重構數(shù)學深度學習的“三度空間”

陳旭

[摘 要]發(fā)展學生的核心素養(yǎng)，讓深度學習真正發(fā)生。這種“以生為本”的現(xiàn)代教育觀備受關注。在課堂上給學生提供觀察、操作、表達、思考、交流、展示的機會實施深度學習，能有效培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。然而深度學習并不是自然發(fā)生的，也不是簡單的學生自學，需要有教師積極的引導，也就是需要一定的促發(fā)條件和教學策略。

[關鍵詞]深度學習;深度;高度;厚度

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）11-0044-03

深度學習主要是針對課堂教學中學生的知識學習存在表層化的淺層理解，對知識理解不透徹、體驗感悟不深刻、思考研究不深入等現(xiàn)象而提出的。深度學習的實質是能抓住學科本質，超越對知識的表層理解，進入知識內在的邏輯形式和意義領域，挖掘其中的數(shù)學思想和經(jīng)驗，徹底擺脫機械模仿、枯燥訓練和強化記憶，指向思維的發(fā)展。那么，如何促進學生進行數(shù)學深度學習呢？下面從借助核心問題的研究、數(shù)形結合思想的滲透、習題資源的挖掘三個方面談談如何促進學生數(shù)學深度學習。

一、聚焦核心問題研究，挖掘深度學習的“深度”

“學起于思，思源于疑。” 思維是從問題開始的，深度學習應該是基于問題的學習。問題是課堂教學中對話策略的重要組成部分，有效的問題對于學生明確自己的想法，提高學生思維的敏捷性和深刻性，促進學生構建完整的知識體系具有獨特的價值。

筆者有幸聆聽了周衛(wèi)東老師的一節(jié)“認識分數(shù)”課，有高度的教學設計把學生帶入了深度探索分數(shù)意義的學習中。下面將逐層分析周老師是如何一步一步地引導學生深度學習，把學生的思維認知帶到一定的高度的。

在教學完例題“對[12]的初步認識”后，周老師設計了一個開放式的研究性學習環(huán)節(jié)，讓學生繼續(xù)深入探討幾分之一的意義。這一環(huán)節(jié)是通過開放式的研究性學習和教學研究內容的選擇非常典型這兩點一步一步地把學生的思維引入深處。

首先，在師生的談話互動中，學生知道了還有許多的幾分之一的分數(shù)，并選取了其中三個分數(shù)作為代表重點研究，有[12]、[14]和[18]。看似簡單的選數(shù)，卻蘊含著一定的規(guī)律和認知技巧，為學生的深入探究打下基礎。在后面的教學中能夠發(fā)現(xiàn)選取這三個分數(shù)的目的，可謂教學設計的用心與精細。

其次，周老師讓每個學生選取其中的一個分數(shù)進行研究，體現(xiàn)了自主開放式的課堂。探究方法也是開放的。周老師給學生提供三種不同形狀（分別有正方形、長方形和圓）的紙片作為研究工具，讓學生任選一種紙片來研究其中的一個分數(shù)。學生在展示研究成果的過程中，通過觀察、對比、思考吸取到了更多的知識。

最后，班內交流、匯報，充分展現(xiàn)學生的深度學習成果。

基于以上的開放式學習研究，學生的研究成果及形式非常豐富。學生體會到每一個分數(shù)可用不同的折法和涂法來表示，在動手操作中直觀、深入地明白了“平均分”的含義和分數(shù)表示的意義。更精彩的是，對于每個分數(shù)、每種紙的折法，周老師先是隨機選擇一種進行展示（如下圖）。

再設計兩個問題，繼續(xù)引導學生觀察圖形，對分數(shù)進行更深入的探究。

問題 1 ：[12]、[14]、[18]分別是怎樣表示的？你發(fā)現(xiàn)了什么？有什么想說的？

生1：[12]是把一個圖形平均分成 2 份，取其中的一份;[14]是把一個圖形平均分成 4 份，取其中的 1 份;[18]是把一個圖形平均分成 8 份，取其中的 1 份。

