深度學習視角下數學關鍵性概念的教學探索

張琪 虞秀云

[摘? 要] 數學概念反映了現實世界空間形式和數量關系的本質屬性，是培養學生數學素養的重要內容. 文章基于深度學習理論，以向量概念的教學為例，探索如何實現數學概念的深度學習.

[關鍵詞] 數學概念;深度學習;平面向量;教學設計

在高中數學中，有很多關鍵性的概念，如集合、函數、向量、復數等，它們是存在于人類思維中的抽象物，蘊含著豐富的數學思想和方法，是把握數學本質、啟發學生高階思維的重要載體. 但在當前的數學教學中，機械的、死記硬背的概念學習帶來的只是碎片化、孤立的淺層知識. 《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質[1]. 在這一背景下，數學教學有必要從淺層學習向深度學習轉變. 本文就深度學習如何落實到向量概念教學中進行了初步探索.

數學概念的深度學習

數學概念構成了學科的骨架，高度凝練出數學知識的本質，這決定了數學概念需要學生進行深度學習. 正如黎加厚教授指出：深度學習意味著理解與批判、聯系與構建、遷移與應用[2]. 筆者認為，指向數學概念的深度學習也有以下特征：（1）批判性地理解復雜的數學概念，體驗概念形成過程;（2）關注概念間的相互聯系，建構完整的知識結構體系;（3）面向問題解決，實現遷移應用.

“平面向量的概念”教學設計

“從位移、速度、力到向量”選自《普通高中課程標準實驗教科書·數學（必修4）》（北京師范大學出版社，2004）第二章第1節.

1. 內容解析，解讀教材本質

向量的概念是平面向量這一章的起始課，更是研究向量的出發點. 作為高中數學重要概念之一，向量理論具有深刻的數學內涵、豐富的物理背景，兼有“數”“形”的雙重屬性，為學生開拓了研究數學問題的新思路. 但是，作為數學思維的對象，向量“脫離”了現實世界，學生往往對向量的性質、零向量、自由向量等人為規定感到困惑. 因此，教學設計將圍繞“向量是什么”“向量是如何抽象得到的”“類比數的學習思路，我們如何研究向量”這三個問題，幫助學生深入理解概念的本質屬性.

2. 學情分析，關注知識起點

學生不是空著腦袋進入課堂的，讓原有知識結構成為新知的“生長點”，教學可以事半功倍. 對于向量概念的學習，可以類比數的抽象、有理數、實數等學習內容，體會概念學習的基本思路，有序展開平面向量的學習. 對于本節內容，學生新舊知識的聯系如圖1所示.

3. 教學過程

（1）創設情境，親歷抽象過程.

視頻播放：射擊運動員射擊比賽（如圖2）.

問題1：射擊運動員射中靶子的過程中涉及了物理中的哪些量？

問題2：力和位移是物理中的量，它們有什么特點？生活中還有這樣的量嗎？

問題3：這些量和我們數學中的數量有什么區別？

預設活動：教師引導學生從對力、位移的分析中，歸納出它們的共同特征——方向與大小，并對比數量，突出向量的特征，從而自然地引出向量的定義：在數學中，我們把這種既有大小又有方向的量叫作向量.

設計意圖：借助豐富的物理背景，親身經歷從“大小”和“方向”兩個要素抽象出數學概念的過程，揭開數學概念神秘的面紗，讓學生感受到數學概念來源于真實的生活，從而激發深度學習的動機.

問題4：既然物理中已經有了矢量，有大小又有方向，為什么今天在數學課上，我們還要給它一個新名字“向量”呢？它們有什么區別？

預設活動：通過積極思考，交流討論，學生能夠認識到：向量雖然來源于對力、位移等矢量的抽象，但是不同于物理中的重力、浮力有作用點，可以感受到，向量是存在思維中的數學模型，二者有著本質的區別.

追問：數量可以比較大小，向量也有“大小”屬性，是不是也可以比較大小？

預設回答：不可以，向量有大小又有方向，作為一個整體的向量不可以比較大小.

