“點與圓、直線與圓的位置關系復習”教學設計

江蘇省南京市第一中學馬群分校 蔡 璐

一、內容解析

本節課是蘇科版九年級上冊第二章之后的一節專題復習課。點與圓、直線與圓的位置關系的相關知識是初中數學的重要組成部分，也是中考數學的熱門考點之一，因此，需要一節專題復習課來有效地改進學生存在的問題。

二、目標解析

1.鞏固和掌握點與圓、直線與圓的位置關系的判斷方法及切線的判定和性質。

2.會用切線長定理進行計算和說明，理解三角形的內心。

3.通過具體問題構建此部分的知識結構，完善對點與圓、直線與圓的位置關系的整體認識。在探究的過程中，讓學生感受數形結合、分類討論等思想在數學問題中的作用，培養學生對數學知識的綜合運用能力。

三、教學重點、難點

重點：切線的判定定理和性質定理。

難點：靈活運用點與圓、直線與圓的位置關系的相關定理進行計算和說理。

四、教學過程

1.問題探究

問題1：（播放幻燈片）過平面上一點可以畫幾條⊙O的切線？

追問1：這個點的位置可能在哪里？如何用數量關系刻畫這種位置關系？

追問2：過平面上一點可以畫一條直線，這條直線與⊙O可能有哪幾種位置關系？如何用數量關系表示呢？

追問3：直線與圓的位置關系中，最特殊的一種就是相切，那么過圓上一點如何畫出過該點的圓的切線呢？你的依據是什么？這個定理反過來又是什么？

追問4：看到圖1你能聯想到什么定理？

圖1

啟發學生用作圖來回顧點與圓的三種位置關系和直線與圓的三種位置關系，并用數量關系去刻畫這三種位置關系。通過畫切線復習切線的判定和性質以及進一步地追問復習切線長定理，并由教師在黑板梳理知識結構。

設計意圖：這里沒有通過直接羅列知識點或具體的題目來梳理基本知識，而是通過一系列作圖和由作圖引發的思考來復習相關知識點，可以激發學生的學習熱情和積極性，避免復習課的平淡乏味。從點與圓的位置關系到直線與圓的位置關系，并引出其中最特殊的一種“相切”關系，為后面的課堂圍繞“切線”展開做準備。

2.典型例題

問題2：連接OP，若PO平分∠APB，且PA與⊙O相切，那么PB也與⊙O相切嗎？如圖2，PA是⊙O的切線，切點為A，∠APO=∠QPO。PQ與⊙O也相切嗎？

追問1：通過這道題目，請你總結一下，證明直線與圓相切有哪些方法？應該如何選取適當的方法呢？

追問2：當題目中給出一條切線的條件時，我們可以聯想到什么？

學生獨立完成，教師有目的地進行巡批，巡視過程中尋找不同方法的、幾何語言書寫不規范的。如在作輔助線時，正確步驟應該是“連接OA，過O作OB⊥PQ，交PQ于點B”，學生易寫成“連接OA，過O作OB⊥PQ”。學生完成后，用投影展示以上巡批中發現的問題，并與學生討論交流。

設計意圖：在問題1學生畫出的圖形的基礎上，連接線段OP，使之成為問題2的圖形。這樣的安排不僅可以復習切線的判定和性質定理，又可以將知識連貫起來，讓學生參與到題目自然生成的過程中，不斷引發學生的思考和往下探究的興趣。問題過后及時總結和歸納方法，也是復習課提升學生相關知識認知水平的重要途徑。

問題3：通過剛才的證明我們已經知道，PQ也與⊙O相切。若把切點記為B，連接兩個切點A、B，并延長PO與⊙O分別交于點C、點D，與AB交于點E，你能得到哪些結論呢？如圖3，PA、PB是⊙O的切線，切點分別為A、B。射線PO交⊙O于點C、D，交AB于點E。根據題設條件，你能得到哪些結論？為什么？追問1：若∠APB=60°，你能推出哪些角的度數？追問2：若F為⊙O上的一個動點，那么∠F為多少度？

