后，提出了一系列的實際問題。在引導學生運用方程模型解決實際問題的過程中，筆者重點讓學生從實際問題中提煉關鍵句，從關鍵句中提煉數量之間的相等關系，然后引導學生列方程。應該說，數學模型的應用是講究技巧的，如“怎樣有效地設定未知數”“怎樣有效地找出問題中的等量關系”。方程模型的應用能逐步引導學生將未知量和已知量看成具有同等地位、同等作用的量，將未知量和已知量一起思考。教師通過方程模型的應用，逐步引導學生從傳統的算術思維向代數思維過渡。應用方程模型既豐富了方程的數學內涵、關系內涵，又凸顯了數學模型的抽象性和普適性。方程模型的應用為學生以后的代數學習奠定了堅實的基礎。

數學模型的解釋、應用，是引導學生體會、感悟數學模型思想的重要環節。數學模型來自于學生的經驗生活，又服務于學生的經驗生活。數學模型的價值集中體現在數學模型不是解決“某一個”數學問題，而是解決“某一類”數學問題。適度拓展、延伸數學模型的應用，不僅能讓學生認識到數學模型的意義和價值，彰顯數學模型的魅力，還有助于激發學生的數學學習興趣，增強學生的數學應用意識，提升學生解決數學問題的能力，從而培養學生的數學核心素養。

參考文獻

[1]王工一.數學建模與現代數學教育理念[J].中學教研，2003（8）：37-40.

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