高中數(shù)學(xué)平面向量解題中的消元思想

四川省雙流中學(xué) 覃 朗

高中階段，數(shù)學(xué)是重要學(xué)科，在數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，平面向量是重點之一。平面向量數(shù)學(xué)知識有機融合了代數(shù)知識與平面幾何知識，具備較強的邏輯性和概念性，學(xué)生在實際學(xué)習(xí)中會面對各種困難，所以在解平面向量習(xí)題時，教師需引導(dǎo)學(xué)生掌握并靈活運用消元思想，打破思維定式的束縛，強化學(xué)生分析問題和解決問題的能力。另外，掌握消元思想解決數(shù)學(xué)問題也是高中學(xué)生必須掌握的一項技能，是學(xué)生學(xué)習(xí)和解決平面向量問題的主要思想方法。

一、消元思想在解決平面向量習(xí)題中的作用

針對平面向量題型，想要有效、快速地找到解題方法，并簡化解題思路和步驟，有效拓展學(xué)生的思維，讓學(xué)生確立正確的解題意識，就需要學(xué)生具備刪繁就簡的能力，并對于題中已知條件與設(shè)問求解之間的內(nèi)在聯(lián)系有正確的認(rèn)知，這就離不開消元思想的應(yīng)用。通過消元思想的應(yīng)用，能夠促使學(xué)生更好地理解與記憶相關(guān)教學(xué)知識，在很大程度上提升了學(xué)生的解題能力，提高了學(xué)生的解題效率。通過消元思想的應(yīng)用，還能夠有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)平面向量知識的興趣，促使學(xué)生主動學(xué)習(xí)相關(guān)知識，幫助學(xué)生樹立學(xué)習(xí)信心。在消元思想的影響之下，學(xué)生學(xué)習(xí)平面向量相關(guān)知識，探尋有效的解決問題的方法，這是學(xué)生數(shù)學(xué)問題意識和學(xué)科素養(yǎng)形成的關(guān)鍵，有助于教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn)。

二、運用消元思想解答平面向量問題的過程與步驟

平面向量數(shù)學(xué)問題大多涉及一些抽象和復(fù)雜的變量。在實際解題的過程中，每一個變量或是轉(zhuǎn)化關(guān)系都需要等效代換或者進行化簡操作，利用復(fù)雜的變量關(guān)系求解出某一個變量的值，這種思想與方法就是消元。在高中數(shù)學(xué)問題的解答中，消元思想既是教學(xué)重點，需要學(xué)生消化吸收，也是教學(xué)難點，非常考驗教師的授課能力，合理應(yīng)用消元思想，才有助于學(xué)生順利解題。應(yīng)用消元思想解答平面向量習(xí)題，主要可以分為四個步驟：

其一，審查題干。仔細(xì)審讀題干，將題目中包含的數(shù)量關(guān)系、隱含條件等篩選出來，這是審讀題干的第一步。同時，審讀題干也是學(xué)生了解和理清題目信息的基礎(chǔ)。只有認(rèn)真審題，才能夠建立正確的解題思路，對后續(xù)的解題有重要作用。

其二，依據(jù)題意，將題干條件轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系式，然后對關(guān)系式進行比較，對具備相同數(shù)值的量進行消去處理。

其三，對于題干的審查過程，如果沒有找到具備相同數(shù)值的量，可以用特殊的數(shù)或者關(guān)系式分別乘兩邊，通過一定的變換，可以導(dǎo)出相應(yīng)的量，從而實現(xiàn)變量消除，然后再應(yīng)用消元思想。

其四，在應(yīng)用消元思想解答高中數(shù)學(xué)中的平面向量習(xí)題后，教師還要引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)果代入算式和關(guān)系式，在檢查的過程驗證消元思想。這樣既可以幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用消元思想，又可以幫助學(xué)生形成謹(jǐn)慎的解題習(xí)慣，促使學(xué)生在消元思想的應(yīng)用中能夠更加靈活，實現(xiàn)融會貫通。

