巧用數學表征 促進問題解決

姜湘君

【關鍵詞】小學數學;數學表征;問題解決

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2021）18-0075-02

數學表征是指學生對學習的數學知識進行記錄、儲存、改組的方式。所謂數學表征能力，是指在一定的情境下，學生以自己的方式辨析、解釋、表現數學知識，根據不同的數學問題來選擇和轉化表征方式，最終解決問題的能力。在數學教學中善于運用數學表征，可以豐富學生的認知，為其抽象思維的培養提供支撐;可以使學生充分發揮學習的自主性，積極探索數學規律，發展思維能力。因此，在課堂教學中，教師要注意引導學生巧用數學表征解決數學問題，進而提高其數學表征水平，發展其數學能力。

1.運用關系表征，完善學生的認知結構。

數學學習都是從問題開始的，教師要注重通過問題解決來促進學生思考，發展其學習力。要解決問題，就需要找出已知條件和未知問題之間的聯系，提煉出數量之間的關系。關系表征就是根據題目中所給的已知條件嘗試建立、表述數量關系，進而解決問題。

如教學蘇教版六上 “百分數應用題的整理與練習”，筆者認為，無論是關于納稅、利息、折扣的實際問題，還是解決稍復雜的百分數問題，都離不開對基本數量關系的分析和理解。于是，筆者抓住這三類問題中的數量關系進行教學：（1）求一個數的百分之幾是多少;（2）已知一個數的百分之幾是多少，求這個數;（3）求一個數比另一個數多（少）百分之幾。首先出示下述問題：（1）學生參加鍛煉，跳繩的有100人，長跑的比跳繩的多10%，參加長跑的有多少人？（2）學生參加鍛煉，參加長跑的有90人，比跳繩的少10%，參加跳繩的有多少人？（3）學生參加鍛煉，跳繩的有100人，長跑的有90人，長跑的比跳繩的少了百分之幾？讓學生先獨立思考，然后簡單地表述思路，再列出綜合算式并計算。之后，讓學生辨析異同：相同之處是單位“1”相同，數量關系都是單位“1”× 分率=對應的數量;不同之處是單位“1”已知或未知，所求數量不同，以此確定用乘法來計算還是用除法來計算。學生在多次比較中體會到了不同類型的問題之間的相同之處，充分利用“求一個數的幾分之幾是多少”的基本數量關系模型，合理選擇不同的方法解題，達到了融會貫通，建立了整體性的概念體系。

在數學學習中，只有把握了知識結構，才能編織一個具有生命力的、處于運動中的思維網絡，才能掌握蘊含在各個概念相互關系中的思維模式。上述案例中，教師根據學生的表征水平進行教學，引導學生抓住數量關系分析問題，確定解題思路，促進學生發展了關系表征能力，完善了認知結構。

2.運用圖式表征，促進學生理解題意。

皮亞杰的發生認知論告訴我們，在新穎的刺激物的反復作用下，兒童的圖式才會發生調節，認知的開放性才會戰勝封閉性。圖式表征主要是用實物圖、示意圖、線段圖等圖式表示信息的內涵，幫助學生理解題目中的信息，建立問題的空間模型，從而解決問題。小學高年級學生已經有了一定的抽象思維能力，但仍然需要形象思維的支撐。教師在教學中注重鼓勵學生運用圖式表征準確表示題目中的信息，能促進他們從直觀到抽象，發展分析問題的能力。

比如，教學“百分數”時有這樣一道題：小明爸爸九月份的工資是6800元，超出5000元的部分需按照5%的比例繳納個人所得稅，小明爸爸實際拿到的工資是多少元？這道題看似容易，但是因為缺乏生活經驗，總有學生解答錯誤。其實，教師可以引導學生用線段圖或方形圖或圓形圖等表示小明爸爸九月份的工資6800元，再在相應的圖形中表示出超出5000元的部分和需要繳納的個人所得稅，最后很容易就能求出實際拿到的工資。運用圖式表征教學，能使學生的學習形式更豐富，學習內涵更突出，既能豐富學生的感知，又能使學生獲得更多解決問題的方法。

3.運用符號表征，讓學生感受知識的抽象過程。

符號表征是指用數學符號表示數學對象，這有助于抽象、概括出數學對象的本質。小學生的符號表征能力是從簡單到復雜、有層次地發展的。教師可以從直觀情境中引入學習，逐步抽象出數學符號，再鞏固符號表征，這樣做，有利于學生感知知識的抽象過程。

小學生已有用字母表示運算律和圖形的計算公式的學習經驗，已經初步感受到了符號表征的簡潔和方便。蘇教版五下“用字母表示數”要求學生先找出數量關系，再用含有字母的式子表示這種關系，它代表了一種結果，是算術思維向代數思維過渡的起點，是學生學習方程的基礎。教學時，筆者以猜謎游戲導入，引導學生得出字母可以表示特定的數，然后以擺小棒這個具體的活動為例，引領學生逐步把所有的情況表示出來，引出用字母可以表示所有這些關系的數，接著追問：a是一個特定的數嗎？它還可以表示哪些數？使學生了解到a不僅可以表示特定的數，還可以表示變化的數，并通過對一些關鍵詞進行追問，使學生理解符號的表示范圍。學生從具體事例開始深入學習，從詞語表征慢慢向符號表征過渡，體會到了用字母表示數的必要性和優越性，體會到了符號表征的適用性，為后面的學習打下了基礎。

總之，在數學教學中，教師要注重靈活運用關系表征、圖式表征、符號表征，幫助學生將數學問題具體化、簡單化、形象化，推動他們對數學問題的理解和解決。

（作者單位：南京市漢江路小學）