突破表象，凸顯本質

斯旦紅

[摘? 要] 從學生理解的模糊表象入手，通過更新表象、重組思維，引導學生自主反思基礎知識、解題過程與數學方法，這是促進深度學習，形成數學核心素養的有效途徑。

[關鍵詞] 低段數學;錯題;表象;本質;深度

“數學是思維的體操”。低段學生的數學思維以形象思維為主，但是只注重形象思維的訓練，或者僅僅只進行表象層次的教學，必然使學生對知識的學習限于膚淺。比如對于“角的大小”，有學生記住了教師講的：角的大小與所畫的兩條邊的長短無關，角的兩條邊都是射線，但無法理解“射線”（四年級內容），這樣學生的思維就停留在語言記憶表象的水平，這種表象層次的理解有時也會在解題中蒙混過關，但更多時候會露出馬腳。深度學習要求學習者積極地去探究、思考與創新，能夠有批判性地學習新知識，并把知識遷移到新的情境中去。以下結合低年級數學解題指導的教學實踐，與同行探討如下。

一、強化讀題，打好深度學習之根基

1. 整體感知，突破文字表象

例1? 爸爸帶我和妹妹去植物園游玩，植物園的成人票是20元，兒童票是12元，一共要花（? ? ）元。

①32②44③52

[錯誤分析] 列式：20+12，錯誤選擇答案①。

[教學對策]

（1）突破陳式，加以區別。

注意把當前題目區別于常規陳式題，常規陳式題比如：琪琪昨天看了一本書的20頁，今天又看了這本書的12頁，兩天一共看了多少頁？正確列式20+12=32（頁）。指導學生逐字逐句分析當前題目，完整理解題意。在本題中，“爸爸帶我和妹妹”意思是告訴我們“要購買1張成人票與2張兒童票”。

（2）重建實物，加強直觀感受。

建構新的表象，如圖1所示，它代表了本題的數量關系，這是表象形象性與概括性體現，可以使原有錯誤表象被突破。

2. 全面理解，突破程序表象

例2? 把這些數用大于符號連接起來：

11? ? 16? ? 5? ? 26? ? 19

（? ）○（? ）○（? ）○（? ）○（? ）

[錯誤分析] 有的教師規定：如果題目要求比較5與4的大小，學生只能寫5>4，如果寫4<5就算錯誤，據說這樣是為了防止考試出錯。急功近利的評價方式、機械的學習方法往往導致形成“跟著感覺走”的程序表象。在本題中，不少學生會錯誤地寫成11<16>5<26>19。

[教學對策]

（1）強化讀題，明確是否必須。劃出關鍵詞：“這些數”“大于符號”。分析：這里規定了什么？沒規定什么？（規定必須用這些數與大于符號;沒規定這些數的順序）

（2）探討步驟，明確解題順序。想一想：是先填數字還是大于號？為什么？

（3）觸類旁通，促進題型互通。思考：這道題相當于完成以前哪種練習？（從大到小排列數），這樣排需要遵循什么原則？（前邊的任何一個數都比后邊的數要大）

二、強化雙基，穩固深度學習之主干

1. 合理區分，突破概念表象

例3? 判斷大小：1時○100分

[錯誤分析] 1時=100分。學生受諸如“1米=10分米=100厘米”“1元=10角=100分”等常規進率的概念表象所左右，對于“時和分”的進率作出錯誤判斷。

[教學對策]

（1）澄清概念。①1元=10角=100分;②1時=60分，前者是人民幣的單位，后者則是時間單位，教師要引導學生對此進行比較，強化概念界限。

（2）強調一些相鄰單位進率不是10的概念教學并不斷訓練，如：1周=7天;1天=24時;1雙=2只……

2. 靈活運用，突破動作表象

學生頭腦中對于數學操作過程產生的記憶形象是一種動作表象，可以逐步形成數學操作的技能，這要以相關概念認知及操作的正確性為前提。

例4? 如圖2（上）所示，這支鉛筆的長度是（? ）厘米。

[錯誤分析] 有不少學生填寫答案是8厘米，這中間的錯誤又分兩種情況：一是“瞻前不顧后”——忽視了對左邊起點的要求，屬于不細心;二是“丟了初心”——平時自己也有從1厘米開始量并從所量物體末端位置來讀數的錯誤情況。

[教學對策]

