關于初中生數學學習中思維的比較研究

郭智

[摘? 要] 無論在什么樣的教學背景下，思維一直受到數學教師的重視;數學學科核心素養的每一個要素，都是思維的產物. 借助于比較研究的方法，將思維激活與數學發展、思維激活與思維定式、思維激活與學習反思三個關系進行研究，可以更加深刻地認識在初中數學教學中激活學生思維的重要意義，并找到激活學生思維的操作辦法.

[關鍵詞] 初中數學;初中生;數學學習;思維激活

思維被譽為世界上最美的花朵，在初中數學教學中，培養學生的思維是根本任務. 無論在什么樣的教學背景下，思維一直受到數學教師的重視，即便是在“雙基”時代，基礎知識的積累與基本技能的形成也伴隨著對思維的高度重視;進入課程改革之后，又或者是在當前核心素養培育的語境里，思維依然受到高度重視. 盡管數學學科核心素養中沒有明確提及思維這一概念，但是數學學科核心素養的每一個要素，都是思維的產物. 數學抽象離不開思維，邏輯推理更加離不開思維，而數學模型則是思維的綜合產物，所以從這個角度講可以認為初中是培養學生數學思維的關鍵階段，而初中生正處于好奇心和學習性極強的時期，因此教師應該把握時機，對初中生的數學思維進行培養和鍛煉.

培養學生的思維需要建立在對思維有深刻理解的基礎之上，同時要以學生作為研究對象，以學生的數學學習為研究對象. 只有把握住了學生的數學學習過程，認識到學生在數學學習的過程中有哪些心理特征，才能真正號準學生數學學習過程的脈搏，從而提高數學教學的效率，讓學生的數學學科核心素養在思維培養的過程中實現落地. 本文借助于比較研究的方法，將思維激活與數學發展、思維激活與思維定式、思維激活與學習反思三個關系進行了研究，取得了一些認識，總結成文章與同行分享.

思維激活與數學發展

所謂數學發展，是指學生在數學學習的過程中，建構數學知識與解決數學問題的認知發展. 很顯然，數學發展的過程離不開學生思維的激活，如果學生的思維得不到激活，那數學發展是無法實現的. 進一步研究表明，從數學教育角度出發，可以發現學生的數學發展過程大致可分為三個階段：一是數學發現過程，即學生在數學學習的過程中，將實際問題進行數學抽象，并進行符號化處理，進而抽象成數學模型或者數學問題;二是數學完善過程，即學生在初步建立了數學模型之后，對已有數學模型進行解釋，做進一步抽象化處理，嘗試建立更新的、更完善的數學模型;三是數學應用過程，即學生運用所獲得的數學模型解決實際問題.

研究上述數學發展的過程可以發現，這樣一個數學發展的界定是圍繞數學模型的建立與數學問題的解決來進行的，事實上初中生的數學學習過程，也確實是一個建立數學模型與運用數學模型解決數學問題的過程. 而且進一步的研究發現，學生在數學學習的過程中，數學發展與數學學科核心素養中的數學抽象及數學建模兩個要素直接相關.

以“等腰三角形的性質和判定”這一內容的教學為例，當學生利用等腰三角形的對稱性發現了它的一些性質之后，證明這些性質成為主要的學習內容. 從數學發展的角度來看，當學生對等腰三角形建立了認識之后，可以認為等腰三角形就以模型的形態存在于學生的思維當中，而探究等腰三角形的性質就是豐富這一模型的過程.

再從思維的角度來看，等腰三角形性質的探究過程，必須以學生的思維激活為前提，而這里的主要激活方向就是全等三角形的運用. 比如要證明“等腰三角形的兩個底角相等”，那就必須作出等腰三角形頂角的平分線（如圖1），這是關鍵. 那么怎樣讓學生自己想到去作這條輔助線呢？筆者采取的方法是誘導：要證明∠B等于∠C，那就必須將∠B和∠C分別置于兩個可能全等的三角形當中，那么這兩個全等三角形的構造，只可能在對稱性認識的啟發之下，作頂角的角平分線.

類似的，“等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合”這一結論的得出也可以采用這種教學方法. 對于教師而言這樣的教學是一個引導的過程，對于學生而言這樣的學習是一個思維被激活的過程. 在這樣的一個過程當中，學生大腦中的等腰三角形這一模型的內涵不斷被豐富，于是思維的激活也就促進了學生的數學發展，同時數學學科核心素養要素也得到了不同程度的培養.

