拋物線定長弦問題的再討論

江蘇省昆山中學(xué) (215300) 季剛祥 吳祖燕

一、問題再現(xiàn)

已知長為2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y=x2上滑動(dòng)，求AB的中點(diǎn)M到x軸的距離的最小值及中點(diǎn)M的坐標(biāo).

這是一道典型的拋物線的定長弦問題，下面筆者就這道題的解法及此類問題的一般結(jié)論談點(diǎn)拙見，不當(dāng)之處，望各位不吝賜教.

二、問題解法

分析1：考慮到線段AB是動(dòng)態(tài)的，而點(diǎn)M到x軸的距離就是它的縱坐標(biāo)，于是有如下方法.

分析2：考慮到弦長AB為定值，聯(lián)想到直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，從而有如下方法.

分析3：以上兩種方法都是通過設(shè)直線方程來解決的，由于拋物線方程的特殊性，也可以通過設(shè)點(diǎn)的方法解決.

分析4：先求出點(diǎn)M的軌跡方程，進(jìn)而求出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)范圍，來確定點(diǎn)M到x軸的距離最小值.由此得下列方法.

三、問題探索

1.拋物線的定長弦的中點(diǎn)軌跡的問題

2.與拋物線的定長弦的中點(diǎn)有關(guān)的距離問題