生2：需要把紙對折 1 次，需要把紙對折 2 次，需要把紙對折 3 次。

生3 ：涂 2 個[14]就是[12]， 4個[18]也是[12]， 2 個[18]是[14] ……

此環(huán)節(jié)不僅加深了學生對分數(shù)意義的認識，還深層次地拓寬了[12]、[14]、[18]這三個分數(shù)在意義上的聯(lián)系，展現(xiàn)了深度學習的精彩過程。

問題 2 ：豎著看，同一個分數(shù)可以用正方形的紙表示，怎么還能用長方形和圓表示呢？它們的形狀可不一樣啊？

在比較交流中，學生深刻理解了分數(shù)表示的意義和圖形的形狀無關，與平均分的份數(shù)有關，平均分成幾份，其中的一份就表示幾分之一。看似簡單的兩個問題，把學生對分數(shù)意義的理解帶到了思維的高度：理解了平均分的含義、平均分的方法、“一個物體”的含義……

有思維高度的問題設計帶來了精彩的深度學習！可見，在設計教學問題時，教師只有站在一定的高度上思考，才能把學生的學習帶到一定的高度。

二、 滲透數(shù)形結合思想，提升深度學習的“高度”

“數(shù)形結合百般好，割裂分家萬事休。”利用“形”的直觀可闡明抽象的“數(shù)”中的復雜關系，即“以形助數(shù)”。數(shù)形結合實踐學習中，教師要督促學生不斷地思考，不斷地探究，厘清題意，通過數(shù)形結合的方式將題目中的梗概明朗化，用直觀的圖形表示復雜的數(shù)據(jù)，實現(xiàn)數(shù)據(jù)的簡單化，讓學生一目了然地掌握數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，實現(xiàn)問題的解決，從而達到深度學習。

如何借助形象的圖形理解抽象的算理？需要給學生一個思維的支撐點，使復雜的算理變得深刻、簡明。因此可使用圖形語言解釋數(shù)學算式，外化算理的含義，使算理變得形象化、可視化。

師：你們還記得計算“同頭尾合十”兩位數(shù)乘兩位數(shù)的簡便方法嗎？請算一下“63×67=？”。

步驟1：十位上的數(shù)字乘比它大1的數(shù)，即6×（6+1）=42。

步驟2：個位上的數(shù)字相乘，即3×7=21。

步驟3：將步驟2的得數(shù)直接寫在步驟1的得數(shù)后面，即4221。

板書如下：

[6? ?3? ? ? ×? ? ? 6? ?7? ?=? ? ?4? ?2? ? ?2? ?1][② 3×7=21][① 6×（6+1）=42][③ 將21直接寫在這里]

師：想知道為什么可以這樣算嗎？我們剛剛學過長方形的面積計算，現(xiàn)在就以63×67為例來探尋一下。（課件動態(tài)演示）畫一個長67、寬63的長方形（不用考慮單位名稱是什么，只要長度比例正確即可），沿長方形的兩邊截取一個邊長為60的正方形。當我們把從寬邊截取下來的長方形移拼到彎箭頭所指的長邊后，整個圖形變成了哪兩部分？（長70、寬60的大長方形和長7、寬3的小長方形）

師：圖形的形狀雖然變了，但圖形的面積變了嗎？怎樣計算新圖形的面積？（只需將這一大一小兩個長方形的面積相加）

師：大長方形的長是多少？（60+7+3=70）大長方形的面積怎么求？（大長方形的面積：60×70=4200）這一步相當于步驟幾？（相當于計算規(guī)律中的第一步6×7=42，寫在前面）

師：小長方形的面積呢？相當于步驟幾？（小長方形的面積：3×7=21;相當于計算規(guī)律中的第二步3×7=21，寫在后面）

師：最后將這兩部分相加，也就求出了新圖形的面積：4200+21=4221。這一步相當于步驟幾？（相當于計算規(guī)律中的最后一步）

此時，學生露出了驚喜的眼神，發(fā)出贊嘆聲：“啊，原來是這樣呀！”“真好玩！”

課上學生產生困惑“為什么可以這樣算？”，說明他們有積極思考，真正成為學習的主人，而后才有了“有趣的乘法計算”再教學，這樣既滿足了學生的知識需求，又能讓規(guī)律的探索有始有終。

