淺析探究法在高中數學教學中的應用措施

郭培華

[摘 ?要] 教育的進步促進了社會的發展. 在新課改過程中，研究者發現探究法具有操作靈活、成效顯著等優勢. 同時，它對學生高階思維的形成與發展具有重要作用. 鑒于此，文章就探究法在概念教學、公式定理類教學及解題教學中的應用展開討論.

[關鍵詞] 探究法;概念;教學

隨著新課改的深入，探究法展現出了不菲的價值. 它能轉變教育者根深蒂固的傳統觀念，嘗試用新的技術或方法鼓勵學生自主探索知識的發生與發展過程，讓學生在實踐中獲得新識與創新意識[1]. 探究法具有較強的靈活性與操作方便等優勢，它能點對點地挖掘學生思維的寬度與深度，讓數學課堂煥發出新的生命力.

探究法在概念教學中的應用

概念是數學的基礎，是學生發展數學思維的起點. 作為教學的重點與難點，筆者在概念教學中嘗試過多種教學方法. 實踐證明，將探究法運用到概念教學中，能讓學生形象地感知概念的形成過程. 學生對親身體驗后構建而成的概念的理解，比傳統的教師直接講解更為深刻. 而用探究法進行概念教學是幫助學生構建概念的基本手段.

案例1：“函數的周期性”的概念教學.

問題1：觀察圖1，畫出角α的正弦線;

問題2：若角α的終邊進行逆時針旋轉（繞原點O），則角α的正弦線會發生怎樣的變化？變化具有什么規律？

這兩個問題的設計，主要是為了鞏固學生原有的知識點，引導學生感受正弦線周而復始的變化規律，以激發學習興趣. 在學生給予正確的解答后，教師可提出下一個問題讓學生思考與探究.

問題3：觀察圖2，整合自己的語言，描述一下正弦函數的圖像出現圖中這種周而復始變化規律的現象.

問題4：有沒有哪個公式能反映出圖2所呈現的變化規律？

問題5：如果函數f（x）具有圖2所呈現的變化規律，我們可用怎樣的代數式來描述？

設計問題3的目的在于鼓勵學生從不同的視角去觀察與探究問題，本題是為了讓學生轉變觀察的角度，用自己的言語描述圖中這種規律的現象. 在學生思維得以拓展以后，問題4則順勢而出. 學生通過對誘導公式sin（x+2kπ）=sinx（k∈Z）的回憶，明晰這個周而復始規律的代數刻畫形式，從數形結合方面提出用“周期性”的概念來刻畫這種規律的變化. 問題5需要學生用逆向思維與數學符號語言來描述相應的規律，“周期與周期函數”的概念則由此自然而然地形成.

以學生原有的認知結構為出發點，通過對函數解析式及圖像的特點進行探究，對周期性產生了深入的了解，并以周而復始的變化規律為導火索，讓學生從探究中經歷從具體到抽象、從特殊到一般的思維歷程，深化學生對知識的理解程度，以及形成良好的思維能力.

探究法在公式、定理等教學中的應用

傳統的教學方式是讓學生機械性地記憶公式、定理等. 這些固定的公式、定理等都是前人經過不斷實踐與探索逐漸發現的. 若讓學生死記硬背，難以達到融會貫通、靈活使用的效果. 因此，教師應引導學生了解這些公式、定理的來龍去脈. 只有經過自主探索與構建知識的過程，才能讓知識真正地內化到學生的認知結構，能讓學生靈活運用知識所蘊含的數學思想.

案例2：“等比數列求和公式”的教學.

本章節內容作為數列求和問題中的重要內容之一，在高中階段的數學教學中占有舉足輕重的作用. 不少教師考慮用等差數列求和的方法（倒序相加法）來進行知識點的銜接，筆者也做了一定的嘗試，在等比數列求和的問題中運用倒序相加法來進行教學.

實踐發現，倒序相加法的實質是在兩式相加后產生相同項，而這在等比數列求和的問題中并不能產生相同項. 那么，怎樣能產生相同項呢？研究發現，用公比乘數列的各項，得數恰巧是它們各自后面的一項. 如此，相同項便找到了.

等比數列{a}的前n項和為S，S=a+a+a…+a. 用等比數列的通項公式可將此式化為S=（q≠1）（過程略）.

教學中，不少教師將此結論的形成分解成若干個小步驟，通過階梯式的鋪設、設問與誘導等，讓學生的思維沿著教師的思路而前進，直至結論的形成. 其實，高中生的思維遠遠比我們想象的強大，教師若給予學生更多的機會，讓學生從自己的視角探索這部分內容，則會讓課堂發生別樣的光彩.

