培養推理能力 提升數學素養

陶贏春

[摘 要]推理是數學的基本思維形式。教師要充分挖掘教材中有利于培養學生推理能力的素材和資源，引導學生合理猜想，使推理有理有據;把握方法，使推理得法; 反思過程，使推理穩中有進。最終，不斷發展學生的理性思維，提升學生的數學素養。

[關鍵詞]推理能力;猜想;反思;數學素養

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）14-0064-02

數學教育的目的是教會學生以數學的視角觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界。數學推理是數學思維的重要組成部分。新課標明確指出：“讓學生經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點。”推理是數學的基本思維形式，并廣泛應用于人們的學習和生活之中。新課標愈來愈重視學生數學素養的培養，推理能力的培養自然成為重中之重。下面，筆者通過理論研究并結合自身工作經驗，論述在小學數學教學中培養學生推理能力的基本策略，力圖為廣大教育同仁提供借鑒和思考。

一、合理猜想，使推理有理有據

數學家波利亞曾言：“一個優秀的數學家一定是個猜想家，猜想是數學研究必備的基本能力。”猜想是推理的前奏，是學習數學的重要方法，也是形成數學推理的前提，很多數學規律都是通過猜想發現的。在教學中，教師可創設一定的問題情境，為學生的猜想提供機會和平臺，讓學生在觀察、分析、思考的基礎上形成某種猜想，然后通過操作、實驗、討論等形式驗證猜想，進而實現推理能力的不斷提升。

例如，“圓的周長”教學片段。

師：這節課我們研究圓的周長。在這之前，我們已經學過了哪些圖形的周長？

生1：學過長方形和正方形的周長。

師：它們是如何計算的呢？

生2：長方形的周長等于長加寬的2倍。

生3：正方形的周長等于邊長的4倍。

生4：長方形的周長與它的長和寬有關。

生5：正方形的周長與它的邊長有關。

師：那么，你認為圓的周長與哪些因素有關？

生6：我猜圓的周長應該與它的直徑或者半徑有關。

生7：是的，我用圓規畫圓時，發現圓規兩“腳”之間的距離（半徑）越大，圓的面積就越大。

生8：我想圓的周長跟它的直徑或半徑之間應該也存在固定的倍數關系。

……

不少教師在講授圓的周長時，直接切入主題，要求學生通過實驗分析周長與直徑的關系，錯失了培養學生猜想和推理能力的大好時機。盡管這種“短、平、快”的教學方式最后也能使學生得出正確結論，但是學生卻不明白為什么要論證圓的周長與直徑的關系，處于“只知其一，不知其二”的朦朧狀態。教學中，教師引導學生歸納長方形和正方形的周長的相關規律，并由此猜想圓的周長與直徑或半徑之間也存在類似的規律，這不但培養了學生的猜想能力和推理能力，還使得下一步的探究變得水到渠成，學生在認知和思維上也形成了一個完整的鏈條。

二、把握方法，使學生推理得法

“授人以魚，不如授人以漁。”培養學生的推理能力，教給學生常用的推理方法和推理技巧極為必要。學生只有掌握推理方法，親歷推理的過程，才能不斷感悟推理的奧妙，從而提升推理能力。推理大致可以分為合情推理和演繹推理兩種類型，而合情推理又可以進一步分為歸納推理和類比推理。

（一）合情推理

1.歸納推理

歸納推理是人們認識世界的一種重要的思維形式，它指的是根據一類事物中部分對象具有某種性質，由此推測出這類事物都具有這種性質。由此可見，歸納推理是一種從個別到一般的推理過程。歸納推理通常是在人們的實踐經驗基礎上得出結論，如通過觀察、比較、分析、實驗等形成對研究對象的共性認識，最后歸納出相關結論。

師：請同學們計算“1×1;11×11;111×111”。

生1： 1×1=1;11×11=121;111×111=12321。

師：那1111×1111呢？

生2：1111×1111=1234321。

師：同學們發現其中有什么規律了嗎？

生3：乘數各個數位上都是1，如果乘數的數位上有2個1，那么積各個數位上的數字就從1依次加1加到2，再從2依次減1減到1，即121。如果乘數的數位上有3個1，那么積各個數位上的數字就從1依次加1加到3，再從3依次減1減到1，即12321;如果乘數的數位上有4個1，那么積各個數位上的數字就從1依次加1加到4，再從4依次減1減到1，即1234321。

