真實課堂深度學(xué)習(xí)
——以“數(shù)與形”例析數(shù)學(xué)課堂的深度學(xué)習(xí)

（福州市亞峰中心小學(xué)，福建福州 350103）

教學(xué)改革多年來雷聲大，雨點小，原地踏步；傳統(tǒng)教學(xué)模式重應(yīng)試，輕探究，牢不可破。教師重傳授知識，輕思想方法；學(xué)生重解題技巧，輕實踐應(yīng)用。為了改變這種頑疾，將以教為本、以師為主教學(xué)模式讓位給以學(xué)為本、以生為主的學(xué)習(xí)模式，筆者提出真實課堂，深度學(xué)習(xí)。深度學(xué)習(xí)是以真實課堂為依托，基于課堂中真實核心的問題為引領(lǐng)，以學(xué)生的真實探究為抓手，以知識的真實建構(gòu)為依歸，實現(xiàn)課堂的深度學(xué)習(xí)。［1］

人教版六年級上冊“數(shù)與形”一課的內(nèi)容核心是以數(shù)助形發(fā)現(xiàn)規(guī)律，以形助數(shù)解釋數(shù)理，數(shù)形結(jié)合解決問題。教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn)，必須讓學(xué)生親身經(jīng)歷真實核心問題的提出、真實的探究、知識真實的建構(gòu)，才能開啟數(shù)形結(jié)合之妙，體驗數(shù)形結(jié)合之本，感受數(shù)形結(jié)合之廣。［2］為了讓學(xué)生更好地通過活動體會到數(shù)與形的完美結(jié)合，教師沒有按教材原有安排進(jìn)行教學(xué)。現(xiàn)結(jié)合“數(shù)與形”一課，談?wù)勅绾螌崿F(xiàn)數(shù)學(xué)課堂的深度學(xué)習(xí)。

一、精設(shè)計，巧引導(dǎo)，真問題：深度開啟以數(shù)助形之妙

數(shù)形結(jié)合，一方面是以數(shù)助形，其本質(zhì)是生活中“形”的問題往往蘊含著“數(shù)”的規(guī)律。讓學(xué)生通過一定的觀察方法，按照一定的觀察順序，經(jīng)歷用“數(shù)”的眼光發(fā)現(xiàn)和反映生活中“形”的現(xiàn)象，凸顯用“數(shù)”解釋“形”的準(zhǔn)確、明白、入微。

在例1 中，教師先用正方形拼成的“心形”導(dǎo)入，并提出問題：同學(xué)們看到了哪些圖形（由各種顏色的小正方形組成的“心”形）？這個圖形中，用數(shù)學(xué)的眼光看到了哪些數(shù)字？讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“心”中有數(shù)（紅色正方形1 個，黃色正方形3 個，橙色正方形5 個，藍(lán)色正方形7 個，總共16 個），數(shù)中有形。接著，結(jié)合核心問題，提出學(xué)習(xí)要求：你們能不能讓“心”變形，擺成新的圖案？要求既容易看出每種顏色的正方形各有幾個，又容易看出整個圖案中的正方形一共有幾個。

教師組織學(xué)生利用平板動手拼擺，然后以小組為單位完成作品。有的小組按照顏色擺成“階梯狀圖”（圖1）；有的小組按照顏色擺成“塔狀圖”（圖2）；有的小組擺成正方形的圖，但圖中各種顏色的正方形分布零亂（圖3）；有的小組按“曲尺形”分顏色拼成正方形圖（圖4）。教師展示每個小組的作品，由小組代表匯報想法。經(jīng)過匯報、追問、質(zhì)疑、對比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“階梯狀圖”或“塔狀圖”這兩種擺法，雖容易看出每種顏色的正方形各有幾個，但是不容易看出整個圖案中的正方形一共有幾個；正方形的圖雖容易看出整個圖案中的正方形一共有幾個，但不容易看出每種顏色的正方形各有幾個。學(xué)生經(jīng)過嘗試、調(diào)整、投票表決過程，最終明確：只有按“曲尺形”分顏色拼組成的正方形圖，不僅能一眼看出有4×4=16 個小正方形，還能從中看到1、3、5、7 各種顏色的正方形塊數(shù)。這樣的教學(xué)在圖形與數(shù)之間建立起某種奇妙的聯(lián)系，使學(xué)生初步感受到1+3+5+7=16=42，逐步發(fā)現(xiàn)“平方數(shù)”的秘密。

圖1

圖2

圖3

圖4

最后，教師讓各小組找一個自己喜歡的平方數(shù)，舉例、驗證、總結(jié)規(guī)律、應(yīng)用。（表1）

表1

教師提出核心問題，精心組織小組合作，設(shè)計變“心”活動，引導(dǎo)學(xué)生通過匯報、質(zhì)疑、比較，初步發(fā)現(xiàn)正方形總個數(shù)16（4 的平方）正好等于從1 開始的4 個連續(xù)奇數(shù)的和。大膽猜測，實驗驗證，自然建立起平方數(shù)和從1 開始的連續(xù)奇數(shù)的和之間的聯(lián)系，實現(xiàn)二者的互化，深度開啟以數(shù)助形之妙。

