定理結構與圖形結構雙管齊下自然生成解法
——正、余弦定理的幾何應用

?江蘇省蘇州市第六中學校

李 娟

1 引言

正、余弦定理揭示了三角形中邊、角的量化關系.解三角形是高考必考的知識點，總體難度適中.本文試圖從定理本身的結構特征和幾何圖形的結構、條件和問題整合考慮，闡述如何“快”且“準”地高效運用正、余弦定理.教學結構主義的代表人物布魯納強調：就是學習事物是如何關聯的，便于學生記憶和正遷移，能使學生提高直覺處理問題的能力.聯合考慮問題和條件中的元素，辨別是哪個定理對應的元素，快速識別用單一定理還是“聯合行動”抑或“多次行動”.

下面通過具體案例對正、余弦定理的幾何應用進行分析.

課前檢測給出幾道小題，主要復習相關知識與相應的思想方法.

選題目的：第(1)～(3)小題的字母符號與原定理一致，便于學生提取和遷移相關知識.第(4)小題與原定理字母符號不一致，可轉化成對應的小寫字母，同時引導學生觀察余弦定理左右兩側邊與角的關系，為在較復雜圖形中正確且快速地根據原理“造等式”做準備.在解決上述簡單問題時，注意引導學生關注兩個定理的“同”與“異”.“同”在正、余弦定理本質是恒等式，因此首要功能是“造等式”，體現方程思想.“異”在元素對象不同，結構特征亦不同.正弦定理實質是3個等式，每個等式中的元素是四個量，即兩組對應邊、角，其結構特征體現了數學的對稱美和和諧美；余弦定理也是3個等式，元素是四個量，即三邊一角，而角決定選用3個等式中的哪一個.余弦定理是勾股定理的拓展延伸，注意新知識和舊知識的聯系.同時，提醒學生注意應用正弦定理求角時，有一解和兩解兩種情況需要結合“內角和定理”和“大邊對大角，小邊對小角”進行檢驗取舍，而余弦定理求角是唯一解.因此，在有選擇的前提下，優選余弦定理求角.正、余弦定理的功能主要是兩個方面，即“造等式”和“邊角互化”.

2 經典題例，突破問題

思路探求：本題是正、余弦定理的幾何應用，題目中的字母符號與原定理不一致.首先，要求學生明確原定理中的元素對象及其關系，才能正確地“造等式”.其次，題目的順利解決還需要學生充分了解圖形的結構特征，即大三角形分成兩個小三角形，兩個小三角形有一條公共邊、一對互補內角.這些特殊之處就是聯系之處，就是架構關系式之處，是解題的關鍵.另外，沒有被切割的∠B，∠C是兩個三角形的內角，根據需要選擇三角形，一般選擇已知條件多的三角形利用定理構造等式(或方程組).根據上述分析，自然生成下面兩種解法.

解法1：利用兩個小三角形的一對互補角建立等式，兩個小三角形內涉及的元素都是三邊一角，故都使用余弦定理建立方程.

設BC=2m，則BD=CD=m.

又∠ADB+∠ADC=180°，所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0，即m2-6+m2-2=0.

解得m2=4，m=2，故BC=4.

圖1

解法2：利用∠B是圖1中△ABC與△ABD的內角構建等式，兩個三角形內涉及的元素亦是三邊一角，故使用余弦定理建立方程.

3 側重綜合，關注應用

圖2

3.1 與三角函數的綜合

(1)求sinC的值；

思路探求：(1)圖2中的∠C是兩個三角形的內角，而△ABC中條件相對充分.梳理題目已知條件可知既不是三邊一角，也不是兩組對應邊、角，因此判斷是“聯合行動”，先由余弦定理解得邊b，再由正弦定理求sinC.當然，亦可由余弦定理解得cosC，再由同角三角函數基式關系式求sinC.

3.2 模塊間的聯結：與橢圓的綜合

例3(2019年高考數學全國卷Ⅰ第10題)已知橢圓C的焦點為F1(-1，0)，F2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點.若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，則C的方程為( ).

思路探求：本題考查橢圓的幾何性質、焦點三角形和余弦定理.對應的圖形結構和前面一致，因此構造等式的途徑也有3種，下面給出其中一種解法.

圖3

在△ABF1中，由余弦定理得

在△AF1F2中，由余弦定理得

解得a2=3c2.

又c=1，所以a2=3，則b2=a2-c2=2.

4 利用結構特征，巧證明

4.1 證明三角形內角平分線性質定理

證明：如圖4,設∠BAD=∠CAD=α，∠ADB=β，∠ADC=γ，則β+γ=180°.

圖4

因而sinβ=sinγ.

4.2 代數問題幾何化，建立三角形幾何模型

圖5

在BC上取點D，使得BD=AD，則∠ADC=α.

5 結束語

本文主要探討在所研究的幾何模型，即大三角形分割成兩個小三角形中，結合圖形特征，通過梳理條件、結論中的元素，快速、準確地選用原理構造方程(方程組)，從而解決問題.