淺談促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)教學(xué)

周衛(wèi)東

[摘 要]“為促進(jìn)理解而教”是國際認(rèn)可的數(shù)學(xué)教學(xué)的理性追求。以“小數(shù)的意義”教學(xué)為例，具體闡釋一些行之有效的“促進(jìn)理解”的實(shí)踐策略：通過探明原理、經(jīng)歷過程、多重聯(lián)系，讓學(xué)生明晰“理解什么”，讓學(xué)生卷入“怎么理解”，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)“理解深刻”。

[關(guān)鍵詞]為理解而教;原理;過程;關(guān)聯(lián)

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）11-0013-03

認(rèn)知心理學(xué)提出：“理解實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)學(xué)習(xí)者以信息的傳輸、編碼為基礎(chǔ)，根據(jù)已有的信息建構(gòu)內(nèi)部心理表征，進(jìn)而獲得心理意義的過程。”與一般的“理解”相比，數(shù)學(xué)理解具有典型的學(xué)科韻味。首先，理解的對(duì)象是數(shù)學(xué)的概念及其關(guān)系，理解意味著對(duì)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延的準(zhǔn)確把握，對(duì)概念之間相互關(guān)系的清晰認(rèn)識(shí)。其次，數(shù)學(xué)理解是過程與結(jié)果的統(tǒng)一。從過程方面看，數(shù)學(xué)理解是學(xué)生與數(shù)學(xué)知識(shí)溝通對(duì)話，相互融合，不斷成生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。從結(jié)果方面看，數(shù)學(xué)理解則可以看成是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種“獲得”，是外在的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)在個(gè)體心理上的投射。

基于以上認(rèn)識(shí)，教師在教學(xué)中需要把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)要素，突出意義的建構(gòu)過程，使得學(xué)生習(xí)得數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)與閉合，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)的真正“理解”。

一、探明原理，讓學(xué)生清楚“理解什么”

英國學(xué)者P·歐內(nèi)斯特說過：“數(shù)學(xué)教學(xué)的問題并不在于尋找最好的教學(xué)方式，而在于明白數(shù)學(xué)是什么，如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題，便永遠(yuǎn)解決不了教學(xué)上的爭議。”一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，既表現(xiàn)為隱藏在客觀事物背后的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)規(guī)律，又表現(xiàn)為隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)背后的本質(zhì)屬性。數(shù)學(xué)教學(xué)教什么？毋庸置疑，擺在第一位的一定是教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)和內(nèi)涵。

如小數(shù)的意義是什么？追根溯源，小數(shù)并不是因改寫分?jǐn)?shù)而產(chǎn)生的，而是自然數(shù)的十進(jìn)位值計(jì)數(shù)規(guī)則加以擴(kuò)展的結(jié)果，它是以10的n次冪為分母的另外一種表示形式，是十進(jìn)制計(jì)數(shù)向相反方向衍生的結(jié)果，其本質(zhì)就是十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的另一種表現(xiàn)形式。小數(shù)和整數(shù)在形式上是統(tǒng)一的，小數(shù)的出現(xiàn)也使十進(jìn)制計(jì)數(shù)法從整數(shù)擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)，數(shù)的內(nèi)涵更加豐富了。數(shù)的形式改變了，但其中不變的是相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率還是10。

“小數(shù)的意義”怎么進(jìn)入學(xué)生的視野呢？可以生活中常見的測量身高現(xiàn)象為載體構(gòu)造情境串。第一則情境是 “小軍的身高是1.4米”，讓學(xué)生思考“這里的1和4分別表示什么”，使其明白，這里的“4”是4格，表示把1米平均分成10份，取了其中的4份，表示0.4米，接著以此為基點(diǎn)逐漸建立起一位小數(shù)的基本含義，即“一位小數(shù)表示十分之幾”;第二則情境是“半個(gè)學(xué)期后，小軍再一次量了身高，身高在1.4與1.5米之間，你能想出辦法知道他現(xiàn)在的身高嗎？”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解“可以把1.4與1.5之間繼續(xù)平均分成10份，現(xiàn)在高出3小格，每一小格是0.01米，即現(xiàn)在的身高是1.43米”，并在對(duì)大量素材的比較中建立起兩位小數(shù)的意義，即“兩位小數(shù)表示百分之幾”;然后，以大問題“你覺得還有幾位小數(shù)？請你任選一個(gè)兩位以上的小數(shù)，利用表格或紙片進(jìn)行研究”驅(qū)動(dòng)學(xué)生到達(dá)一個(gè)更大的空間之中，任學(xué)生的思維自由馳騁，使學(xué)生在自我感悟、全班共研的環(huán)境中理解更多位小數(shù)的意義。

