“先分再數”由表象到內涵建構分數的意義

王海峰

[摘? 要] 學生對于分數已有的感性經驗大都是分數跟“分東西”有關，這是學生學習分數意義的基礎和起點。本節課從學生分數的樸素認知“分東西”這個起點出發，揭示“分數就是先分再數的數”，讓學生體會到“分數”命名的合理性，通過談話交流提煉出分數意義的三個核心問題：分什么、怎么分、數什么，為研究分數的意義打開了一扇新的大門。

[關鍵詞] 先分再數;表象;內涵建構;分數的意義

“認識分數”這一內容在蘇教版教材共分三個時段安排。第一次是三年級上冊認識一個物體的幾分之幾，第二次是三年級下冊認識一個整體的幾分之幾，這兩次主要是通過直觀圖幫助學生形成對分數的初步認識。本學期是在初步認識分數的基礎上由直觀到抽象，逐步概括和理解分數的意義， 在此基礎上不斷豐富和完善對分數的理解。

片段一：先分再數，喚醒樸素認知

課件出示：

師：同學們，這是一個什么數？會讀嗎？知道為什么叫作分數嗎？（一臉疑惑）

生：這是個分數，讀作四分之一。

生：因為它可以表示把一個蛋糕平均分成4份，分得其中的1份，所以叫作分數。

師：有道理！一定是分蛋糕嗎？

生：不一定，還可以分其他的東西，比如圖形。

師：之所以叫分數，同學們是不是認為可能跟“分東西”有關？（紛紛點頭）同學們你們這種感覺是對的，但還不夠準確！

師：有位數學家說，分數之所以叫作分數，是因為它是先分再數的數。（微笑，有點燒腦）有什么想說的嗎？

生：我想知道分數到底是分什么的？（剛才那個說分蛋糕的孩子）

師：這個問題提得好！還有誰想說？

生：我知道分數一定要平均分！

師：鼓掌！這是分數的一個重點，強調要平均分。看來，同學們對于分數的“先分”至少有了2個基本認知：一是分數到底分什么？二是分數要怎么分？（同步課件出示）

生：那么“再數”，是數什么呢？

師：是啊，分完了還要數，數什么呢？看來啊，要了解分數的“先分再數”得搞清楚這三個問題：分數分什么？怎么分？數什么？

……

思考：上面的教學，從這類數為什么被叫作“分數”這個看似簡單實則直指分數內涵的問題出發，通過談話在與學生的已有知識經驗的不斷碰撞中，喚醒學生對分數的各種感性認知，進而讓學生感覺到分數跟“分東西”有關，接著適時出示“分數就是先分再數的數”這一論斷，既契合了學生對分數的樸素認知，又為后面提煉出分數的三個關鍵性問題做了鋪墊。這樣的過程，讓學生既體會到“分數”命名的合理性，又為研究分數的意義打開了一扇新的大門。

片段二：分層推進，揭示“單位1”

師：這個數認識嗎？（板書：1）

生：1啊！誰不認識！

師：想想數字1可以表示什么？

生：一支鉛筆、一把椅子、一塊橡皮……只要物體個數是1的都可以用1來表示。

師：同學們，1除了能表示物體的個數是1外，還能表示什么？誰能腦洞大開！（大家一臉茫然）

生：（略有遲疑）一個班級也能用1來表示吧。

生：當我們把所有的學生看成一個班集體時，不就可以用1來表示！

師：說得真好！看作一個整體，就可以用1來表示。還有誰想說？

…

師：既然這樣，（出示2個桃子）這兒有2個桃子，能看作“1”嗎？

師：但是我怎么看，怎么覺得是2，能讓人一眼就看出來表示1嗎？

生：直接畫個圈把2個桃子圈起來。

師：這樣一圈，2個桃子就可以看成一個整體。

師：2個桃子可以看作“1”，4個桃子可以看作“1”嗎？

師：但是，如果已經把2個桃子看作“1”了，同學們思考一下，4個桃子也看作“1”，合理嗎？（不合理）那這4個桃子又該用什么數表示合理呢？

生：用2表示才合理。

師：為什么？

生：2個桃子看作“1”，4個桃子就可以看作2個這樣的“1”，所以用2表示合理。

師：如果有3個這樣的“1”呢？5個呢？10個呢？有n個 “1”——

生：就可以用n來表示。

師：同學們，我們回顧一下剛才的過程：我們把2個桃子看成一個整體“1”，有幾個這樣的“1”，就可以用幾來表示，因此在這里2個桃子所看作的“1”，就變成了計量的單位！數學上，我們就把這樣的“1”又叫單位“1”。

