高等數學中一些抽象概念授課過程反思

趙江鵬

摘要：高等數學[1]教學的一個痛點就是關于抽象概念的講解，本文從平時的教案中節選無窮小、定積分、微分這三個教學片段加以剖析、總結，試圖探討最佳的講解方法。

關鍵詞：高等數學;概念;教學設計;無窮小;無窮大;定積分;微分

在平時的高等數學教學中，經常有一些概念講解效果不甚理想。所以我在我帶的工程造價專業班級中做了一次有目的性的探索，主要探索怎么在最短時間內講清楚一些抽象的基本概念。本文摘選其中兩個較為成功的片段，并將教學過程分析如下。

一、無窮小無窮大概念教學設計片段

本節課授課對象是專科學生，學生基礎差，接受能一般，理解能一般。在此，先來看看教材中的無窮小的概念：

無窮小量：若 時，函數 （即 ），則稱函數 為當 時的無窮小量，簡稱無窮小。

無窮大量：若 時，函數 （即 ），則稱函數 為當 時的無窮大量，簡稱無窮大。

這兩個定義不算復雜，但專科生接受起來還是有有點難度，特別是按照教材書寫方式來講，學生是不太明白的。我采取以下講解方法：什么是無窮小？極限為零的函數。舉例說明： 是 時的無窮小量。 是 時的無窮大量。（用時1分鐘）。如果以上講解方法效果仍不理想，可以多舉例子。以上講解方法最大的好處是使學生在較短時間有一個理解上的頓悟。從而使他有了繼續聽下去的信心和興趣。反觀以前的的教法，耗時長，表述嚴謹但內容冗長，學生在聽的過程中容易喪失興趣。該片段所舉定義較為簡單，可以通過以上方式讓學生秒懂，然后輔以一定的例子加深理解即可。但對于較為復雜的定義，以上方法要做靈活變通才能發揮作用。即把復雜的定義做合理的拆分，拆分成若干個小的、易于表述清楚的定義，然后再總結匯總。

二、定積分概念講解教學設計片段

定積分定義較為復雜，非一兩句描述性語言能概括，所以我采取的方法是化整為零，各個擊破。根據定積分定義內容和內在邏輯順序，可以將定積分做如下拆分：

這樣把一個復雜的定義經過拆分，逐個講解。精煉一下語言，可以在10分鐘內講解完該定義。

三、微分概念講解教學設計片段

為了體現化整為零、逐個擊破這種授課方法的好處，再看一個關于微分定義的教學設計片段。先來看看教材是怎么定義微分的。教材先給出一個矩形金屬薄片由于受熱而導致面積變大的引例。具體如下：

引例[1] 一塊正方形金屬薄片因受溫度變化的影響，邊長由 變為 ，問：薄片的面積改變了多少？

經過以上過程，可以給學生講清楚函數微分的定義。但此時，學生仍不能深刻認識微分意義和作用。接下來可以從微分的幾何意義來進一步闡述微分的含義。在這個過程中要給學生強調以直代曲的思想。關于微分幾何意義的講解本文不再贅述。

四、結束語

以上授課方法的優點是通俗易懂，節時高效，且易于查找學生的不明白之處。缺點是有些表述由于過于通俗而失掉嚴謹性，這個可以通過打磨教學用語從而使表達盡可能嚴謹。

參考文獻：

[1] 同濟大學數學系編.高等數學[M].6版.北京：高等教育學出版社.