“小數(shù)的意義”還可以怎么進(jìn)入學(xué)生的視野呢？可以創(chuàng)設(shè)在圖1中畫“0.46”的大問題，讓學(xué)生的思維一次又一次處于“悱憤”之中。對(duì)于畫0.46，大多數(shù)學(xué)生都會(huì)想到要涂的是比4格多一點(diǎn)，但多多少呢？學(xué)生在深度探索中逐漸明白：可以將第5格再平均分成10份，涂其中的6份。教師進(jìn)一步提出：“同一幅圖中出現(xiàn)了兩個(gè)計(jì)數(shù)單位，怎么才能統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位呢？”從而得出更為精確的網(wǎng)格圖——將正方形平均分成了100份，這樣，計(jì)數(shù)單位悄悄變化，凸顯了相鄰十進(jìn)制計(jì)數(shù)單位之間的關(guān)系，進(jìn)而引出兩位小數(shù)的意義。如此設(shè)計(jì)，學(xué)生在理解一位小數(shù)意義的基礎(chǔ)上進(jìn)行已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的正向遷移，通過一系列的追問，學(xué)生將已有的十進(jìn)制知識(shí)進(jìn)行再創(chuàng)造，經(jīng)歷“做”數(shù)學(xué)的過程，建構(gòu)兩位小數(shù)對(duì)應(yīng)的概念表征，理解了兩位小數(shù)的意義。

二、經(jīng)歷過程，讓學(xué)生卷入“怎么理解”

讓學(xué)生自己建構(gòu)數(shù)學(xué)，既是教學(xué)的目標(biāo)，也是學(xué)生理解數(shù)學(xué)的方式。若只有教師教，沒有給學(xué)生學(xué)習(xí)關(guān)鍵思想和關(guān)聯(lián)點(diǎn)的機(jī)會(huì)，學(xué)生的理解就無從談起。因此，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)的過程，讓學(xué)生自己建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)。弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)的根源在于普通常識(shí)，數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上是人類常識(shí)的系統(tǒng)化。因此，每個(gè)學(xué)生都可以在一定的指導(dǎo)下，通過自己的實(shí)踐活動(dòng)來獲得這些知識(shí)。

強(qiáng)化“變式”。比如，在學(xué)生初步理解了一位小數(shù)的意義后，可以讓學(xué)生通過折一折、畫一畫正方形紙片等方法表示0.3;在學(xué)生深入理解了一位小數(shù)的意義后，再讓學(xué)生拿出之前的那張正方形紙片，描繪想研究的一個(gè)兩位小數(shù)。教師對(duì)學(xué)生作品進(jìn)行逐一評(píng)析，讓學(xué)生明白，無論畫的是一維的線段還是二維的平面圖形，只要把它們平均分成10份、100份，其中的幾份都可以用小數(shù)來表示，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步理解和深化小數(shù)意義。

又如，教學(xué)一位小數(shù)的意義之后，還可以編擬如下的練習(xí)題，使學(xué)生的理解“發(fā)生”。

第一幅圖沒有“老老實(shí)實(shí)”地按順序涂三個(gè)格子，而是間隔著涂;第二幅圖是線段，0.2是截取中間的一段，打破學(xué)生的思維定式;第三幅圖是立體圖形，拓展了“1”的外延，發(fā)展學(xué)生的空間思維;第四幅圖不是平均分成10分，可啟發(fā)學(xué)生思考：“如果看不到平均分成10份，還能用小數(shù)表示嗎？”使學(xué)生打破思維定式，觸及知識(shí)的本質(zhì)，即無論看不看得到平均分成10份，涂色部分都可以用小數(shù)來表示。

豐富“表征”。每一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)概念，都可以有不同的數(shù)學(xué)表征。不同表征之間的“互譯”，可以豐富學(xué)生對(duì)概念內(nèi)涵的把握和洞察。因此，教師要鼓勵(lì)學(xué)生用“自定義”的形式表征他們的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，讓不同的表征方式之間產(chǎn)生豐富的聯(lián)系，有利于學(xué)生形成豐富的概念意象，促進(jìn)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)。比如，讓學(xué)生在線段、長方形和長方體三種圖形中任選一種來表示0.7、0.23和0.575，從而使其明白：數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的發(fā)展是有規(guī)律可循的，盡管每一種圖形都可以表示多位小數(shù)，但是平均分成10份、100份、1000份，分別對(duì)應(yīng)一維的線段圖、二維的平面圖和三維的立體圖會(huì)顯得更方便些。又如，讓學(xué)生在方格紙上畫出“0.46”。怎么將第5份平均分成10份？有學(xué)生橫著分，也有學(xué)生豎著分，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩種表征方式進(jìn)行對(duì)比，在肯定都有道理的前提下，引導(dǎo)學(xué)生感知橫著分的優(yōu)勢更明顯：既美觀又明晰，更方便把整個(gè)正方形平均分成100份。