思考：分數分什么？也就是單位“1”的教學一直是分數意義教學中的重難點，學生對于這一問題最多的感性經驗就是“分東西”，這個“東西”學生接觸最多的是蛋糕、圖形等單個物體，而對于分許多物體組成的一個整體，學生是一點經驗沒有，也是非常難理解的一個點，十分考驗教者的功力。在本環節的教學中，教者安排了三個層次的內容，從學生熟知的1出發，拓展提升到內涵豐富的“1”，再到有幾個這樣的“1”就可有用幾來表示的“單位1”，逐層推進，引領學生經歷“單位1”的形成過程。幫助學生明晰“單位1”的認識，溝通知識之間的內在聯系，為建構分數的意義掃清障礙。

片段三：對比提煉，建構分數意義

師：（課件出示4幅圖）請同學們根據圖意完成填空，想想用什么數表示？

師：觀察四幅圖，有什么發現？

生：我發現，這4幅圖的物體是不一樣，也就是看作單位“1”的物體是不一樣的，滿幾個這樣的單位“1”，就表示幾，不足1個單位“1”的，就要用分數表示。

生：還有每幅圖的最后都是 。

師：確實是這樣！看來啊，是否用 表示，與把什么看作單位“1”好像關系不大？

師：你能舉一個表示 ，但是單位“1”跟這4個不一樣的例子嗎？

生：把12個小圓片看作單位“1”，平均分成4份，其中3份涂色，涂色部分就可以表示成 。

師：這樣的例子舉得完嗎？你有什么想說的？

生：我覺得，其實單位“1”是什么并不重要，只要是把單位“1”平均分成4份，表示其中的3份，就可以用 表示。

師：是這樣嗎？請同學們接著看這3幅圖。

（課件呈現，生作答。）

師：什么相同？（都表示 ）什么不同（涂色個數不同）？為什么？

生：雖然這3幅圖都表示 ，但是每幅圖中單位“1”的圖形個數不一樣（4個、6個、8個），所以平均分成2份，表示這樣1份的個數是不同的。

師：說得真棒，看來單位“1”是什么，是多少也是要考慮的。

（課件繼續呈現，引導學生作答。）

師：繼續看這3幅圖，什么相同？（單位“1”相同，涂色的個數也相同）什么不同？（表示的分數卻不同）為什么會這樣呢？

生：我覺得，原因在于這3幅圖平均分的份數不同。第一個圖平均分成2份，第二個圖平均分成了4份，最后一個圖平均分成了8份。

生：我想補充一下，這3幅圖除了平均分的份數不一樣，每幅圖涂色的份數也不一樣。

師：同學們，回顧一下剛才的學習，你們覺得要準確地表示一個分數，我們除了要關注單位“1”是什么，還要看什么？

生：還要看單位“1”被平均分成了幾份，以及表示了這樣的幾份。

師：對！這就是分數的意義！

……

思考：建構分數的意義，最終還是需要讓學生搞清楚分數的三個核心問題即分數分什么？怎么分？數什么？本節教學中，教者設計了三組看圖寫分數的對比題，每組題所聚焦的問題是不同的。第一組圖聚焦于讓學生體會到滿幾個“單位1”就用幾來表示，不滿1個“單位1”時就可以用分數來表示，同時通過對比讓學生發現不管把什么看作單位“1”，只要是把單位“1”平均分成4份，表示這樣的3份，就可以用 表示。第二組圖聚焦于為什么同樣都是 ，為什么涂色的五角星個數不一樣，也就是每個圖表示 的個數為什么不一樣？通過對比學生發現是因為3個圖單位“1”的圖形的個數是不一樣的，所以表示 的個數也就不一樣了，讓學生明白單位“1”也是重要的。第三組圖聚焦于3幅圖單位“1”和涂色的個數都一樣，為什么表示的分數卻不一樣？讓學生產生認知沖突，進而發現原來每幅圖平均分的份數不一樣，表示的份數也不一樣。通過這3個層次的練習，讓學生在不斷地對比提煉中，逐步建構出分數的本質意義。