三、消元思想在平面向量中的運用

作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的重點，數(shù)學(xué)思想與方法能夠有效幫助學(xué)生理解與解答相應(yīng)的習(xí)題，也是學(xué)生靈活運用所學(xué)知識解決問題的基礎(chǔ)條件。在實際的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要合理滲透數(shù)學(xué)思想與方法，依據(jù)具體的題目為學(xué)生分析具體的數(shù)學(xué)思想運用方法和運用技巧，還可以依據(jù)自己的經(jīng)驗進行總結(jié)，讓學(xué)生在運用數(shù)學(xué)思想思考和解題的過程中不斷提升知識運用能力和解題能力。另外，消元思想作為高中數(shù)學(xué)幾何部分知識解題的重要橋梁，有機聯(lián)系了代數(shù)知識與幾何知識，通過相關(guān)知識的學(xué)習(xí)，能夠促使學(xué)生深入了解代數(shù)與幾何之間的內(nèi)在聯(lián)系。

1.基本定理實現(xiàn)消元

無論是解題教學(xué)，還是面對平面向量消元問題時，都可以運用平面向量基本定理解決實際問題。需要注意的是，這個過程不能太過于死板，因為不同題目涉及的向量也存在一定的差異，在實際解答問題時，要依據(jù)具體的題目進行基本向量的選擇，然后通過實際問題的分析，有選擇性地利用線性組合來表示未知向量或是其他向量，類似這樣的解題方法和思想也屬于消元方法的一種，體現(xiàn)出了轉(zhuǎn)化思想。

2.圖像性質(zhì)實現(xiàn)消元

消元思想不固定、不唯一，應(yīng)用方法和途徑較為廣泛。用其解題的過程中，主要是向量的表示和相互的等效轉(zhuǎn)化或是代替，然后再結(jié)合實際情況進行運算實現(xiàn)消元。但對于一些題目，由于涉及圖形，無法應(yīng)用運算法有效消元，這時就需要利用圖像的性質(zhì)進行消元。對于圖像性質(zhì)的應(yīng)用，首先是圖形的構(gòu)建，充分利用線段中點的性質(zhì)，然后再利用向量運算實現(xiàn)消元。另外，一些題目還需要利用一些幾何知識，借助幾何概念、特征和定理等才能順利解題。此時，需要教師明確習(xí)題的分類，有效引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合思想與方法入手，融合與轉(zhuǎn)化圖形性質(zhì)。對于圖像性質(zhì)的運用，不但可以進行消元解題，還可以借助直觀真實的圖像，幫助學(xué)生理解和找出不同向量間的關(guān)系，從而為消元思想解題提供可能和支持，這種綜合數(shù)學(xué)思想的合理融合與應(yīng)用，可以有效培養(yǎng)高中學(xué)生的解題能力。

例如：ABCD為任意凸四邊形，A1、C1分別為AB與CD的中點，B1、B2與D1、D2分別為BC與DA的三等分點，EF為A1C1與B1D2及A1C1與B2D1的交點，求證：A1E=EF=FC1。對于這道習(xí)題的解答，需要借助平面幾何的相關(guān)知識，可以在平面上任取一點O，通過點O構(gòu)建各個向量，通過各條線段之間的關(guān)系，可以輕松構(gòu)建向量關(guān)系，實現(xiàn)問題的解答。

總而言之，消元思想對于解答平面向量問題有重要作用。在實際教學(xué)中，教師要在傳授平面向量知識的同時，教授學(xué)生相應(yīng)的消元思想與方法，通過消元思想在平面向量不同題型中的應(yīng)用，促使學(xué)生進行深度思考和學(xué)習(xí)，理清其中的向量關(guān)系，從而靈活運用消元思想與方法實現(xiàn)正確解題，提升學(xué)生的解題效率。