設計意圖：對矢量、數量、向量三者的類比辨析，可以引發學生的批判性思考，避免概念學習的表面化，深刻地認識到數學有別于其他學科的高度抽象性，在數學知識的聯系與區別中加深理解.

（2）類比探究，深入概念本質

①向量的表示

問題1：剛剛我們對比了數量和向量的區別，現在不妨回憶一下數的學習，通過一支筆、一棵樹……我們抽象出了數，緊接著呢？

預設回答：學習了阿拉伯數字.

追問：也就是數的表示，除了阿拉伯數字，還可以怎么表示數？

預設回答：還有字母符號表示數或者用數軸上的點表示數.

問題2：同樣地，在對向量下定義之后，我們要研究什么問題？

預設回答：向量的表示.

追問：請同學們類比數的圖形與符號表示法，想一想怎么表示出向量的“大小”和“方向”？

預設活動：在學生動手嘗試后，引導學生不斷完善得出：用帶有箭頭的有向線段表示向量的幾何法;接著回到書本，介紹向量的符號表示法;最后介紹向量的模——用符號表示向量的大小.

設計意圖：通過回顧數的認識中，從抽象到表示的學習順序，自然地引出探究問題——向量的表示，化被動灌輸為主動探究，并類比數的圖形、符號的表示，使得向量的數與形的表示自然而然地為學生所接受.

②零向量與單位向量

問題1：（1）在數的學習中，我們認識了0和1這兩個特殊的數，它們有哪些含義？舉例說明.

（2）同學們猜想一下，有特殊的向量嗎？是什么？

（3）零向量既然是向量，除了大小，還應該有方向，它的方向應該朝向哪里？為什么？

預設活動：師生交流討論，先回顧0和1的含義：0可以表示沒有或者正負的分界線;1可以指數量“1”，還可以表示單位“1”. 通過類比，認識到引入零向量和單位向量的合理性與必要性. 接著認識二者的特點，對于零向量的方向，可以將其想象為地圖上的一個人，那么這個靜止的人可以朝任何方向移動，經過辨析，學生會發現規定零向量的方向是任意的最為合適.

設計意圖：深度學習要求學生真正地理解并接受數學概念，對于零向量的方向，學生往往感到困惑，教師可以創造性地利用生活情境，幫助學生理解抽象的數學規定，感受數學來源于生活，但又高于生活.

③相等向量、平行向量與共線向量

問題1：數量之間有相等和不等關系，向量之間也有著特殊的關系. 仔細觀察下面的正六邊形（圖3），試著給線段加上箭頭表示向量，并判斷它們的關系，舉例說明.

預設活動：在給予充分的思考、交流時間后，學生很容易發現圖中的相等向量、平行向量與共線向量，獲得對向量關系的初步認識.

追問：為什么 ， ， ， 這四個起點不同的向量是相等向量？

生：通過平移，它們可以重合在一起，說明大小和方向都相等.

師：很好，這說明向量與起始位置無關，回到定義我們也可以發現，向量僅由“大小”和“方向”確定，因此向量是“自由的”. 此外，在后面的學習中，如果我們繼續考慮起點問題，向量的研究將會處處受限.

追問：既然向量是自由的，那么借助平移，將平行的向量平移到一條直線上，是什么？這說明什么？

預設回答：共線向量，這說明平面向量可以“自由”平移，因此平行向量和共線向量沒有區別，只是稱呼不同.

師生總結：長度相等且方向相同的向量叫作相等向量;兩個向量所在的直線平行或重合，叫作平行或共線向量.

設計意圖：在平面幾何中，平行與共線是兩種情況，而對于向量卻是一樣的. 因此，“為什么向量是自由的？”是理解向量平行與共線的關鍵. 教學中不能回避這個問題，回到定義，調動學生的高階思維，認識到只有抓住數學研究對象的本質屬性，拋開非本質因素，才能避免干擾，順利展開數學研究.

（3）深化概念，助力問題解決

例1：判斷下列命題的正誤：

（1）若兩個向量相等，那么它們的起點和終點都相同;

（2）若a=b，則a=b;

（3）若a>b，則a>b;

（3）若m=n，n=k，則m=k.

