細(xì)節(jié)重建，讓數(shù)學(xué)思維可視化

瞿芬

[摘? 要] 當(dāng)代數(shù)學(xué)家R.柯朗認(rèn)為數(shù)學(xué)是對(duì)思想及方法的基本研究，需要學(xué)習(xí)者通過(guò)數(shù)學(xué)猜想、演繹操作、思辨交流等形式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)事實(shí)。但小學(xué)階段的孩子們，受自身數(shù)學(xué)思維水平的高低所制，學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果往往產(chǎn)生了很大偏差。為緩解這樣的差距產(chǎn)生，在課堂教學(xué)中，設(shè)想借以細(xì)節(jié)重建的方式，突破芥蒂讓學(xué)生將自己在問(wèn)題解決時(shí)看不見(jiàn)的思維路徑、方法及相關(guān)的規(guī)律用圖示或文字描述等形式呈現(xiàn)。文章以“三角形面積的計(jì)算練習(xí)課”為例，從問(wèn)題解決的思路、方法兩個(gè)角度展開(kāi)論述，闡明了讓數(shù)學(xué)思維可視化、顯現(xiàn)化對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的必要性。

[關(guān)鍵詞] 細(xì)節(jié)重建;小學(xué)數(shù)學(xué);思維可視化

知識(shí)的傳授是一個(gè)復(fù)雜、持續(xù)的過(guò)程，學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果往往受到自身數(shù)學(xué)思維水平的高低所制，產(chǎn)生很大的偏差。數(shù)學(xué)思維是看不清、摸不著的身體機(jī)能的反映，很難讓教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的掌握程度做出一個(gè)明確的評(píng)判。基于此，將思維可視化的理念引入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，無(wú)疑是一個(gè)及有意義的實(shí)踐嘗試。何為“數(shù)學(xué)思維可視化”？讓學(xué)生將自己在問(wèn)題解決時(shí)看不見(jiàn)思維路徑、方法及相關(guān)的規(guī)律用圖示或文字描述等形式呈現(xiàn)。思維可視化并非簡(jiǎn)單的形式操作，它必須建立在教師對(duì)教材文本的精準(zhǔn)研讀、對(duì)課堂環(huán)節(jié)的精心設(shè)計(jì)、對(duì)教學(xué)重難點(diǎn)的細(xì)節(jié)處理，只有在課堂教學(xué)中能發(fā)現(xiàn)和優(yōu)化教學(xué)細(xì)節(jié)，適度地捕捉和利用一些輔助的課堂資源，讓學(xué)生在生動(dòng)的場(chǎng)景中呈現(xiàn)自己學(xué)習(xí)的全過(guò)程，才能讓這樣的學(xué)習(xí)理念落地開(kāi)花。

■一、改弦易轍，讓隱性的解題思路顯現(xiàn)化

當(dāng)代數(shù)學(xué)家R.柯朗認(rèn)為數(shù)學(xué)是對(duì)思想及方法的基本研究，需要學(xué)習(xí)者通過(guò)數(shù)學(xué)猜想、演繹操作、思辨交流等形式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)事實(shí)。因此，讓學(xué)生掌握知識(shí)內(nèi)在的邏輯形式和意義領(lǐng)域的相連點(diǎn)，必須在深度挖掘知識(shí)的豐富內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，跨越知識(shí)表層的學(xué)習(xí)，建立數(shù)學(xué)思維活動(dòng)新模式，進(jìn)而凸顯最高級(jí)的學(xué)習(xí)價(jià)值，使常態(tài)下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)具備可期、動(dòng)態(tài)、延續(xù)等特性。為此，教師對(duì)教學(xué)細(xì)節(jié)進(jìn)行重建、對(duì)學(xué)習(xí)媒介進(jìn)行充分的運(yùn)用，能在很大程度上讓學(xué)生數(shù)學(xué)的思維“動(dòng)”起來(lái)、“說(shuō)”出來(lái)，突破轄制的空間將問(wèn)題解決的思維路徑、規(guī)律呈現(xiàn)出來(lái)。

1. 設(shè)計(jì)“靜”到“動(dòng)”的路徑，突破變與不變的局限

數(shù)學(xué)概念是小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的基本要素，是一種靜態(tài)的資源呈現(xiàn)，為了能引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)知識(shí)意義，主動(dòng)探索、發(fā)現(xiàn)知識(shí)的聯(lián)系，必須讓其經(jīng)歷從不平衡到平衡、變與不變中不斷反復(fù)應(yīng)變的過(guò)程，才能理解概念并加以靈活地運(yùn)用。特別是在小學(xué)數(shù)學(xué)高段的學(xué)習(xí)中，更應(yīng)注重學(xué)生綜合應(yīng)用多個(gè)概念的融合處解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)。因此，設(shè)計(jì)好從“靜”到“動(dòng)”的路徑，無(wú)疑能使概念的形成達(dá)到“水到渠成”之境，更能讓學(xué)生在“畫(huà)面感”中得到意向的同化。