追問3：當題目中出現兩條切線時，我們可以聯想到什么？

追問4：問題2中已經畫出了⊙O的兩條切線，如果再畫一條⊙O的切線，與PA、PB圍成一個三角形，你有幾種不同的畫法？

學生舉手積極發言，綜合利用切線的性質與判定、切線長定理等所學知識得到不同層次的結論，教師適當地對學生的結論加以引導和歸納。

設計意圖：本題是一個開放性的問題，綜合考查了點與圓、直線與圓的位置關系的相關知識。學生的認知水平不同，得到的結論也深淺不一。這樣設置可以避免復習課一刀切的弊端，尊重學生個體的差異性，為不同層次的學生提供不同的發展機會和可能，使不同的人在數學上得到不同的發展。在兩條切線的基礎上，繼續追問第三條切線的畫法，這樣的直線有兩類，一類切點在劣弧AB上，一類切點在優弧AB上，這里也滲透了分類的思想。

問題4：改變⊙O第三條切線的位置，使其與PB垂直，所圍的三角形是一個直角三角形。如圖4，⊙O為△PMN的內切圓，切點分別為A、B、C，且∠PMN=90°。

圖2

圖3

（1）若∠PNM=40°，則∠MON=_°。

（2）若PA=4，NA=6，則⊙O的半徑為多少？

追問1：若PM=6，MN=8，則⊙O的半徑是多少？

追問2：當題目中出現三條切線時，我們可以聯想到什么？學生先積極思考獨立完成，再通過小組匯報交流展示。

設計意圖：在問題3包含⊙O的兩條切線的圖形基礎上，添加第三條切線，引出三角形的內切圓的問題，延續了前面問題的探究思路，即從包含一條切線的圖形到包含兩條切線的圖形，再到包含三條切線的圖形，問題的設置也是由易到難、由簡單到復雜，符合學生的認知規律。

3.課堂練習，及時反饋，檢驗學習成果

（1）已知半徑為5的圓，其圓心到某直線的距離是3，此時直線和圓的位置關系為( )

A. 相離 B. 相切 C. 相交 D. 無法確定

（2）如圖5，直線l是⊙O的切線，A為切點，B為直線l上一點，連接OB交⊙O于點C。若AB＝12，OA＝5，則BC的長為( )

A. 15 B. 6 C. 7 D. 8

（3）如圖6，PA、PB分別切⊙O于點A、B，∠AOP＝50°，則∠PAB＝_____°，∠OPB＝______°。

（4）已知直角三角形的三邊長分別為3，4，5，則這個三角形的內切圓半徑是________。

圖6

圖5

圖7

（5）如圖7，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB于點P，且PC＝BC。求證：BC是⊙O的切線。

4.歸納總結

教師：今天這節課我們復習了點與圓、直線與圓的位置關系的哪些知識？運用了哪些數學思想方法？能不能和大家交流一下你的收獲？

學生積極發言，交流想法，分享復習成果，教師根據學生所述進行適當補充和概括，最后評價學生本節課的學習過程和結果。

設計意圖：及時的總結可以鞏固本節知識，并將知識在歸納和反思中升華，使學生內化于心，靈活運用于證明各種與點與圓、直線與圓的位置關系相關的題目。

五、教學設計說明

本節課從畫圖入手，讓學生畫出點與圓的位置關系和直線與圓的位置關系，引出直線與圓相切的基本圖形，課堂都是圍繞切線開展，不斷地在圖上添加一些線，生成新的圖形。從包含一條切線組成的圖形引出切線的性質和判定定理，到包含兩條切線組成的圖形引出切線長定理，再到包含三條切線組成的圖形引出三角形的內切圓，使得與切線相關的知識聯系在一起，讓學生的知識系統化，掌握得更加穩固。同時在問題的探究中，不斷滲透數形結合、分類等重要的數學思想，在每個問題后也引導學生及時地歸納總結，培養學生利用相關知識解決綜合問題的能力。