師：總結得真好。那么，現在你們能推出11111111×11111111的結果嗎？

生4：11111111×11111111=123456787654321。

生5：這種推理的方法真好，這類算式不管再大的數我都能算出來了。

歸納推理能夠使學生從不多的事實材料中迅速發現數學的本質規律，從而培養學生思維的敏捷性。教學中，教師通過引導學生分析個例，從個例中發現此類算式具有的一般性規律，并通過這種規律使得問題的解決變得簡單，這也證實了推理的實用價值。

2.類比推理

與歸納推理不同，類比推理指的是依據兩類事物的本質相似性，根據某類事物具有某一性質或規律而推測出另一類事物也具有該性質或規律。由此可以看出，類比推理是一種從個別到個別的推理方法。類比推理是學生分析和解決問題的重要手段，其有利于學生發現問題、解決問題、創新問題，還可以有效地培養學生的知識遷移能力，激活學生的創造性思維。

例如， “比的基本性質”教學片段。

師：我們知道，兩個數相除，又叫作這兩個數的比。那么，與除法相比，比的前項相當于什么？比的后項相當于什么？比號又相當于什么？

生1：比的前項相當于被除數，比的后項相當于除數，比號相當于除號。

師：與分數相比，比的前項、后項和比號與分數存在怎樣的對應關系呢？

生2：比的前項相當于分子，比的后項相當于分母，比號相當于分數線。

師：除法算式商不變的規律是什么？

生3：被除數和除數同時乘或除以相同的數（0除外），商不變。

師：分數的基本性質呢？

生4：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。

師：根據比與除法、分數的關系，并結合商不變規律以及分數的基本性質，你有什么發現？

生5：由于比和除法、分數具有對應關系，所以商不變規律和分數的基本性質應該也適用于比。

生6：也就是說比的前項和后項同時乘或除以同一個不為0的數，比值的大小不變。

類比推理的過程實質上是“再創造”的過程。教學中，教師從新舊知識的銜接點入手，使學生在比和除法、分數之間建立起本質的聯系。學生通過類比推理把商不變規律和分數的基本性質遷移至對“比”的理解之中，由此推理出比的基本性質，不但有效溝通了新舊知識的聯系，還培養了學生的類比推理能力。

（二）演繹推理

演繹推理具有驗證結論正確性的作用，經常用于邏輯推理和數學證明中。在小學數學教學中，盡管較少要求嚴格、縝密的演繹推理，但是演繹推理可以提升學生思維的嚴密性，使學生的思維更具靈活性和連貫性。教師在教學中向學生滲透演繹推理的方法和理念，對于學生的數學思維發展具有重要意義。

例如，在教學中，教師引導學生根據“兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形”推出“只有一組對邊平行的四邊形不是平行四邊形”;由“銳角的度數小于直角，直角的度數小于鈍角”推出“銳角的度數小于鈍角”;由“所有的長方形都是平行四邊形，所有的正方形都是長方形”推出“所有的正方形都是平行四邊形”。

教學中，教師引導學生用嚴謹的數學語言表述演繹推理的基本過程，體驗演繹推理的基本思想，能夠提升學生思維的縝密性和數學表達能力。

三、反思過程，使推理穩中有進

數學家波利亞曾言：“ 沒有一道題目可以解決得十全十美，總剩下些工作要做， 經過充分的探討總結， 總會有點滴的發現，總能改進這個解答， 而且在任何情況下，我們都能提高自己對這個解答的理解水平。”教學中，教師引導學生及時對推理過程進行回顧和反思，不但能夠使學生對推理過程的認識更加清晰，還能夠使學生及時吸納、內化一些有意義的推理經驗和方法。

例如， “比的基本性質”教學片段。

師：你們是如何發現比的基本性質的？

生1：我一開始想到的是比和除法、分數之間的關系，然后才進一步猜想商不變規律和分數的基本性質對于“比”也是適用的。

師：做出這樣的推理，最重要的依據是什么？

生2：是比和除法、分數之間的密切聯系。

師：你是如何驗證自己的結論的？

生2：我把比寫成分數或除法的形式，再利用分數的基本性質和商不變規律來驗證。

……

教學中，教師引導學生對推理的過程進行了反思。通過回溯推理過程，學生對推理過程的理解更加深刻，為積累推理經驗，促進推理能力的進一步發展奠定了良好基礎。

推理能力是學生核心素養的重要組成部分，推理能力的培養應該貫穿小學數學教學的始終。然而，推理能力的培養并不是一蹴而就的，需要經過長期的積累和感悟。因此，教師要充分挖掘教材中有利于培養學生推理能力的素材和資源，傳授學生常用的推理方法，引導學生用推理的方式思考問題、解決問題，不斷發展學生的理性思維，提升學生的數學素養。

（責編 羅 艷）