【教學(xué)片段回放一】

任務(wù)驅(qū)動(dòng)，感知“等底等高、面積相等”。

出示任務(wù)一：以BC為底，畫(huà)出與△ABC面積相等的三角形（見(jiàn)圖1）。

學(xué)生獨(dú)立完成任務(wù)一。

出示學(xué)生的作品（略）并反饋交流。

師：這些三角形的面積都相等嗎？為什么？

生1：這些三角形的面積都相等，因?yàn)槠叫芯€之間的距離處處相等，高就相等，再加上都是以BC為底，所以面積都相等。

師：像這樣的三角形還有嗎？

生2：有，很多。

（教師借用幾何畫(huà)板，在平行線上移動(dòng)點(diǎn)“A”得出多個(gè)面積相等的三角形）

師：我們可以移動(dòng)點(diǎn)A在這里，還可以在這里，還可以在哪里？想象一下，這里可以嗎？

師：如果這個(gè)A點(diǎn)移動(dòng)到右邊呢，想象一下，會(huì)是怎么樣的？

師：依照這樣的移動(dòng)軌跡，你覺(jué)得A點(diǎn)要符合什么條件？

生3：一定要在平行線上就可以。

師：同學(xué)們想象一下這樣的三角形你可以怎么畫(huà)，畫(huà)出的圖可能會(huì)怎么樣？

……

師：同學(xué)們，剛才我們?cè)陬^腦里畫(huà)了這么多面積相等的三角形，你有什么體會(huì)？

生4：可以畫(huà)出無(wú)數(shù)個(gè)形狀完全不同，但面積相等的三角形。

生5：這些三角形的底和高相等，面積也相等。

小結(jié)：形狀各異的三角形只要等底等高，面積就相等。

……

學(xué)生頭腦中的圖像基本上是片段式、靜態(tài)存在的，受自身學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的限制對(duì)一些幾何形體的理解就愈發(fā)覺(jué)得困難。在本課的這個(gè)環(huán)節(jié)回放中我們可以清晰地感受到教師并不拘于單純表象的建立，將學(xué)習(xí)的任務(wù)就簡(jiǎn)單地停滯在判斷三個(gè)三角形的面積是不是相等。而是善于捕捉住課堂教學(xué)的每個(gè)細(xì)節(jié)，通過(guò)設(shè)計(jì)一系列的數(shù)學(xué)問(wèn)題展示學(xué)習(xí)的路徑，借用幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示促使學(xué)生頭腦中的片段融會(huì)貫通，讓點(diǎn)A成為一個(gè)“動(dòng)點(diǎn)”，通過(guò)移一移、想一想、議一議有意識(shí)地讓比較抽象、靜態(tài)、不易理解的“等底等高，形狀不同，面積卻相等的三角形”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)在“靜動(dòng)融合、數(shù)形聯(lián)系”的方式下，尋找到數(shù)學(xué)知識(shí)“變”與“不變”的立意之處，即兼顧學(xué)生的體會(huì)，又能在頭腦中很鮮明地構(gòu)建這樣的一個(gè)空間感，讓學(xué)生的思維動(dòng)起來(lái)、活起來(lái)，在想象中成形，真正做到從小入手，見(jiàn)微知著。

2. 確立“分”到“合”的路徑，感悟同與不同的縝密

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)獲取數(shù)學(xué)思想、掌握學(xué)習(xí)方法、歸結(jié)方法步驟的過(guò)程，學(xué)生在經(jīng)歷大量的實(shí)踐活動(dòng)中，不斷積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，突破認(rèn)知的轄制進(jìn)而獲得新知。但在實(shí)際的課堂教學(xué)中教師會(huì)以最后的學(xué)習(xí)結(jié)論為依據(jù)，忽視學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的建立。如何將無(wú)形的數(shù)學(xué)思想得以完整地構(gòu)建，感悟到解數(shù)學(xué)思想的精髓，進(jìn)行知識(shí)的有效遷移，就需要教師舒展教學(xué)細(xì)節(jié)，關(guān)注動(dòng)態(tài)建構(gòu)，讓學(xué)生在同與不同的辨析中感悟所學(xué)。

