淺談函數思想在高中數學解題中的運用分析

摘 要：函數思想的運用指的是在數學題目的解答中運用函數概念以及函數性質進行分析與轉化，進而達到解決數學問題的目的.作為一種重要的解題思想，函數思想在高中數學題目解答中占重要地位，要求學生在解題中充分考慮對應、相依關系，以及運動變化過程，將對數學問題的研究由以狀態研究為主過渡到研究變化過程的跨越.函數有一定的理解難度，要求學生有效運用數學思想將題目化繁為簡，進而充分認識問題的本質，尋找問題解答的突破口.筆者以高中階段數學題目中的不等式、數列、方程式問題為代表，探究函數思想在解決具體問題中的運用.

關鍵詞：數學思想;函數思想;解題思路;函數轉化;綜合素養

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2021）36-0018-02

在課程改革的大環境下，高中數學提倡提升學生的數學思維培養和能力提升.函數思想作為一種較為高級的思維模式，在數學題目求解過程中將函數思想運用進來可以促進解答效率的提升.所以，在日常課堂教學中，教師應將培養學生函數思維視為教學重點內容，啟發和引導高中生尋找題目的正確解題思路，促使學生透過題目復雜的現象看到本質規律，將函數思維靈活運用進來.

一、函數思維的內涵和方法

1.函數思想的內涵

函數思想是解決數學問題的一種思維方式，是量與量之間的變化關系的一種反應，對函數而言，通常是一一相對的.所以，“規律”一詞可以概括函數思維的基本內涵.比如，在y=f（x）這一函數中，以f為對應法則，變量范圍就是函數的基本構成要素.在函數中，處于重要地位的通常是自變量的變化情況，它直接決定著因變量的值.然而，對于值域而言，其結果主要是由對應法則、定義域所決定的.三者之間存在著緊密的關系.站在整體的角度來講，對應法則、因變量、自變量，三者之間的關系以及不斷變化規律均可以通過函數顯示出來.此外，運用函數思維進行數學問題的解答通常需要建立輔助函數，將問題轉化成函數形式，再運用函數性質求得結論，依據我們常用的二次函數、一次函數、正比例函數、指數函數、反比例函數等來進行題目求解.所以，函數思維中所涵蓋的內容量較大、復雜，需要學生能夠統籌兼顧函數思想，合理的運用其解答數學問題，而數學教師應做好輔助引導的工作，為學生提供解題幫助.

2.函數思想的運用方法

常用的函數思想運用方法主要有：第一，整體法，即根據題目的整體形式進行統一思考，使解題過程更加便捷.這要求學生理解整體與局部的關系，善于從整體角度把握不同信息之間的關系.第二，遞推思想法，這種方式指的是采用遞推關系探索方式進行具備一定數學規律的題目的求解，構建函數，并運用函數思想解決問題，通常這種方式要求題目有跡可循，且與函數具有共同之處，這種運用方式在數列問題中比較實用.第三，歸納假設法，即憑借不完全歸納進行數學問題的歸納假設，再進行假設驗證.在這種方法運用中通常需要建立函數，運用函數思想及其變化規律開展問題求解.

二、函數思想應用于數學解題的現實意義

1.削弱問題理解難度

高中階段數學知識難度增加，理論性強，對學生的邏輯思維要求較高，若學生的基礎薄弱，邏輯思維不強，在學習起來將具有較大難度.在數學題目的解題過程中，部分學生很難找到解題的竅門和方式，加之數學題目的內容及要求變化多樣，要求學生詳細了解已知條件、限定條件等，再進行問題的解答分析.部分學生在高中數學知識解答中憑借大量的習題訓練，或背誦模板的方式來達到解題的目的，但這樣的學習效果相對不明顯，這主要是由于學生對數學思維的理解不夠透徹而導致的.在數學問題的解題中，運用函數思想能夠促進學生對知識內容的理解，并在一定程度上降低學生對問題的理解難度，促進學生在較短的時間內尋找到更加良好的解題辦法，建立輔助函數，繪制函數圖像等，將復雜化的函數知識利用相對直觀的方式表現出來，在圖像的指引下幫助學生分析和解答問題，進而促進學生更快、更好的解答題目.

