線性方程組在中學物理中的應用

梁治軍 張敏林 姚淑霞

摘?要：線性方程組及其應用是線性代數(shù)課程中的核心內(nèi)容，在數(shù)學相關(guān)領(lǐng)域中都有廣泛應用。本文主要通過典型實例分析闡明了線性方程組在電路及力學問題中的應用，以期為中學物理相關(guān)問題的理解和掌握提供新的思路和技巧。

關(guān)鍵詞：線性方程組;初中物理;力學;電路

1?緒論

1.1?研究背景

在許多問題中，我們常常以通過建立和求解線性方程組來獲得問題的答案，這樣可以避免一些復雜煩瑣的求解過程，使得對相關(guān)問題的分析及刻畫更為簡潔、明了。線性方程組的應用包括理論與實際兩方面。線性方程組在數(shù)學理論方面的應用非常廣泛，尤其是在解析幾何、代數(shù)學方面都有重要應用[1]。線性方程組在實際生活中的應用也相當廣泛，可以用于計算機科學、物理學、化學、通信等學科和領(lǐng)域。同時，還可以用于理工科的后續(xù)課程中，比如電路、理論力學、信號與系統(tǒng)、系統(tǒng)動力學、自動控制原理等課程[23]。

為了能更好地應用線性方程組理論知識解決物理中的相關(guān)問題，可以在問題求解過程中有意識地聯(lián)系相關(guān)理論知識及其與已知條件的聯(lián)系，通過變量的轉(zhuǎn)化，將研究的物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，借助于數(shù)學方法達到有效、快捷的解決實際問題的目的[34]。

本文通過舉例介紹了行列式在物理學中的應用，揭示了物理語言與數(shù)學語言之間的關(guān)系以及轉(zhuǎn)換技巧，以便學者能夠借助數(shù)學知識和技巧解決中學物理中的相關(guān)問題。

1.2?線性方程組的定義

其中x1，x2，…，xn代表未知量，aij（i，j=1，2，…n）代表未知量的系數(shù)，bi（i=1，2，…，n）代表常數(shù)項。

線性方程組（1）的一個解指的是這樣一組數(shù)（k1，k2，…，kn），用它們依次代替（1）中的未知量x1，x2，…，xn后，（1）的每一個方程都是恒等式。

1.3?克拉姆法則

若n個未知數(shù)，n個方程的線性方程組（1）的系數(shù)行列式D≠0，則該線性方程組有唯一解，其解可表示為xi=DiD，其中Di是把系數(shù)行列式D的第i列的元素用常數(shù)項b1，b2，…bn代替后所得到的n階行列式。

例1[4]設(shè)某質(zhì)點軌跡為曲線y=a0+a1x+a2x2+a3x3，且軌跡通過已知的四點（1，3），（2，4），（3，3），（4，3），求系數(shù)a0，a1，a2，a3。

由克拉默法則得其系數(shù)行列式不等于零，由此，上述方程組有唯一解：a0=3，a1=-32，a2=2，a3=-12。

2?線性方程組在物理中的應用

2.1?線性方程組在電路中的應用

例2[5]設(shè)各個節(jié)點的電流圖如圖1所示，我們可以由基爾霍夫第一定律（即在電路中，任一節(jié)點處各支路電流的代數(shù)和在任一瞬時恒為零），把流入節(jié)點的電流取為負的，流出節(jié)點的電流取為正的。

故可求出各個支路的電流，聯(lián)立可以得到下列線性方程組：

求解上述線性方程組，可得其解為：

因為i1，i2，i3，i4，i5，i6都是正數(shù)，故通解中的3個任意常數(shù)應同時滿足條件：k1<0，k2>k3>-k1。若取k1=-1，k2=3，k3=2，由此可得：i1=1，i2=2，i3=1，i4=1，i5=3，i6=2。

例3[6]如圖2所示，在直流電路中，已知ε1，r1，ε2，r2，ε3，r3，R1，R2，R3，R4，求I1，I2，I3。

2.2?線性方程組在力學中的應用

例4[6]如圖3所示，質(zhì)量m2的物體放在水平面上，其上有一個質(zhì)量為m1的物體，若一切阻力不計，求m1相對于m2的加速度a1，m2的加速度a2以及它們受到的支持力N1，N2。

通過求解上述關(guān)于a1，a2，N1，N2的線性方程組即可得所求量。

例5[6]如圖4所示，圓柱體A上繞著繩子，繩子跨過一定滑輪B與物體C相連。設(shè)A，B，C的質(zhì)量均為m，圓柱體和定滑輪的半徑均為R，系統(tǒng)從靜止開始運動。求物體C下落h后的速度和加速度（假設(shè)圓柱體與接觸面間、滑輪與繩子間都無相對運動）。

其中，J=mR2/2為轉(zhuǎn)動慣量，f為圓柱體A受到的摩擦力，β1為滑輪B的角加速度，a=Rβ1為線加速度，β2為圓柱A的角加速度，aC=Rβ2為圓柱A的質(zhì)心加速度，且有a=aC+Rβ2。

通過求解上述關(guān)于β1，β2，T1，T2的線性方程組可得物體C下落h后的速度和加速度。

例6[3]求自旋角動量在（cosα，cosβ，cosγ）方向的投影n=xcosα+ycosβ+zcosγ的本征值。

解由量子力學[7]可知F^（x，hix）Ψ（x，t）=λΨ（x，t），因此，F(xiàn)11-λF12…F1n…

上述齊次線性方程組有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式為零，即得F11-λF12…F1n…F21F22-λ…F2n…Fn1Fn2…Fnn-λ…=0。

而n的矩陣元為：

相應的久期方程為：

由此解得λ=±2。

這里的λ即為n的本征值。

參考文獻：

[1]李海英.齊次線性方程組的應用研究[J].太原城市職業(yè)技術(shù)學院學報，2013，000（002）：164165.

[2]王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]石會萍.行列式、矩陣在量子力學中的應用[J].滄州師范學院學報，2014（01）：3236.

[4]黃美東，王宇飛，劉士余，等.物理類專業(yè)《線性代數(shù)》教學方法改進的研究與實踐[J].高教學刊，2016（17）：123124.

[5]王民權(quán)，應立恒，梅曉妍.電工基礎(chǔ)[M].清華大學出版社，2013.

[6]https：//max.book118.com/html/2017/1103/138773479.shtm.

[7]周世勛.量子力學教程[M].北京：高等教育出版社，2008.

作者簡介：梁治軍（1975—?），男，漢族，本科，中學一級教師，主要研究方向：初中物理學。