【教學(xué)片段回放二】

運(yùn)用“等積變形”，化“未知”為“已知”。

出示任務(wù)二：求出△ABD的面積（見(jiàn)圖2）。

反饋交流：

師：你遇到了什么困難？

生1：△ABD的底和高不知道，沒(méi)辦法求出它的面積。

師：誰(shuí)有好建議嗎？

生2：我覺(jué)得△ABD的面積可以通過(guò)△ABC求得。

師：說(shuō)說(shuō)你是怎樣想的。

生3：從圖上可以看出，△ABD和△ABC是等底等高的。

師：你們同意他的想法嗎？誰(shuí)看出來(lái)了，能上來(lái)在圖上指一指，為什么等底、為什么等高？

生4：△ABD和△ABC有一條共同的底AB，且點(diǎn)C和D都在同一條平行線上，如果移動(dòng)C到D，他們就完全重合了，如果移動(dòng)D到C，他們也完全重合，所以△ABD和△ABC的面積相等，如果利用△ABC的已知條件求出面積，那么△ABD的面積也就知道啦。

師：你覺(jué)得他的想法有道理嗎？我們也來(lái)移一移。

（教師利用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示）

師：我們剛才是怎么求出底和高都不知道的兩個(gè)三角形的面積的？

師：是的，利用“等底等高的三角形的面積相等”這個(gè)規(guī)律，我們可以把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知的問(wèn)題。

……

把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知的問(wèn)題，是學(xué)生所要理解和掌握的一個(gè)學(xué)習(xí)方法。在本環(huán)節(jié)教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生的學(xué)習(xí)“盲區(qū)”出現(xiàn)的時(shí)候，教師既不是置之不理，也不是簡(jiǎn)單化處理——將答案直接告訴學(xué)生，而是敏銳地捕捉學(xué)生解題思路的價(jià)值，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際，巧妙地利用媒介，將知識(shí)和技能的“學(xué)”提升到思想與方法的“悟”。抓住教育時(shí)機(jī)，教師引導(dǎo)學(xué)生利用“等底等高的三角形的面積相等”這個(gè)規(guī)律，通過(guò)幾何畫(huà)板進(jìn)行新知的巧妙引導(dǎo)，將學(xué)生的數(shù)學(xué)思維暴露在眾人的面前，通過(guò)相互的交流、爭(zhēng)辯，將問(wèn)題解決的思路清晰顯現(xiàn)、引向深入，讓整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、探究的路徑清晰明朗，讓學(xué)生感受三角形形狀之“不同”與計(jì)算方法“同”之間的聯(lián)系，達(dá)到內(nèi)化提升之效。

■二、優(yōu)化序列，讓顯性的解題方法系統(tǒng)化

因?yàn)槿狈ψ銐虻谋硐鬄橹危W(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)往往會(huì)呈現(xiàn)出一種很茫然的狀態(tài)，特別對(duì)于一些有一定學(xué)習(xí)困難的孩子，他們更渴望能有一個(gè)學(xué)習(xí)的支撐點(diǎn)，幫助他們?cè)诔橄笈c形象的知識(shí)間做一個(gè)簡(jiǎn)單的搭建，處理好問(wèn)題想象、數(shù)學(xué)思維展開(kāi)的特殊關(guān)系。基于這樣的考量就需要教師有一種優(yōu)化序列的解題意識(shí)，讓學(xué)生的思維相互碰撞，讓解題方法呈現(xiàn)系統(tǒng)化，映襯古人所說(shuō)的“聚沙成堆，匯水成淵”之理。

1. 架構(gòu)“難”到“易”的路徑，建立具象與抽象的鏈接

將“雙基”延伸至“四基”，“雙能”拓展到“四能”，是2013年數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的一個(gè)重大變革，這一個(gè)變革也讓每位教師更理性地審視自己的課堂教學(xué)，用全新的教育教學(xué)理念去設(shè)計(jì)教學(xué)，做一個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)之路真正的“引路人”。只有尊重和遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，以展示思維全過(guò)程為目標(biāo)，將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型，做好“難”到“易”的自然過(guò)渡，才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在具象和抽象中自由穿梭，并獲得數(shù)學(xué)思考與情感態(tài)度的不同體驗(yàn)與拓展。

【教學(xué)片段回放三】

運(yùn)用“等積變形”，化“復(fù)雜”為“簡(jiǎn)單”。

出示任務(wù)三（見(jiàn)圖3）：

（1）求梯形ABCD中涂色部分的面積。

（2）求四邊形ABCD的面積。

學(xué)生獨(dú)立完成，分析交流。

分析第一題：

方法①：7×4÷2+3×4÷2=20（cm2）。

方法②：（7+3）×4÷2=20（cm2）。

師：你能讀懂第二種方法的解題思路嗎？

生1：我明白了，大家可以想象一下，如果把A點(diǎn)移至D點(diǎn)，也就是連接B、D兩點(diǎn)，那么就會(huì)得到一個(gè)大的△BCD。同理，如果把D點(diǎn)移至A點(diǎn)，就是連接A、C兩點(diǎn)，那么就會(huì)得到一個(gè)大的△ABC，這樣就能簡(jiǎn)單算出這個(gè)圖像涂色部分的面積了。