2.提升教學效率

因高中數學知識自身具有的較高難度，不但對學生的理解能力有較高的要求，為教師的教學方式也帶來更大的挑戰.教師應在教學中幫助學生尋找解題的思路和方法，使學生能夠撥開云霧見青天，找到解題的門路.函數思想的運用可對學生解題的過程發揮推動作用，教師在教學中加強函數思想的滲透、拓展，憑借函數圖像等進行問題分析，幫助學生理解題目的用意，確保教師與學生思路一致，這樣即可極大提升教學的教學效率，構建更加高效的高中數學教學課堂.

三、函數思想在高中數學中的應用1.利用函數思想解決次數列問題

在高中階段的數學知識內容中，數列題型很常見，將函數思想引入該類問題的解答過程頗具裨益.在數列中，每個數字均被視為數列的項，然而在題目的求解中則可以將每個項視為項數的函數.針對變量的規律以及變量的發展變化的研究是函數思想的本質內容，數列主要研究的是數量的分布特征.顯而易見，函數與數列之間具有一定的相通性，學生可采用數列曲線圖的方式來掌握數列的規律.然而，值得注意的是，在圖像表達中函數具有連續性，而數列屬于正數點位，這也是數列具有離散性特點的重要原因.對此，高中生務必具備對數列基本知識有所了解，再借助圖像把握其變化規律和特點，掌握二者之間的不同點，進而實現從函數角度對數列問題的解答，提升其正確性.

2.利用函數思想解決不等式問題

不等式證明在高中階段數學題目中占有較大比例，這類題型具有一定的難度，對學生的數學思維也具有較高的要求.在不等式問題的證明題類型求解時，教師和學生均發現了其解題方式與函數之間的關聯，可以將函數思想運用至不等式證明中來，從根本上講就是求解對應函數的零點、度計應區間及其單調性問題. 不等式證明要求高中生具備較好的數學邏輯思維，在充分考慮不等式形式自身的同時兼顧集的范圍.此外，并注意已知中給出的限定條件加以判斷.若不善于運用函數思想或繪制圖像，則會使學生難以理解，很容易出現解題錯誤.對此，高中數學教師在不等式題型的講解中，應加強函數思想的滲透和運用.

比如，已知不等式a2+am+3>4a+m恒成立，并且0≤m≤4，求a的取值范圍.在解題中，即可以m為自變量，建立函數：y=（a-1）m+a2-4a+3，由此，不等式即可轉換為y>0恒成立，再根據0≤m≤4這一限定條件進行分析，就可以計算出a的取值范圍，最終完成求證題目.

在此過程中，數學教師應根據學生的需求進行數學思想的滲透，引導學生在解題過程中尋求技巧，熟悉解題流程，使不等式求解的題型練習成為推動學生數學思維養成的有效方式，在不斷的運算和思考中幫助學生掌握數學思維的運用技巧.此外，教師可以針對相似題目進行類推，對已有題目舉一反三，轉變題型，反復訓練學生思維能力和函數思想應用能力，促進綜合能力發展.

3.利用函數思想解決方程式問題

在高中數學方程式問題的解答中，對于存在多個未知數的問題中，學生經常會感到困惑、束手無策，這時，善于利用函數思想將取得良好效果.首先，學生審題后可以依據題目中給出的已知條件列解析式，在根據解析式的類型進行具體分析.可以將函數式視為已知是“0”的數量，再轉化方程式，對方程式兩端進行簡要處理，對于相對復雜的方程式可以先作移項處理，再繪制方程式圖像，按照圖像依據作問題解析.

例如，“f（x）=mx2+nx+c（m>0），方程 f（x）-x=0 的兩個根 x1，x2，滿足0

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[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2021-09-25

作者簡介：李俠（1980.12-），男，山東省臨沭人，研究生，中學一級教師，從事高中數學教學研究.