如在教學中，學生提出了以下幾種思考方式：

生1：在式子S=a+a+a…+a的兩邊都乘q，可得qS=aq+aq+aq…+anq. 后式減前式可得S=（q≠1），而當q=1時，S=na.

生2：由等比數列的通項可知，a=aq，a=aq，…，a=aq，將這n-1個等式兩邊分別相加，可得S-a=Sq;S是我們待求的項，因此可將Sq轉化為（S-a）q，由移項可得S=a+（S-a）q，所以S=（q≠1），S=na（q=1）.

學生在自主探究中，運用疊加法與等式S-S=a（n≥2）完成了對等比數列求和公式S的推導過程. 類似于此的方法，還有錯位加減法等.這些都會在練習中大量出現與使用.

學生在等比數列求和公式的推導過程中，經歷了問題的發現、提出、分析與解決過程，再通過反思與對比獲得相應的結論. 此探究過程是一次有意義的嘗試，拓展學生思維的同時，對學生觀察、推理與歸納能力的培養有一定的促進作用.

探究法在解題教學中的運用

解題能力反映了學生對知識的掌握與運用程度. 實踐證明，探究法運用于解題教學中能有效地挖掘數學的本質與知識的內涵. 探究試題不同的解決辦法，或變式的討論等，能將知識之間的聯系暴露出來，幫助學生更好地構建新的知識體系，為知識的融會貫通與靈活運用奠定基礎[2]. 因此，解題教學的探究能讓學生感受學習的成就感，促使思維的發展.

案例3：“直線與圓錐曲線的位置關系”的教學.

原題：已知橢圓C：+=1，一條直線l的方程為y=ax+b.

問題1：若想讓橢圓C與直線l相交，試寫出a，b的值.

此問具有多種答案，對學生而言本題難度并不大，想要探尋此題的答案，可從a，b之間的內部聯系著手思考. 此設計起點不高，坡度也比較小，恰到好處地激發了學生的好奇心，推動了他們的學習動機，這為接下來的問題打下了良好的基礎.

問題2：若橢圓C與直線l相交，a與b應呈怎樣的關系？

問題1只需要寫出符合題意的一組數值即可，而問題2則在此基礎上提出了深層次的要求，至于a與b這兩個值之間是否存在一定的規律，是值得學生探究的問題. 在學生對問題1有初步思考的情況下，面對此問會自然地運用從特殊到一般的思想，通過探究便不難獲得問題的答案.

問題3：如果a+b=1，則橢圓C與直線l之間是怎樣的位置關系？

此問其實與前兩問呈一種前后呼應的關系. 學生可以從幾何的角度，即從直線l過點（1，1）來探究;也可以從代數的角度，即從問題2所獲得的結論來探究. 這幾個問題一環套一環地設計，讓學生在探究過程中充分感悟從特殊到一般的思想. 此過程完美地體現了探究教學法的作用與學生思維發生、發展的過程.

問題4：為本題添加一個條件，求出直線l的方程.

此問與以上幾問相比，開放的角度更大，需要學生用更大的參與度去思考與探究. 不同水平層次的學生在此問中呈現出了不一樣的答案. 學生經過探究后添加的條件涉及弦長公式、韋達定理、點到直線的距離與中點坐標公式等. 總之，每個學生都充分發揮了自己的能力，想出各種方法為本題添加條件，鍛煉思維的同時也鍛煉了學生的命題能力.

問題5：若將橢圓C的方程改為雙曲線方程-=1，請在問題4中所補充的條件里，選擇一個條件求出直線l的方程.

此問以變式的形式展現了學生知識的遷移能力. 縱然題目會出現萬般變化，但探究方法與數學思想卻不會改變[3]. 因此，掌握具有普遍意義的方法是實現知識遷移的基本保障.

總之，不論是概念、定理、公式的教學，還是解題的教學，均可運用探究法找準問題的突破口，挖掘學生思維的寬度與深度，促使學生在知識的構建中形成高階思維. 探究教學法的實施是優化數學課堂教學的基本手段，也是培養學生數學核心素養的基本方法.

參考文獻：

[1] ?王華民. 數學課堂局部探究的實踐與思考[D]. 吉林出版社，2018.

[2] ?喬治·波利亞. 數學的發現（第二卷）[M].劉景麟譯. 呼和浩特：內蒙古人民出版社，1981.

[3] ?唐國慶. 高考數學高分策略[M]. 長沙：湖南教育出版社，2005.