一道拋物線切線問題的多種解法賞析

四川省德陽中學校 李代輝

筆者在實際教學中發現涉及直線與拋物線相切問題時，同學們的得分都很低，究其原因在于思路不明晰，無處下手。下面我以一道例題為例，介紹涉及直線與拋物線相切問題的解題思路。

例題：已知拋物線C：x2=4y，AB為過焦點F的弦，過A，B分別作拋物線的切線，兩切線交于點P，設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），則下列結論正確的有_（試題來源：西昌市2020學年高二上期半期試卷16題）。

①若直線AB的斜率為-1，則弦|AB|=8；

②若直線AB的斜率為-1，則x0=2；

③點P恒在平行于x軸的直線y=-1上；

④若點M（xM，yM）是弦AB的中點，則xM=x0

思路分析一：由題意，需要找2條切線的交點，所以關鍵要找出切線來，由拋物線上兩點出發找切線是一個不錯的思路。

總結：當切線不定時，兩種方法都是假設切點，求出切線斜率，得到切線。

思路分析三：由拋物線光學性質，經過焦點的直線經拋物線反射后得一組平行于對稱軸的直線，反射面就是過反射點處的拋物線上的切線，利用這一性質結合幾何圖形求解。

由以上解法可知，涉及直線與拋物線相切問題時，找出切線是一個常見思路，而從幾何出發，結合拋物線的光學性質也不錯。