三、多重關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)“理解深刻”

哈佛大學(xué)威金斯教授認(rèn)為，理解不是單方面的成就，而是多方面的，可以通過不同類型的證據(jù)表現(xiàn)出來。“真正的理解”可以在六個(gè)方面得以體現(xiàn)，即能結(jié)構(gòu)、能解釋、能應(yīng)用、能洞察、能深入、能自知。這六個(gè)方面為評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解提供了多元指標(biāo)的同時(shí)，也指出：數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注知識(shí)的客觀性標(biāo)準(zhǔn)，也要關(guān)注學(xué)生在理解數(shù)學(xué)時(shí)的個(gè)性化活動(dòng)。

納入結(jié)構(gòu)。一般情況下，學(xué)習(xí)過程只能按時(shí)間順序先后安排，但理解卻并不是直線式的簡單累積，相反，它是螺旋式地發(fā)展、結(jié)構(gòu)式地建造出來的。對(duì)于數(shù)學(xué)來說，無論是一個(gè)概念的形成，還是整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生，都需要經(jīng)歷一個(gè)建構(gòu)的過程。用皮亞杰的話說，就是 “每一個(gè)結(jié)構(gòu)都是心理發(fā)生的結(jié)果，而心理發(fā)生就是一個(gè)從較初級(jí)的結(jié)構(gòu)過渡到一個(gè)不那么初級(jí)的結(jié)構(gòu)。”因此，理解不僅僅是把新知識(shí)與已有的舊知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系，而是創(chuàng)建了一個(gè)豐富的、整合的知識(shí)結(jié)構(gòu)。比如，讓學(xué)生觀察圖3，填空并思考三個(gè)圖之間的聯(lián)系：

又如，通過將同一個(gè)正方體依次平均分成10份、100份、1000份后所得到一份的量（如圖4），讓學(xué)生感受不同計(jì)數(shù)單位1、0.1、0.01、0.001，感受一位小數(shù)、兩位小數(shù)與三位小數(shù)的研究模型及其計(jì)數(shù)單位之間的關(guān)系。

促進(jìn)闡釋。面對(duì)不同的問題，人們通常會(huì)采取不同的思維方式。基于真實(shí)任務(wù)的問題解決將學(xué)生在學(xué)校的學(xué)習(xí)視為“現(xiàn)實(shí)世界中創(chuàng)造性社會(huì)實(shí)踐中完整的一部分”，對(duì)促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解具有重要的作用。真實(shí)任務(wù)能為學(xué)生提供一個(gè)促進(jìn)知識(shí)向日常生活轉(zhuǎn)化的實(shí)踐場。在這一實(shí)踐場中，知識(shí)、思維和學(xué)習(xí)的情境是緊密聯(lián)系的，學(xué)生的信念、經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)構(gòu)成解決問題的概念工具。一位教師就設(shè)計(jì)了一道很有價(jià)值的現(xiàn)實(shí)問題：“正在上四年級(jí)的小馬在學(xué)校參加了體檢，回家后媽媽問他身高是多少，小馬回憶了一會(huì)兒，說：‘我的身高是這樣的一個(gè)小數(shù)，這個(gè)小數(shù)里，有數(shù)字9和4。那小馬的身高是多少呢？”學(xué)生在有趣且富有開放性的問題中，運(yùn)用已經(jīng)理解的小數(shù)意義進(jìn)行解釋和應(yīng)用，自然有效地建立了數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。還有一位教師在結(jié)課階段圍繞“有了分?jǐn)?shù)為什么還要學(xué)習(xí)小數(shù)呢？”這一思辨性很強(qiáng)的問題，讓學(xué)生用分?jǐn)?shù)與小數(shù)兩種表示方法進(jìn)行計(jì)算，從而感受到用小數(shù)計(jì)算比用分?jǐn)?shù)計(jì)算更加快捷與簡單，進(jìn)而領(lǐng)悟到小數(shù)誕生的必要性。

教學(xué)有法，但教無定法，誠如帕斯默爾所說：理解具有多種多樣的表現(xiàn)方式，這些方式彼此相互獨(dú)立又相互交融，相應(yīng)地，也有許多不同的教“理解”的方法。期待數(shù)學(xué)教育因理解而擁有更多的變化與活力。

（責(zé)編 金 鈴）