思維激活與思維定式

思維定式是一個非常專業的心理學詞語，思維定式又稱學習定式或學習心向，是指學生在學習的過程中，思維活動所具有的心理準備狀態. 這種由學生先前的活動和知識經驗、思維方式、習慣等構成的心理準備狀態，對后繼思維產生傾向性影響，從而使思維活動趨于一定的方向. 通常情況下，思維定式被認為是一個貶義詞，正是因為思維定式，學生無論是在數學知識的積累過程中，還是在數學問題的解決過程中，都很難有所創新. 因此很多時候，思維定式與思維激活之間就成了水火不容的矛盾.

但是專業的研究表明，這一認識是有問題的，很多時候正是學生的思維定式，使得學生能夠更好地確定數學知識學習與數學問題解決的方向. 一個非常有說服力的例子就是，在上面探究等腰三角形的性質——“等腰三角形的兩個底角相等”時，學生的思維之所以能夠被激活，很大程度上就是因為學生大腦當中有“等腰三角形是軸對稱圖形”這一基本認識，因為有這一認識，學生才能在教師的引導之下順利地想到作頂角的角平分線這一最關鍵的輔助線. 因此從這個角度講，思維定式是思維激活的前提，教師只有把握住了學生思維當中的已有材料，確定好學生起初的思維“定”在哪個水平，才能更好地進行思維的激活.

例如，上面提到的“三線合一”這一定理的證明，其實是可以交由學生自己去探究完成的. 為什么呢？因為在證實“等邊對等角”這一結論的過程中，學生的思維定式水平已經被提高了，這個時候更加豐富的對等腰三角形性質的認識，使得學生思維當中的等腰三角形模型更加完整，學生可以在這樣的思維定式水平之上，極快地發現等腰三角形頂角的角平分線同時也是底邊的中線與高.

進一步，在證明“如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等”這一結論時，學生已有的思維水平無疑定在了“等邊對等角”上，而“等邊對等角”與“等角對等邊”是命題與逆命題的關系，所以教師在激活學生思維的時候，重點應該在根據命題去尋找逆命題的正確表述上. 確定了這個重點，思維激活也就有了抓手，學生就可以在原有的思維水平上有所突破，從而順利地得到新的結論.

因此筆者認為，思維定式并不是一個貶義詞，數學教師教學中的一個重要任務，就是去研究學生的思維水平，這樣才能找到思維激活的最佳著力點.

思維激活與學習反思

思維激活，要激活的是學生的思維，學生的思維要想被真正激活，除了教師的幫助之外，更重要的是學生的內驅力. 那學生的內驅力怎樣才能形成呢？筆者在教學中發現，讓學生在學習的過程中反思，在數學問題得到解決之后反思，可以有效培養學生思維自我激活的能力. 學習反思要特別重視系統性，這是因為系統的總結與反思是數學課堂的第二次回歸，是對新知識模塊內在聯系的系統整理，是把新知識模塊通過順應與同化有機地融入已有數學認知結構的過程. 同時這也要求學生既要回歸數學教材、數學法則，更要回歸數學的基本原理，這是數學知識系列化、系統化的過程.

因為反思，學生在學習的過程中存在一個回歸的過程，回歸其實是一種感性的表述，本質上是指思維. 也就是說在總結反思的過程中，學生用學習之后的思維去加工學習過程中的思維，并發現自己在數學知識學習過程中、在數學問題解決過程中的思維存在哪些不足. 而發現了不足之后，學生自然會思考一個問題：怎樣彌補自己的不足？在這個問題的驅動之下，學生會自主地、有意識地改善自己的學習方式，提高自己的學習能力，于是也就完成了思維的自我激活過程.

例如，在“等腰三角形的性質和判定”的學習過程中，有不少學生走了彎路，而在筆者組織的合作反思中，這些學生在與同組同學交流時，就說出“當時如果我這么想就好了”“其實我應該像你思考的那樣去思考”等話語，其實這樣的話語就表明學生已經在自己的思維上形成了反思，而這必將為學生后來的思維發展奠定基礎.

總的來說，在初中數學教學的過程中，數學教師要善于激活學生的思維，而在激活學生思維的過程中要善于進行比較，這樣才能找到思維激活之基.