設計意圖：從學生理解概念的易錯點出發，鞏固概念.

例2：將平面上所有單位向量的起點放在同一點，那么終點所構成的圖形是什么？

設計意圖：鼓勵學生動手畫圖，大膽猜想，發散思維，感受單位向量與單位圓之間的有趣聯系.

例3：已知O為四邊形ABCD所在平面內一點，且向量 ， ， ， 滿足等式 + = + ，則四邊形ABCD是什么？

設計意圖：深度學習面向問題解決，利用向量知識解決簡單幾何問題，初步感受向量的工具性作用——連接數與形的橋梁.

（4）信息整合，建構概念網絡

師：回顧本節課，我們學習了向量的哪些知識？請試著畫圖歸納.

師生活動：鼓勵學生動手畫圖，師生交流完善，建構向量知識網絡（如圖4）.

設計意圖：深度學習反對零散的、孤立的知識結構，通過梳理，建立向量概念的圖式結構，有助于學生知識的記憶與提取.

（5）回顧整理，積累研究經驗

師：這堂課，我們經歷了向量概念的抽象，并類比數的認識，探索了向量的表示、特殊的向量和向量間的關系，同學們猜一猜，下節課，我們應該研究向量的什么？

預設回答：向量的運算和應用.

追問：在數學學習中，我們已經認識了很多數學概念，也正在學習平面向量這一重要概念，在今后還將繼續學習其他的數學概念，那么回顧我們的學習，能否總結出數學概念學習的基本套路？

師生總結：抽象—下定義—數學表示—分析屬性—運算—應用.

設計意圖：數學的學習沒有終點，通過開放性的思考問題，歸納總結數學概念學習的基本套路，能在相似的情境中靈活地運用，這正是深度學習所強調的.

教學啟示

1. 親歷概念的形成，獲得概念學習的深度體驗

深度體驗是深度學習得以展開的基礎. 在本例中，通過聯系物理背景，創造性地展開類比、歸納、概括、抽象等思維活動，將學生的認識不斷引向深處，形成平面向量的概念. 一方面，在切身的體驗與探索中，學生可以感受數學概念不同于其他學科的抽象性[3]，從而認識“數學抽象”的魅力;另一方面，只有讓學生在生動活潑的思考、討論中，體驗概念的產生過程，對數學概念有了自己的認識，才有可能產生深度的學習.

2. 新舊聯系與整合，實現數學概念的深度加工

新舊知識的聯系與整合，是深度加工數學概念的有效手段. 與之相反，淺層學習下零散、孤立的知識體系，難以實現數學概念的長期保持. 在本例中，面對平面向量這一概念，首要的任務是激活學生頭腦中的已有的概念學習經驗和相似概念——矢量與數量，在新舊的有意義聯系中，通過正向遷移與類比，建構新概念. 其次，基于習得的概念，鼓勵學生畫出概念圖，理清知識脈絡，實現思維可視化表征. 最后，暢想下一步要做什么——向量的運算與應用. 從整體上把握數學概念學習的一般過程，使學生的認識得到擴展，從而擺脫頭腦中碎片化的粗糙結構.

3. 把握本質與思想，促進數學思維的深度發展

數學思維的發展是實現深度學習的突破口，概念教學不應該僅停留在表面的淺嘗輒止，而要基于數學概念的本質與思想特征，指向學生數學思維的深刻性發展. 本例中，對于平面向量的教學，掌握向量的大小、方向，特殊的向量等知識固然重要，但更應該讓學生理解這些概念規定引進的必要性以及合理性，通過“向量和矢量的區別”“為什么向量是自由的”“數學概念學習的一般方法”等問題，激發學生對知識本質和思想方法的思考與總結，從而實現數學思維的深度發展.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準[M]. 人民教育出版社，2017.

[2]? 何玲，黎加厚. 促進學生深度學習[J]. 現代教學，2005（05）.

[3]? 劉詠梅. 影響數學觀的中學向量概念的教學[J]. 數學教育學報，2009，18（04）.