基于核心素養的數學概念教學案例設計與分析

劉思余 周學勇

摘 要：本文以初中數學《函數的概念》教學為例，探討數學核心素養在初中概念教學中的應用意義。初中《函數的概念》教學設計從以下四個方面展開：教師設計恰當的生活情境，讓學生領悟“萬物皆變”之道理;探究變量關系，從而引出用“解析式”法表示變量關系;設置對應問題，再次引導學生發現函數的“表格”“圖像”表示法;引導學生形成概念，自主概括歸納概念的本質。最后，對《函數的概念》教學設計進行反思。

關鍵詞：概念教學;數學核心素養;函數的概念

一、對數學核心素養下的數學概念教學的理解

“概念”不能簡單地從字面上理解為人們對某些事物概括或總結后的想法。在科學研究上，這種說法是不嚴謹。邏輯學上認為：“概念主要是用來反映客觀對象的某些本質屬性的一種思維形式”[1]。而“數學概念是數學思維品質與關鍵能力的集中體現，把握數學概念教學就是落實數學學科核心素養的重要策略”[2]。“數學概念教學”是在教學中向學生講授數學概念的名稱、定義、屬性、本質內涵等相關內容的教學活動。數學概念教學是引領學生打開數學知識大門的第一步，可以培養學生的數學核心素養，同時激發學生的數學興趣、豐富學生的數學文化底蘊、培養學生的優秀品質。

“歌德表示，不能產生行動的思想是一種疾病。在教育領域，這樣的疾病比比皆是，知易行難。我們何曾缺少過理論和理念？缺少的是精彩的案例”[3]。因此，本文以初中《函數的概念》的教學設計為例，將數學核心素養的教學理念融入概念教學中，以供一線教師借鑒和參考。

二、教學案例設計與分析——以初中《函數的概念》為例

函數是初中數學核心內容之一。學習函數要從函數概念開始，學好函數概念是應用函數知識解決問題的前提。函數概念比較抽象，理解起來有一定的困難。如何能讓初中生熟練掌握函數概念的本質和外延，如何在函數概念教學中融入數學核心素養是每一位初中數學教師要思考的問題。下面以初中數學中《函數的概念》的教學為例，談一談基于核心素養的數學概念教學案例設計與分析。

活動一：創設生活情境、發現數學現象

生活情境：大氣溫度隨時間變化而變化;液體的沸點隨著大氣壓的變化而變化;行星在宇宙中的位置隨著時間的變化而變化;人類的記憶保存量隨時間變化而變化;等等。這就是所謂的“萬物皆變”的道理。

設計意圖：為接下來給出量、變量、函數等定義的形成做好鋪墊，我們創設“萬物皆變”這一生活情境，讓學生發現生活中的現象和數學中的變量有著密切的關系。

活動二：探究變量關系、引出“關系式”法

問題1：請說出下列問題①—⑤中所涉及的兩個變量之間的關系，并說一說同一問題中的兩個變量之間是如何變化的？

①一列“復興號”在京滬高鐵上以350千米/小時的速度勻速行駛著，規定高鐵的行駛路程為s千米，行駛時間為t小時;②某市的自來水價為6元/噸。小明家1月份用水量為x噸，應交水費為m元;③電影《唐人街探案3》正在萬達電影院上映，售價為35元/張，假設售出x張電影票，則票房收入為y;④把石頭投進平靜的池塘會激起美麗的漣漪，圓形的水波向外擴散，這中間蘊含著數學知識，將圓的面積設為S，半徑設為r;⑤樂樂想用32米長的柵欄圍成一個長方形的菜園，如圖1所示，假設菜園的長為x，寬為y。

設計意圖：讓學生通過實際問題情境了解到現實生活中處處存在著變量，使學生準確地找出實際問題中的變量。隨后，讓學生給出兩個變量之間的關系。這些教學活動使學生熟悉變量的符號表示，初步體驗問題情境中兩個變量之間是彼此相關的特征。教師通過問題①來引導學生思考、探究，培養學生積極思考的習慣，為學生獨自解決問題②—⑤做出示范。

問題2：在問題①中，變量s（路程）是如何隨著變量t（時間）的變化而相應變化的？能不能用s與t的數學關系式表達呢？

問題3：請參照問題2的解答，分析問題②—⑤中的變量分別是什么？在同一個問題中，變量之間的關系又是什么？

設計意圖：通過對問題①中變量及變量間的關系的深入分析與討論，引導學生自主思考問題②、③、④、⑤中的變量關系。在學生自主解決問題①的基礎上，逐步提升學生對變量及其關系的認知，進而更加熟練地分析之后的問題。以上問題的討論注重培養學生將實際問題抽象為數學問題的能力，讓學生初步感受數學抽象、直觀想象等素養的運用，讓學生會用數學眼光觀察生活、會用數學符號表達生活現象。經過學生對問題②、③、④、⑤的自主分析及小組討論，引導學生發現變量之間的相互關系的共同特征，得出一般情況下的變量之間的關系。