師：你知道他解題的依據(jù)是什么嗎？

生2：等底等高的三角形的面積相等。

分析第二題：4×10÷2=20（cm2）。

師：你看懂了嗎？

生3：很簡(jiǎn)單，延長(zhǎng)CD這條邊，將A點(diǎn)沿著平行的方向移動(dòng)，相交到延長(zhǎng)的這條直線上得到新的一個(gè)點(diǎn)E，那么就把△ABD轉(zhuǎn)化成新的△ABE，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等，就能算出啦。

師：通過(guò)這兩個(gè)問(wèn)題的解決，你有什么想和大家分享的？

生4：任何一個(gè)復(fù)雜的圖形都可以利用等積變形的數(shù)學(xué)思想變得簡(jiǎn)單。

生5：等底等高的三角形的面積相等的規(guī)律，可以讓復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。

……

在本環(huán)節(jié)的教學(xué)中，我們可以感受到當(dāng)學(xué)生的學(xué)習(xí)觸角已經(jīng)突破教材的邊界，并匯聚了足夠的學(xué)習(xí)驅(qū)動(dòng)力時(shí)，教師就可以順勢(shì)而為，在知識(shí)、方法、思想與觀念上進(jìn)行向外拓延，突破思維的局限，將學(xué)生從單一的思維中解放出來(lái)。透過(guò)多種解題方法的展示、分析、比較，學(xué)生就能真正地感悟“等積變形”的這種數(shù)學(xué)思想在實(shí)際的問(wèn)題解決中的重要作用。在整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，學(xué)生的思維經(jīng)歷從具象到抽象的回歸，抽象到具象的模式建立，讓學(xué)生的思維得以真正地打開(kāi)，并能靈活運(yùn)用相應(yīng)的方法解決問(wèn)題。

2. 把控“度”到“渡”的路徑，拓展回顧與反思的邊界

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、辨析跟進(jìn)，不斷提煉歸納的過(guò)程。小學(xué)階段的學(xué)生到中高年級(jí)都具備一定的歸納、概括和策略反思的能力，并能運(yùn)用這樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為一種解題策略為自己所用。為了能讓學(xué)生進(jìn)一步加深學(xué)習(xí)印象，形成較為完整的知識(shí)鏈，使思維得到進(jìn)一步的發(fā)展，就要讓每個(gè)孩子經(jīng)歷回顧與探討、分析與總結(jié)的階段。問(wèn)題解決的最后階段不應(yīng)該是簡(jiǎn)單的結(jié)果呈現(xiàn)，而應(yīng)該是對(duì)思路的梳理、方法的提煉。因?yàn)檫@樣一來(lái)能在很大程度上讓教師觸碰到學(xué)生思維的最深處，也影響到學(xué)生后期方法的運(yùn)用和知識(shí)的積累。

在本課的最后回顧溝通階段，教師有目的地出示了這樣兩個(gè)問(wèn)題：求這三個(gè)圖形的面積，解決過(guò)程中有什么相同的地方？回憶一下，我們研究這些復(fù)雜的圖形都是怎么做的？

學(xué)生通過(guò)比較再次對(duì)解題的策略和方法進(jìn)行了一個(gè)縱向、橫向的聯(lián)系與歸結(jié)，得出了“等底等高的三角形的面積相等”這一個(gè)特定的知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到等底等高的三角形，雖然形狀不一定相同，但面積一定相等的本質(zhì)關(guān)聯(lián)。同時(shí)通過(guò)回顧、辨析、討論，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到當(dāng)我們需要解決一些不規(guī)則的平面圖形的面積時(shí)，可以利用“等積變形”的數(shù)學(xué)思想將未知轉(zhuǎn)化成已知。根據(jù)“等底等高的三角形的面積相等”這一規(guī)律，通過(guò)想一想、畫(huà)一畫(huà)等方式打破自己的定式思維，選求最便捷的問(wèn)題解決方式讓難題迎刃而解。

思維的破冰，才能帶來(lái)學(xué)生學(xué)習(xí)行動(dòng)的破局。數(shù)學(xué)教學(xué)是一個(gè)需要教師不斷做出專(zhuān)業(yè)判斷與相應(yīng)構(gòu)思的過(guò)程，它不僅建立在教師對(duì)教材的深度研讀，更需要教師對(duì)學(xué)生的知識(shí)起點(diǎn)、認(rèn)知規(guī)律有一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)。只要我們“立足于教材，對(duì)話于教材”“走近教材，理解教材”，通過(guò)細(xì)節(jié)重構(gòu)的方式，突破自己教學(xué)的“瓶頸”，就能幫助學(xué)生在比較和活動(dòng)參與之中獲得數(shù)學(xué)感受，與新知深層地交流、對(duì)話，到達(dá)思維可視化之境。