借助平面圖形分析數(shù)學簡算法的方式意義非凡，能讓學生感受到數(shù)形結合的妙處。把計算63×67的積轉化成求長方形的面積，“以形助數(shù)”讓學生一目了然。

通過滲透數(shù)形結合思想，讓學生在探究中知其然且知其所以然，了解知識背后的本質，提升了深度學習的高度。

三、充分利用習題資源，夯實深度學習的“厚度”

有效的練習，能夠觸及知識的本質，具有層次性、發(fā)展性、開放性和思考性。不僅能促進學生知識的掌握，還有利于夯實學生深入學習的“厚度”。教學中，教師要潛心研究教材，把握知識結構，圍繞教學目標精心設計練習，特別是題組和變式題的訓練。

例如，在“認識三角形”一課中，畫高是教學重難點。通過學前檢測發(fā)現(xiàn)：（1）底在水平位置上時，部分學生知道應該把高畫在什么位置，但對高的認識僅是垂直方向上的一條線段;（2）部分學生對高的認識是最高點與最低點之間的一段距離;（3）對于直角三角形而言，學生不確定當高和直角邊重合時該怎么畫;（4）部分學生畫的高沒有標垂直符號。對此，筆者設計了以下畫高練習。

練習應該基于學情進行設計，可將學生的易錯點進行重點剖析、公開診斷、提前預防。基于以上學情分析，充分挖掘練習的價值，設計了多層次練習。第一層次，判斷三角形的高，學生出現(xiàn)了分歧，對于第（1）題，有的學生認為是三角形的高，有的學生認為看著像是高但并不垂直，此時大家一致認為需要借助三角尺來驗證，那么三角尺怎么擺呢？第二層次，引導學生思考、研究三角尺的擺法。先讓學生自主思考擺法，然后選出一位小裁判上臺驗證，其他學生監(jiān)督、補充。第三層次，鞏固認識什么是高。第四層次，請判斷錯誤的學生談談為什么錯了，做題時該注意什么。在糾錯的過程中，學生習得的不僅是知識本身，還有一些做題的方法和經(jīng)驗。

生活中學生接觸到的關于事物的高，大多是豎直方向，例如“這張課桌多高？”“這個人多高？”等。生活經(jīng)驗帶給學生“高是豎直的”的思維慣性，導致學生認識的高往往是豎直方向的。很多學生遇到底不在水平位置時習慣先轉動作業(yè)本的方向再畫高。有了第（1）題的經(jīng)驗，對于第（2）題，學生第一反應是需要驗證，這種情況下的三角尺的擺放是難點，也是畫高的重要突破口，學生在操作中嘗試、在嘗試中領悟、在體驗中思考、在思考中認識高，為后面畫高做好準備。第（3）題是給直角三角形畫高，很多學生會疑惑：被直角邊“擋”住了，高沒地方畫了，所以不自覺地會把高往內移，擺三角尺驗證以后發(fā)現(xiàn)高就是這條直角邊。

以上習題還承載更多的學習功能，通過不同形狀的三角形畫高，為將來學習的給梯形畫高降低了難度，夯實了深度學習的厚度。

做習題是學生對新知識再認識、再加工的過程，枯燥、單一的習題講解會降低學生學習的興趣和積極性，把習題用活、用足、用好，以促進學生思維的靈活性，促使學習不斷深化，使得數(shù)學課堂更加靈動。

“深度”課堂絕對不是“難度”課堂，應該是在教師讀懂教材、讀懂學生的基礎上，用心經(jīng)營的有內涵、有實效、有詩意的課堂。只有引導深度學習發(fā)生，才能真正實現(xiàn)教學無痕、潤物無聲的美好教育愿景。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 《數(shù)學教師教學用書》編寫組.數(shù)學教師教學用書[M] .南京：江蘇教育出版社，2014.

[2] 王榮香.基于新課標的數(shù)學教本解讀探賾[J].成才之路，2018（17）.

[3] 徐海娟.小學數(shù)學課堂追問的技巧[J].啟迪與智慧（教育），2015（12）.

[4] 羅雪琴.數(shù)學課堂的有效思考[J].都市家教（下半月），2012（6）：162.

（責編 黃春香）