線性方程組在中學(xué)物理中的應(yīng)用

梁治軍 張敏林 姚淑霞

摘?要：線性方程組及其應(yīng)用是線性代數(shù)課程中的核心內(nèi)容，在數(shù)學(xué)相關(guān)領(lǐng)域中都有廣泛應(yīng)用。本文主要通過典型實(shí)例分析闡明了線性方程組在電路及力學(xué)問題中的應(yīng)用，以期為中學(xué)物理相關(guān)問題的理解和掌握提供新的思路和技巧。

關(guān)鍵詞：線性方程組;初中物理;力學(xué);電路

1?緒論

1.1?研究背景

在許多問題中，我們常常以通過建立和求解線性方程組來獲得問題的答案，這樣可以避免一些復(fù)雜煩瑣的求解過程，使得對相關(guān)問題的分析及刻畫更為簡潔、明了。線性方程組的應(yīng)用包括理論與實(shí)際兩方面。線性方程組在數(shù)學(xué)理論方面的應(yīng)用非常廣泛，尤其是在解析幾何、代數(shù)學(xué)方面都有重要應(yīng)用[1]。線性方程組在實(shí)際生活中的應(yīng)用也相當(dāng)廣泛，可以用于計(jì)算機(jī)科學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、通信等學(xué)科和領(lǐng)域。同時(shí)，還可以用于理工科的后續(xù)課程中，比如電路、理論力學(xué)、信號與系統(tǒng)、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、自動(dòng)控制原理等課程[23]。

為了能更好地應(yīng)用線性方程組理論知識解決物理中的相關(guān)問題，可以在問題求解過程中有意識地聯(lián)系相關(guān)理論知識及其與已知條件的聯(lián)系，通過變量的轉(zhuǎn)化，將研究的物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，借助于數(shù)學(xué)方法達(dá)到有效、快捷的解決實(shí)際問題的目的[34]。

本文通過舉例介紹了行列式在物理學(xué)中的應(yīng)用，揭示了物理語言與數(shù)學(xué)語言之間的關(guān)系以及轉(zhuǎn)換技巧，以便學(xué)者能夠借助數(shù)學(xué)知識和技巧解決中學(xué)物理中的相關(guān)問題。

1.2?線性方程組的定義

其中x1，x2，…，xn代表未知量，aij（i，j=1，2，…n）代表未知量的系數(shù)，bi（i=1，2，…，n）代表常數(shù)項(xiàng)。

線性方程組（1）的一個(gè)解指的是這樣一組數(shù)（k1，k2，…，kn），用它們依次代替（1）中的未知量x1，x2，…，xn后，（1）的每一個(gè)方程都是恒等式。

1.3?克拉姆法則

若n個(gè)未知數(shù)，n個(gè)方程的線性方程組（1）的系數(shù)行列式D≠0，則該線性方程組有唯一解，其解可表示為xi=DiD，其中Di是把系數(shù)行列式D的第i列的元素用常數(shù)項(xiàng)b1，b2，…bn代替后所得到的n階行列式。

例1[4]設(shè)某質(zhì)點(diǎn)軌跡為曲線y=a0+a1x+a2x2+a3x3，且軌跡通過已知的四點(diǎn)（1，3），（2，4），（3，3），（4，3），求系數(shù)a0，a1，a2，a3。

由克拉默法則得其系數(shù)行列式不等于零，由此，上述方程組有唯一解：a0=3，a1=-32，a2=2，a3=-12。

2?線性方程組在物理中的應(yīng)用

2.1?線性方程組在電路中的應(yīng)用

例2[5]設(shè)各個(gè)節(jié)點(diǎn)的電流圖如圖1所示，我們可以由基爾霍夫第一定律（即在電路中，任一節(jié)點(diǎn)處各支路電流的代數(shù)和在任一瞬時(shí)恒為零），把流入節(jié)點(diǎn)的電流取為負(fù)的，流出節(jié)點(diǎn)的電流取為正的。

故可求出各個(gè)支路的電流，聯(lián)立可以得到下列線性方程組：

求解上述線性方程組，可得其解為：

因?yàn)閕1，i2，i3，i4，i5，i6都是正數(shù)，故通解中的3個(gè)任意常數(shù)應(yīng)同時(shí)滿足條件：k1<0，k2>k3>-k1。若取k1=-1，k2=3，k3=2，由此可得：i1=1，i2=2，i3=1，i4=1，i5=3，i6=2。

例3[6]如圖2所示，在直流電路中，已知ε1，r1，ε2，r2，ε3，r3，R1，R2，R3，R4，求I1，I2，I3。

2.2?線性方程組在力學(xué)中的應(yīng)用

例4[6]如圖3所示，質(zhì)量m2的物體放在水平面上，其上有一個(gè)質(zhì)量為m1的物體，若一切阻力不計(jì)，求m1相對于m2的加速度a1，m2的加速度a2以及它們受到的支持力N1，N2。

通過求解上述關(guān)于a1，a2，N1，N2的線性方程組即可得所求量。

例5[6]如圖4所示，圓柱體A上繞著繩子，繩子跨過一定滑輪B與物體C相連。設(shè)A，B，C的質(zhì)量均為m，圓柱體和定滑輪的半徑均為R，系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng)。求物體C下落h后的速度和加速度（假設(shè)圓柱體與接觸面間、滑輪與繩子間都無相對運(yùn)動(dòng)）。

其中，J=mR2/2為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，f為圓柱體A受到的摩擦力，β1為滑輪B的角加速度，a=Rβ1為線加速度，β2為圓柱A的角加速度，aC=Rβ2為圓柱A的質(zhì)心加速度，且有a=aC+Rβ2。

通過求解上述關(guān)于β1，β2，T1，T2的線性方程組可得物體C下落h后的速度和加速度。

例6[3]求自旋角動(dòng)量在（cosα，cosβ，cosγ）方向的投影n=xcosα+ycosβ+zcosγ的本征值。

解由量子力學(xué)[7]可知F^（x，hix）Ψ（x，t）=λΨ（x，t），因此，F(xiàn)11-λF12…F1n…

上述齊次線性方程組有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式為零，即得F11-λF12…F1n…F21F22-λ…F2n…Fn1Fn2…Fnn-λ…=0。

而n的矩陣元為：

相應(yīng)的久期方程為：

由此解得λ=±2。

這里的λ即為n的本征值。

參考文獻(xiàn)：

[1]李海英.齊次線性方程組的應(yīng)用研究[J].太原城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，000（002）：164165.

[2]王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]石會(huì)萍.行列式、矩陣在量子力學(xué)中的應(yīng)用[J].滄州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2014（01）：3236.

[4]黃美東，王宇飛，劉士余，等.物理類專業(yè)《線性代數(shù)》教學(xué)方法改進(jìn)的研究與實(shí)踐[J].高教學(xué)刊，2016（17）：123124.

[5]王民權(quán)，應(yīng)立恒，梅曉妍.電工基礎(chǔ)[M].清華大學(xué)出版社，2013.

[6]https：//max.book118.com/html/2017/1103/138773479.shtm.

[7]周世勛.量子力學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社，2008.

作者簡介：梁治軍（1975—?），男，漢族，本科，中學(xué)一級教師，主要研究方向：初中物理學(xué)。