（1）規范基本操作。必須把鉛筆的一端與0位置對齊，讀出鉛筆另一端所在位置的讀數。

（2）發展基本操作。測量物體長度也不是非從尺子的0位置量起不可，但讀數要減去前邊多量的長度。

（3）區分相同數字的不同情況。如①小明看書從第1頁看到第8頁一共看了多少頁？②小明從刻度1厘米位置開始量發現鉛筆末端正好在刻度8厘米的位置，鉛筆長度是幾厘米？

3. 整體入手，突破規律表象

例5? 在下列數字后按規律添加一個數：2? ? 4? ? 8? ? 14? ? （? ）

[錯誤分析] 只從局部考慮問題，認為這一列數從2到4增加了2個，所以就在14后邊填入了16。

[教學對策]

（1）加大訓練，重組表象。通過寫一寫、畫一畫等比較直觀的手段讓學生重組規律表象。

（2）整體入手，整體出手。整體入手，就是要全面分析整列數的前后關系，防止“一葉障目，不見森林”。整體出手，就是發現的規律要經得起檢驗。

2? ?4? ?8? ? 14? （? ）

+2? +4? +6? +（? ）

4. 華麗轉身，突破法則表象

例6? 比較大小：17+45+9〇49+5+17

[錯誤分析] 學生牢記“先計算后比較”，不越雷池半步，這樣一不留神就會出現錯誤的結果。

[教學對策]

（1）學會觀察，特事特辦。本題可以把兩個17都圈出來放一邊不考慮，再比較45+9與49+5的大小，發現兩邊的十位上有一個4，即40，兩道算式的個位都是5和9相加，所以兩道算式得數一樣。

（2）自我建構，舉一反三。這種由學生自我建構的法則不再是一種表象，而是對于數學算理深度理解的結果，實現了深度學習。

三、突破生活表象，催生深度學習之枝葉

1. 打破機械性，提煉習慣表象

例7? 一個長方形剪一刀去掉一塊，余下的圖形有幾個角？以下情況不可能的是：①5只角②4只角? ③3只角? ④2只角

[錯誤分析]習慣性認為4只角中剪去1只就是3只。

[教學對策]

（1）實際操作。實際操作保留長方形原來的三只角剪去一只角可能發現增加了兩只新角，這樣5只角就是可能的。

（2）分類探討。題目中并沒有表明剪一刀的位置，所以不能只停留在結果是5只角這一種可能性上。

2. 防止局限性，修正觀察表象

例8? 如圖4所示由多個小立方體拼成的物體，如果每個小立方體的重量是9克，那么整個物體的重量至少有（? ）克。

[錯誤分析] 局限于圖畫看問題，認為圖中只有4個立方體。

[教學對策]

（1）實際操作，防止紙上談兵，理解生活中不存在空中樓閣。

（2）深化理解，進一步探討如圖所示是否必定是5個立方體呢？由于遮擋的原因，視線看不到的還有可能存在更多小方塊，這也是題目中出現“至少”兩字的原因。

四、突破方法表象，綻開深度學習之花朵

1. 出奇制勝，突破順序表象

例9? 已知□+▽=17，〇+▽=14，〇+〇=16，那么〇+▽+□+▽+〇+〇=（? ）。

[錯誤分析]從第一個算式入手去猜測□與▽各是多少，然后代入后邊的算式中再進行分析求解，錯誤率非常高。

[教學對策]

（1）中間突破。從已經條件中的〇+〇=16可以發現〇=8，然后再往前突破，自然可以得到答案。

（2）逆向思考。由結論出發，運用整體思考的方法，可以發現所求六個數之和中第1、第2兩數之和正好是14，后邊第3與第4兩數則是17，最后兩數是16，這樣可以更快得到答案。

2. 另辟蹊徑，突破視野表象

例10? 杰克買了30個橘子，第一天吃了一些，第二天又吃了一些，還剩下14個橘子，杰克兩天一共吃了幾個橘子？

[錯誤分析] 受“第一天、第二天、一共”這些文字影響，學生會去搜尋第一天、第二天各吃了多少個橘子，可是從題目中無從得知，這樣解題思路就中斷了。

[教學對策]

數學中存在“整—分、內—外、分—合、順—逆”等視野關系，從低年級起要有意識地向學生滲透問題解決視野的訓練，逐步達到“一覽眾山小”的佳境。

（1）借助線段圖明確數量關系，為發現新思路提供支撐。

（2）調整視野。如果把兩天吃的個數當作整體看成一個加數，還剩下的個數14又是另一個加數，和是30，那么求其中一個加數理應用減法來計算。

由上可見，從學生理解的模糊表象入手，是充分尊重學生學習主體性的表現。通過不同的數學策略與數學思想去引導學生更新表象，重組思維，則是對學生學習最近發展區的積極觸碰;在更新表象的基礎上讓學生反思基礎知識、解題過程與數學方法則可以幫助學生促進對可持續發展局面的全面構建。唯有如此，數學深度學習之花才能純香宜人，歷久彌新。