問題4：同學們，請問在問題①、②、③、④、⑤中，變量之間的關系具有什么樣的共同特點？

設計意圖：讓學生知道問題①—⑤均可通過“數學關系式”來表示變量間的對應關系，鍛煉學生善于發現問題的共同特征及準確歸納的能力。使學生運用數學關系式表達變量間關系的能力得到培養，為建立函數解析式創設條件。

活動三、設置對應問題、運用“表格”“圖像”法

問題5：旅游業將春暖花開。預計2021年國慶期間我國的旅游人數將創歷史新高。下表為2021年10月1日至8日期間預計參觀故宮的旅客量情況，設日期為變量x，當天的游客量為y，那么表中的x（日期）和y（游客量）之間有什么關系呢？

設計意圖：讓學生發現變量間關系除了可以“用式子表示變量之間關系”的建立，還能借助“用表格表示變量之間關系”來表達。一旦確定其中一個變量（日期）的值時，通過查表就可以唯一確定與之對應的另一個變量（游客量）的值，讓學生進一步明晰函數的本質特性，擺脫“用式子表示變量之間關系”這一束縛，使學生掌握函數表示的第二種表示方法——表格式。

問題6：上海市某天9時—24時的降雨量的變化情況如圖2所示，你能說出10點、16點、19點、23點的降雨量嗎？

設計意圖：構建圖像表示變量之間的關系例子，突出函數概念的本質。讓學生掌握確定變量之間的關系的方法除了可以“用式子表示變量之間關系”和“用表格表示變量之間關系”外，還可以用圖像來表示，使學生更加深入理解函數的概念本質屬性。

活動四、引導生成概念、概括歸納本質

問題7：通過分析上述實際問題中兩個變量之間的關系，當其中一個變量確定時，確定另外一個變量有幾種方式？你們能歸納出什么共同特點嗎？

師生活動：教師組織學生分小組討論，小組歸納總結出如下結論：對于以上所有的問題情境中的變化過程，均有兩個變量，并且當取定其中一個變量值時，都有唯一的確定值，即另一個變量和它對應。這兩個變量間的關系可以用數學解析式法、表格法、圖像法等表示。有了上面的鋪墊之后，教師引導學生自己概括出函數的概念：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量。

三、《函數的概念》教學設計反思

由于函數的具有較強的抽象性，對于一些抽象能力較弱的初中生容易出現函數概念理解不透徹的問題。為了更好地落實核心素養下的函數概念的教學，對《函數的概念》的教學設計反思如下：

（1）教師只有對概念教學充分關注，在把函數概念講清楚、講準確的同時，讓學生深刻理解函數概念的內涵與外延，才能從根本上提高學生分析和解決問題的能力，進而提升思維品質。

（2）教師在課堂教學中要加強引導，采用多元化教學方式，增強課堂上師生的互動性，培養學生數形結合的思想，從而讓學生更深層次地了解函數的概念，實現抽象實像的相互轉化，使學生更快地掌握函數知識，從而達到學以致用的目的。

（3）初中數學是采用“變量說”得到函數的概念，相對高中數學采用“對應說”給函數下定義來說較易理解。這為學生在高中階段進一步學習函數的概念奠定基礎。圍繞培養學生的直觀想象、數學抽象等數學核心素養來設計每個教學環節使教學設計始終以突出函數本質為目標。同時，通過函數的概念的教學，對學生數學情感、學習習慣和個人品質的形成都有深遠的影響。這些也是培養學生數學核心素養不可忽視的重要內容。

（4）教學設計運用“問題驅動式”推動教學進行[4]，用銜接緊密的問題串誘導學生思考、推動課堂，使學生的認知產生沖突、新知的探索欲望得到激發，引導學生形成概念以及對概念的同化。為了符合初中生的認知發展，在教學設計中要保證教學情境與教學內容、各個教學內容之間的融洽連接。這對學生認知經驗的遷移起至關重要的作用。

（5）始終秉持“以學生為中心”的原則設計教學[5]。為了多角度鍛煉學生用數學語言交流、闡明自己的觀點，課堂上教師要給學生留足時間去思考，積極引導學生用數學語言對問題進行歸納與概括。同時，在教學活動中運用小組合作、探究的學習方式培養學生的團隊合作意識和溝通能力。

參考文獻：

[1]李兵，王靜.初中數學概念教學策略[J].學周刊，2011（16）：21.

[2]王志剛.數學核心素養更需要在數學核心概念的教學中落實——以“導數概念”（第一課時）教學為例[J].數學教學通訊，2019（05）：20-23.

[3]汪曉勤，栗小妮.數學史與初中數學教學——理論、實踐與案例[M].上海：華東師范大學出版社，2019.

[4]張奠宙，李士.數學教育學導論[M].北京：高等教育出版社，2003.

[5]徐斌艷.數學教育展望[M].上海：華東師范大學出版社，2001.