二、會觀察，敢質(zhì)疑，真探究：深度體驗以形助數(shù)之本

數(shù)形結(jié)合，另一方面是以形助數(shù)，其本質(zhì)是“數(shù)”的問題也可借助“形”的直觀來解決。“數(shù)”往往是生活中的“形”的反映，所以一組數(shù)列的應(yīng)用，不能只是通過化繁為簡，從簡單入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律，解決問題，更需要讓學(xué)生嘗試用“形”的直觀幫助解釋“數(shù)”的本質(zhì)，揭示數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律。

教師先將例2 改編為以下算式：

師：認(rèn)真觀察這組數(shù)列，有什么特征？

生1：分子都是1，后面一個數(shù)的分母都是前一個分?jǐn)?shù)的分母×2。

接著，提出小組學(xué)習(xí)要求：你能利用規(guī)律，直接寫出答案嗎？你能解釋其中的道理嗎？學(xué)生獨立思考，小組討論，分工合作，然后以小組為單位完成作品并分享。

師：如果這些分?jǐn)?shù)不斷加下去，和會怎么樣？

生：和會等于1。

師：這就是數(shù)學(xué)中常見的極值思想。其實，在學(xué)習(xí)圓面積公式轉(zhuǎn)化時，也有碰到過類似現(xiàn)象，圓形無限切拼形成的就是長方形。

圖5

通過類似的兩道題目由淺入深的安排，巧妙引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從簡單入手觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律，并且學(xué)會畫圖來直觀解釋其中道理的學(xué)習(xí)方法。在學(xué)生質(zhì)疑結(jié)果等于1 還是約等于1 的環(huán)節(jié)，教師主動介入，用課件直觀演示+……的轉(zhuǎn)化過程，引導(dǎo)討論，形成了統(tǒng)一的意見。不僅讓學(xué)生掌握解題技巧，學(xué)會借助“形”來解釋“數(shù)”，滲透極值的思想，更深度體會到以形助數(shù)之本。

三、明數(shù)理，善梳理，真建構(gòu)：深度感受數(shù)形結(jié)合之廣

數(shù)學(xué)就是研究數(shù)與形的科學(xué)，數(shù)中有形，形中有數(shù)。華羅庚形象生動地指出二者的關(guān)系：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，以形助數(shù)和以數(shù)助形就是數(shù)形結(jié)合的兩個方面，以形助數(shù)更直觀，以數(shù)助形更簡單。［3］

例題之后，讓學(xué)生做拓展提高的練習(xí)，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的好處。在這節(jié)課的尾聲，教師提醒學(xué)生：“其實數(shù)形結(jié)合一點都不陌生。從一年級到六年級，大家經(jīng)常使用數(shù)形結(jié)合的思考方法解決問題。”讓學(xué)生暢所欲言，學(xué)生紛紛舉例說明。教師實時推出整理好的數(shù)形結(jié)合的微課，幫助學(xué)生回顧各年級數(shù)形結(jié)合的典型例子，梳理、建構(gòu)如下：

如一年級的退位減、進(jìn)位加，借助小棒理解算理（圖6）；三年級學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)，借助點子圖理解算理（圖7）；六年級學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘除法時，借助線段圖，分析題目中的數(shù)量關(guān)系（圖8）。數(shù)與形被看作某些幾何圖形中的點數(shù)的數(shù)目，成為幾何和算術(shù)之間的紐帶，如三角形數(shù)（圖9）、正方形數(shù)（圖10）（本課學(xué)習(xí)內(nèi)容）、五邊形數(shù)（圖11）等。

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

教師最后總結(jié)：“歷史上，數(shù)形結(jié)合一直很緊密，用幾何（形）方法解決代數(shù)（數(shù)）問題，用代數(shù)（數(shù)）方法處理幾何（形）問題，正是這種數(shù)形結(jié)合促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，同學(xué)們將會遇到更多精妙的數(shù)形結(jié)合的例子，比如負(fù)數(shù)、圓柱、圓錐、函數(shù)等（圖12）。數(shù)學(xué)是一個精彩紛呈的廣闊世界，關(guān)于數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)、探索、發(fā)現(xiàn)，你準(zhǔn)備好了嗎？”

數(shù)形結(jié)合在小學(xué)階段數(shù)學(xué)教材中的滲透無處不在，但是學(xué)生未必有明確的意識。這段微課對數(shù)形結(jié)合的總結(jié)、梳理、建構(gòu)，使學(xué)生明確數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢，回顧梳理數(shù)形結(jié)合的例子，真正建立起數(shù)形結(jié)合模型，深度感受數(shù)形結(jié)合之廣。

圖12

總之，真實課堂是深度學(xué)習(xí)的前提，深度學(xué)習(xí)是真實課堂的歸宿，兩者相輔相成。要構(gòu)建真實課堂，深度學(xué)習(xí)的課堂，實現(xiàn)以人為本，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。真實課堂與深度學(xué)習(xí)，離不開教師的精設(shè)計，巧引導(dǎo)，真問題；離不開學(xué)生的會觀察，敢質(zhì)疑，真探究；離不開課堂的明數(shù)理，善梳理，真建構(gòu)。只有基于核心的問題為引領(lǐng)，以學(xué)生的真實探究為抓手，以知識的真實建構(gòu)為依歸的真實課堂，才是真正的深度學(xué)習(xí)。